隐函数求导法则
高等数学-隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂． 例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形在一定条件下， 由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=． 事实上，0xu yv -=u y x v =1=⋅+u yx x yu 22y x yu +=， 2222yx x y x yy x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，． 它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvxv u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数xu ∂∂，x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 另解 将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，． 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++． 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 例 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1） 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩， 由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂． 同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂． .。
高数课件25隐函数求导法则
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那 么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数 ，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优 解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数 将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数 。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求 导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一 种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲 线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函 数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与 展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4
一,隐函数的求导法则
2
;
(
arccot
x
)
1
1 x
2
.
2019年12月9日5时15分
8
例：求函数 y (arcsin x )2 的导数， 2
解： y 2 arc sin x
1
1
2 1 ( x )2 2
2
2 arcsin x
2;
4 x2
2019年12月9日5时15分
9
例：求函数y ln（x a2 x2的导数
2 4 x2 4 x2
2
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13
第二节 导数的运算
对数求导法
本节
知识
引入
本节 目的 与要
观察函数
y
一,隐函数的求导法则
二,由参数方程所确定的函数 的导数
2019年12月9日5时15分
1
第二节 导数的运算
一、隐函数的求导法则
本节
知识 引入
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
本节
目的 与要
y f ( x) 形式称为显函数.
求
本节 F ( x, y) 0
重点
y f ( x) 隐函数的显化
2
2
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退 出
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
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5
第二节 导数的运算
例3 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
本节
知识 引入
解 方程两边对x求导得
本节 目的
隐函数的求导公式
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
隐函数的求导法则
Fu Fy 1 (F ,G ) v = = Gu G y J ( u, y ) y
例 5
Fu Fv . Gu Gv
设xu yv = 0,yu + xv = 1,
u u v v 求 , , 和 . x y x y
直接代入公式; ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ接代入公式;
解1
运用公式推导的方法, 解2 运用公式推导的方法, 将所给方程的两边对 x 求导并移项
1 = 3 [FxxFz2 2FxzFxFz + FzzFx2 ] Fz
( Fx )Fz Fx ( Fz ) 2 z x = x 2 Fz2
Fx z = , Fz x
2z 2z 类似地可求得 , 2 x y y ②直接法 方程两边连续求导两次
z Fx + Fz = 0 x
z z 2 2z Fxx + 2 Fxz + Fzz ( ) + Fz 2 = 0 x x x
dy dz F ( x , y , z ) = 0 两边对 x 求导 怎样求 , dx dx
注意左边是复合函数(三个中间变量), 注意左边是复合函数(三个中间变量),
dy dz Fx + Fy + Fz = 0 dx dx
同理
dy dz Φ x + Φ y + Φz = 0 dx dx Fy Fz 若 则 J= ≠0 Φy Φz
练习题
一,填空题: 填空题:
y 1 ,设 ln x 2 + y 2 = arctan ,则 x dy = ___________________________. dx 2, 2,设 z x = y z ,则 z = ___________________________, x z = ___________________________. y 二,设 2 sin( x + 2 y 3 z ) = x + 2 y 3 z , z z 证明: + 证明: = 1. x y
隐函数求导法则
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z x
Fx Fz
x 2
z
,
2z x 2
dz dx
x 2
z
(2 z) x (2 z)2
z x
(2
z)
x
2
x
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 (2 z)3
.
二、方程组的情形
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ), v0 v ( x0 , y0 ), 并有
u 1 (F,G) Fx Fv Fu Fv , x J (x, v) Gx Gv Gu Gv
v 1 (F,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv
解: 1) F(x, y,u,v) x x (u,v) 0
令
G(x, y,u,v) y y (u,v) 0
则有 J (F,G) ( x, y ) 0, (u,v ) (u,v )
由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数.
①
①式两边对 x 求导, 得
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
仅就公式推导如下
则
两边对 x 求导 记作
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有 Fx
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) x Fy
( Fx ) d y y Fy dx
第五节隐函数求导法则
x 0 y 1
0,
x d( ) 2 d y y xy y 2 dx dx y2
y x 2 y
x y
1 3, y
d2y dx2
x 0 y 1
1.
隐函数的求导方法可推 广到多个变量的情形 .
设 方 程 F ( x1 , x2 , , xn , z ) 0 确 定 了 z是x1 , x2 , , xn 的可微隐函数 z z( x1 , x2 , , xn ),
则有 Fxn Fx1 Fx2 z z z , , , x1 Fz x2 Fz xn Fz
2 z 2 2 2 例 2 设 x y z 4 z 0 ，求 2 . x 解1 利用公式
令 F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z , 则 Fx 2 x , Fz 2 z 4,
(F , G ) v ( u, y ) . (F , G ) y ( u, v )
特别地，方程组
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
可以确定函数 y y( x ), z z( x ), 且
(F ,G ) dy ( x, z ) dx (F ,G ) ( y, z )
x x 0 f1 ( 1) f 2 ( xz yz ), y y
整理得
x f1 xzf 2 , f1 yzf 2 y
把 y 看成 x , z 的函数对方程两边关于 z 求偏导数得
y y 1 f1 ( 1) f 2 ( xy xz ), z z
F u Gu
u F v F v x x x u G v G u x x x
§8.5隐函数求导法
2. F(x, y, z)=0 隐函数存在定理2: 设函数F(x, y, z)在点 0, y0, z0) 隐函数存在定理 设函数 在点P(x 在点 的某一邻域内有连续的偏导数, 的某一邻域内有连续的偏导数 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)≠0, 则方程 在点P ≠ 则方程F(x, y, z)=0在点 0的某一邻域内恒能 在点 唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x, y), 它满足条件 0=f(x0, y0), 并有 它满足条件z Fy Fx ∂z ∂z (2) =− , =− . Fz ∂y ∂x Fz 两个隐函数存在定理所涉及的变量的关系如图: 两个隐函数存在定理所涉及的变量的关系如图 x (1) F y x (2) F z y
∂2z 例3: 设 x2+y2+z2–4z=0, 求 2 . ∂x 解: 令 F(x, y, z)=x2+y2+z2–4z. 则Fx=2x, Fz=2z–4, Fx x ∂z , =− = 所以 ∂x Fz 2 − z x ∂z (2 − z ) + x ⋅ (2 − z ) + x 2 ( 2 − z )2 + x 2 ∂ z 2−z = ∂x = = . 2 2 2 3 (2 − z ) (2 − z ) (2 − z ) ∂x
2
dy Fx x+ y =− =− . dx Fy y− x
在点(0, 的某邻域内能 例2: 验证方程 x2+y2–1=0 在点 1)的某邻域内能 唯一确定一个单值可导, 的隐函数y=f(x), 唯一确定一个单值可导 且 x=0 时 y=1 的隐函数 时的值. 并求这函数的一阶和二阶导数在 x=0 时的值 解: 令F(x, y)= x2+y2–1 = 0, 则Fx=2x, Fy=2y, 而 F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2≠0, ≠ 依定理知, 在点(0, 的某邻域内 依定理知 方程 x2+y2–1=0 在点 1)的某邻域内 能唯一确定一个单值可导且 x=0 时 y=1 的隐函数 y=f(x). 该函数的一阶和二阶导数为 函数的一阶和二阶导数为: dy Fx x dy =− | x = 0 = 0, =− , dx Fy y dx x y − x( − ) 2 1 d2y d y y − xy′ y =− | = − 1. =− 3, =− 2 2 2 2 x =0 y dx y y dx
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