第三节 隐函数的导数与取对数求导法
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隐函数及参数方程确定函数求导法则
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
隐函数的导数
例9
求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t )
在t
2
处的切线
方程
.
解
dy
dy dx
dt dx
a
a
sin t a cos
t
sin t dy 1 cos t dx
t os
1.
dt
当 t 时,
x a(
1),
y a.
2
2 所求切线方程为
2 ya
x a(
y的导数 y, y x0 .
x 0, y 0
解 设想把xy e x e y 0所确定的函数y y( x)
代入方程, 则得恒等式
xy e x e y 0
恒等式两边同时对x求导,得
( xy)x (e x )x (e y )x (0)
因为y是x的函数,
所以 e y是x的复合函数,
用复合函数求导法,
如
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2 e x ,
y
x sin x .
方 法 先在方程两边取对数,
然后利用隐函数的
求导法求出导数.
--------对数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例7 解
设
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2 e
x
1
,
求y.
等式两边取对数得
ln
定义 由二元方程 F ( x, y) 0 所确定的函数
y y( x) 称为 隐函数(implicit function).
y f ( x)的形式称为 显函数.
F( x, y) 0
y f ( x) 隐函数的 显化.
隐函数对数函数参数方程求导数
由参数方程所确定的函数的导数
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
一般地,设 x (t)具有单调连续的反函数 21
由参数方程所确定的函数的导数
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
一般地,设 x (t)具有单调连续的反函数
t 1( x),则变量 y与x构成复合函数关系 y [ 1( x)].
将方程(1)两边再对 x 求导得 12x2 2 y' xy''12 y2 ( y')2 4 y3 y'' 0,
代入 x 0, y 1,
y'
x0
1 4
y1
7
例4 设 x4 xy y4 1, 求 y''在点(0,1)处的值.
解
代入 x 0, y 1得 y' x0 14; y1
将方程(1)两边再对 x 求导得 12x2 2 y' xy''12 y2 ( y')2 4 y3 y'' 0,
a(t a(1
sin t) cos t)
所表示的函数 y y( x) 的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
a
a sin t a cos
t
1
sin t cos
t
dt
(t 2n ,n Z )
d2y dx 2
d dx
dy dx
d dx
1
sin t cos
t
d dt
1
sin t cos
dy dx
sin( x y) y cos x sin( x y) sin x
.
2
例2 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函
第三节 隐函数求导法则
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x a ( t sin t ) 例8 求摆线 在t 处的切线 2 y a (1 cos t )
方程 .
dy
解
dt a sin t sin t a a cos t 1 cos t dx dx dy dt
dy dx
t 2
y x0 y0
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例2 设曲线C的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点.
解
方程两边对x求导,
3 x 3 y y 3 y 3 xy
2 2
y
3 3 ( , ) 2 2
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
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三、由参数方程确定的函数的导数
x t 由参数方程 所确定的函数 y f y t
x 的导数
dy dx
为：
dy dy dt dt ' t dx dx dt dx 't dt dy
法线斜率为
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二、 解答题 1、 求由方程 x y sin 2 x ln y 0 所确定的方程 y y x 的导数
2 2
dy dx
。
解：方程两边同时对x求导，得
x
2
' y
x
2
y ' co s 2 x 2 x '
2
y'
两边同时对x 求导得
d3_4隐函数的求导与对数求导法则
则
dy
dy
dx
dt dx
( t ( t
) )
dt
18
例6求椭圆
x a cost
y
b
sin
t
在t
4
相应的点处的切线方程.
解
t
4
相应的点为: M
2a , 2
2b 2
dy dx
( b sin t ( a cos t
) )
b cos t a sin t
b a
cot t,
k
dy dx
t
b a
4
所求切线方程为: y
2b 2
b a
x
2a 2
即 bx ay 2ab 0.
这是新方法，想一想，不用这个办法你会求切线方程吗？ 19
四 、综合举例
例7.设 y ln[sin(10 2x2 )] , 求 y
解
y
1 sin(10
2x2
)
[sin(10
2x2
)]
1 sin(10
2x2
)
[cos( 10
15
例5.设 y
(x 1)1(x 2)2
(x 3)3(x 4)4 ,求 y
解
两边取自然对数
ln y 1 lnx 1 2lnx 23lnx 3 4lnx 4
2 方程两边对x求导
y 1 1
y 2 x 1
2 x2
3 x3
4
x4
1234
x 1 x 21).取对数, ln y v(x) ln u(x)
y e 2).变形成复合指数函数,
v( x)lnu( x)
13
一般地:
第二章第三节隐函数的导数参数方程导数
解: 曲线上与 t
3 对应的点为 M (2 2 , 2 ), 4
曲线在 M 处的切线的斜率为
dy dx
t 3 4
(2 sin t ) (4 cos t )
t
3 4
2 cos t 4 sin t
1 3 t 2 4
于是,所求的切线方程为 即
1 y 2 (x 2 2) 2
t ( , ),
所确定的函数y=y(x)的 sin t
则，
dy 2sin t d y dt 2cos t cot t . d x d x 2cos t 2sin t dt
例6
设参数方程 x arctan t 2 y ln(1 t )
y' 4x 4x3 2x 2 4 2 , y x 2 x 1 x 1
4x 4x3 2x 于是 y' y ( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1 ( x 2 2) 2 4x 4x3 2x 即 y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
三、由参数方程确定的函数的导数
若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的 函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参 数方程 x (t )
y (t ) t ( , ),
所确定的函数．
1 t ( x) x ( t ) 这个函数是由 的反函数
课堂练习：用对数求导法则求下列函数的导数：
1.
yx
y
x2
2.
x 2( 3 x ) 4 ( x 1) 5
解答： x2 1.ln y ln x x 2 ln x
2-3隐函数导数和由参数方程确定的函数的导数
sin x xcos x cos 2x
3（4）解一：
y=－sec2 xsecx+1－tanxsec xtanx
=secx tanx－tan2x－sec2x
3（4）解二：
y= sec x－tanxsecx
=sec xtanx-sec3 x - tan2xsecx
=secx tanx－sec2x－tan2x
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1
dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
dt
14
例5求摆线
x
y
a(t sin t) a(1 cost)
在t
2
处的切线方程
dy
解 dy dt a 1 cost a sin t sin t dx dx a t sin t a a cos t 1 cos t
切线斜率为
dt
k
dy dx
t 2
sin
1
2
cos
1.
2
当t
时,
x
a(
1),
y a.
所求切线方程为
2
2
y a x a( 1) 即 x y a(2 ) 0
2
2
15
练习
求曲线
xy
t2 1 t t3
在
t
1处的切线方程
y的导数 dy , dy dx dx
3（4）解一：
y=－sec2 xsecx+1－tanxsec xtanx
=secx tanx－tan2x－sec2x
3（4）解二：
y= sec x－tanxsecx
=sec xtanx-sec3 x - tan2xsecx
=secx tanx－sec2x－tan2x
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1
dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
dt
14
例5求摆线
x
y
a(t sin t) a(1 cost)
在t
2
处的切线方程
dy
解 dy dt a 1 cost a sin t sin t dx dx a t sin t a a cos t 1 cos t
切线斜率为
dt
k
dy dx
t 2
sin
1
2
cos
1.
2
当t
时,
x
a(
1),
y a.
所求切线方程为
2
2
y a x a( 1) 即 x y a(2 ) 0
2
2
15
练习
求曲线
xy
t2 1 t t3
在
t
1处的切线方程
y的导数 dy , dy dx dx
高等数学随堂讲义隐函数及参数方程及高阶导数
复杂函数 求导法则：
u v
求
(n)
u(n) v (n)
n
k (n k ) (k ) uv ( n ) C n u v k 0
莱不尼茨公式
例11
1 y 2 2 2 a b x
y
(n)
例12
y x e 求 y
2 2x
(n)
(二)高阶导数求法
1．显函数
2．隐函数 3．参数方程确定的函数
5 7 y 2 y x 3 x 0 求 y x 0 例1 e xy e 0 求 y 例2
2 2 x y 例3求 在 1 16 9
3 处的切线方程 2, 3 2
一、隐函数的导数
（一）隐函数的导数
（二）对数求导法
一、隐函数的导数
1
y
t
x
参数方程确定的函数的导数
参数方程确定的函数
x (t )
参数方程
t ( x)
1
y
t
y (t )
y 1 ( x )
参数方程确定的函数
x
参数方程确定的函数的导数
d y d y d x ( t ) d x d t d t ( t )
例9
当气球升至500m时停住,有一观测者以 100m／min 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
三、高阶导数
（一）概念
（二）求法
（一）隐函数的导数
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--------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
例4 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
二：求下列方程所确定的隐函数y的导数
1：y 1 xe y
2：y tan(x y)
三：用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
3、 y x sin x 1 e x .
四：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,
五：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
4
处的切线方程。
第三节 隐函数的求导与 取对数求导法
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
三、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
4
处的切线方程。
二：求下列函数的导数:
1：y=
1 x
3
x 0.1x 2 e2
3 : y sin(3x 1) 1 2x
5 : y 2x x3 arctan 3x 2
5x2 3x x 7: y
x
9 : y 9x23x loga[cos(5 3x3)]
2 : y x4 sin 3x 4 : y ln[sin(2x 5)] 6: y x x x x 8 : y ln a bx
a bx 10 : y x(1 x)2
(1 x)3
三：设函数
x2 f (x)
x 1
ax b x 1
为了使函数 f (x)在 x 1 处连续且可导，a, b
应取什么值？
四：设
f (x)可导，求下列函数
y
的导数 dy
dx
(1) y f (sin 2x)
(2) y f (sin2 x) f (cos2 x)
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2
例7
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例3 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
dy dx
dt dx
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d2 dx
y
2
d dx
( dy dx
)
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
5、 设
3 x2
y f (x)
5 x 5
f (0) =________.
,
则
6、 曲线 y sin x 在 x 0 处的切线与 x 轴 正向
2
的夹角为_________.
7：由方程
xy
tan(x
y)所确定的隐函数y的导数
dy dx
8 : 设 y x cos x xn 1 ,则 y/ .
y
x0 y1
1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
16
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 ( x 4)
x 2ex
1
,
方法:
y x sin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
一． 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________. x dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0
4、 设 y 2 tan x sec x 1,则 y=_________.
(t )
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例6
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
练习题
一、 填空题： 1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函 数，则 dy =________. dx (1,1) 2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________. 3、设 xy e x y ,则 dy =________. dx
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
例4 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
二：求下列方程所确定的隐函数y的导数
1：y 1 xe y
2：y tan(x y)
三：用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
3、 y x sin x 1 e x .
四：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,
五：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
4
处的切线方程。
第三节 隐函数的求导与 取对数求导法
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
三、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
4
处的切线方程。
二：求下列函数的导数:
1：y=
1 x
3
x 0.1x 2 e2
3 : y sin(3x 1) 1 2x
5 : y 2x x3 arctan 3x 2
5x2 3x x 7: y
x
9 : y 9x23x loga[cos(5 3x3)]
2 : y x4 sin 3x 4 : y ln[sin(2x 5)] 6: y x x x x 8 : y ln a bx
a bx 10 : y x(1 x)2
(1 x)3
三：设函数
x2 f (x)
x 1
ax b x 1
为了使函数 f (x)在 x 1 处连续且可导，a, b
应取什么值？
四：设
f (x)可导，求下列函数
y
的导数 dy
dx
(1) y f (sin 2x)
(2) y f (sin2 x) f (cos2 x)
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2
例7
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例3 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
dy dx
dt dx
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d2 dx
y
2
d dx
( dy dx
)
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
5、 设
3 x2
y f (x)
5 x 5
f (0) =________.
,
则
6、 曲线 y sin x 在 x 0 处的切线与 x 轴 正向
2
的夹角为_________.
7：由方程
xy
tan(x
y)所确定的隐函数y的导数
dy dx
8 : 设 y x cos x xn 1 ,则 y/ .
y
x0 y1
1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
16
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 ( x 4)
x 2ex
1
,
方法:
y x sin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
一． 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________. x dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0
4、 设 y 2 tan x sec x 1,则 y=_________.
(t )
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例6
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
练习题
一、 填空题： 1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函 数，则 dy =________. dx (1,1) 2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________. 3、设 xy e x y ,则 dy =________. dx