教案 对数函数的导数公式
大学数学《对数求导法》课件
g( x)ln
f
( x).
(按隐函数求微分或导数)
4
y (1 sin x)x ,
解 恒等变形得 ln y x ln(1 sin x)
根据微分法则知
1 dy dx ln(1 sin x) x 1 cos xdx
y
1 sin x
因此
dy
y
dx
ln(1
sin
x)
x 1 1 sin x
2
一、幂指函数的对数求导法则
例1 设 y xsin x ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[ x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
10
例5 设 y ( x 1)( x 2) , 求y. ( x 3)( x 4)
解 等式两边先取绝对值再取对数得
ln y 1 ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4
cos
xdx
(1
sin
x)x
ln(1
sin
x)
x cos x 1 sin x
dx.
5
求导法则:
对幂指函数 y uv , 其中u u( x),v v( x),可用对数
求导法求导:
职高求导公式
职高求导公式
职高求导公式包括：
1. 幂函数的导数：f(x)=x^n的导数，f'(x)=nx^(n-1)，n为正整数。
2. 指数函数的导数：f(x)=a^x的导数，f'(x)=a^xlna，f(x)=e^x的导数，
f'(x)=e^x。
3. 对数函数的导数：f(x)=logax的导数，f'(x)=logae/x，f(x)=lnx的导数，f'(x)=1/x。
4. 三角函数的导数：f(x)=sinx的导数，f'(x)=cosx，f(x)=cosx的导数，
f'(x)=-sinx，f(x)=tanx的导数，f'(x)=1/cos^2x，f(x)=cotx的导数，
f'(x)=-1/sin^2x。
5. 和差积商的导数：若函数和、差、积、商分别可导，则其对应的和、差、积、商也可导，且和的导数等于各因子的导数的和，差的导数等于各因子的导数的差，积的导数等于各因子导数的积，商的导数等于商乘以除数的导数再减去被除数的导数与除数的乘积。
上述职高求导公式仅供参考，可以通过查阅数学书籍或咨询数学老师获取更多公式。
对数求导基本公式
对数求导基本公式好的，以下是为您生成的关于“对数求导基本公式”的文章：在数学的奇妙世界里，对数求导可是个相当有趣又实用的工具。
就像我们在探险时手里的一把锋利宝剑，能帮我们轻松地解决很多复杂的问题。
先来说说对数求导的基本公式吧。
对于一个函数 y = f(x)，如果我们对它取自然对数，也就是 ln y = ln f(x) ，然后对等式两边求导，就会得到：(1/y) * y' = f'(x) / f(x) 。
最后再把 y 乘过去，就能得到 y' = y * [f'(x) / f(x)] 。
这看起来有点复杂，对吧？但别担心，咱们通过实际的例子来看看它到底怎么用。
还记得我之前教过的一个学生小明吗？有一次，我们在课堂上遇到了一个求导的难题：求函数 y = x^x 的导数。
这可把好多同学都难住了。
这时候，对数求导法就派上用场啦！我们先对等式两边取自然对数，得到 ln y = x ln x 。
然后对等式两边求导，左边是 (1/y) * y' ，右边是 1 * ln x + x * (1/x) ，也就是 ln x + 1 。
整理一下，就得到 (1/y) * y' = ln x + 1 。
最后把 y 乘过去，因为 y = x^x ，所以 y' = x^x * (ln x + 1) 。
小明一开始怎么都搞不明白，皱着眉头苦思冥想。
我就一步一步地给他讲解，让他自己动手算，终于，他的眼睛亮了起来，兴奋地说：“老师，我懂啦！”看着他那开心的样子，我心里也充满了成就感。
其实啊，对数求导法在很多函数求导中都能大显身手。
比如一些复杂的幂指函数、乘积形式的函数等等。
再比如说，求函数 y = (x + 1)^(x - 1) * (x - 2)^(x + 2) 的导数。
这看起来是不是超级复杂？但是别怕，咱们还是老办法，先取对数：ln y = (x - 1) ln(x + 1) + (x + 2) ln(x - 2) 。
log的导函数公式
log的导函数公式log的导函数是指以自然对数为底的对数函数的导数。
在数学中，自然对数以e为底，e是一个无理数，约等于2.71828。
自然对数函数的导数可以用以下公式表示：d/dx(ln(x)) = 1/x这个公式可以用来计算任意正实数x的导数。
下面将详细介绍这个公式的推导过程以及一些相关的概念。
我们需要了解一些关于对数的基本知识。
对数是指对数函数的反函数。
对数函数y=loga(x)的定义是：a的y次幂等于x，其中a是一个正实数且不等于1。
常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
自然对数函数ln(x)是以e为底的对数函数。
它的定义域为正实数，值域为所有实数。
自然对数函数有许多重要的性质，其中之一就是它的导数等于1/x。
要导出这个公式，我们可以使用导数的定义。
对于函数y=ln(x)，我们需要计算它在任意点x处的导数。
导数表示函数在某点的斜率，也可以理解为函数的变化率。
根据导数的定义，我们可以用以下极限来计算函数y=ln(x)在点x 处的导数：dy/dx = lim(h->0) [(ln(x+h) - ln(x))/h]接下来，我们需要利用对数的性质来简化这个极限。
对数函数有一个重要的性质：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
根据这个性质，我们可以将分子拆分为两个对数的差：dy/dx = lim(h->0) [ln((x+h)/x)/h]然后，我们可以利用对数的另一个性质：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
将分子中的两个对数合并为一个对数的差：dy/dx = lim(h->0) [ln(x+h) - ln(x)]/h接下来，我们可以利用对数函数的反函数性质来简化这个极限。
对数函数和指数函数是互为反函数的，即loga(a^x) = x。
根据这个性质，我们可以将分子中的两个对数化简为指数形式：dy/dx = lim(h->0) [(x+h) - x]/h(x(x+h))再进一步化简，我们可以消去分子中的x：dy/dx = lim(h->0) [h]/h(x(x+h))现在，我们可以将分子和分母中的h消去：dy/dx = lim(h->0) 1/x(x(x+h))我们可以简化极限表达式：dy/dx = 1/x所以，自然对数函数ln(x)的导数等于1/x。
对数求导法则
对数求导法则对数求导是微积分中的一种基础求导方法，它是基于对数函数的导数公式推导出来的。
对于许多复杂的函数，利用对数函数的导数公式进行简化计算可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
本文将重点介绍对数求导法则，并附上相关的数学公式和推导过程，希望能够帮助读者更好地掌握此方法的使用和运用。
一、对数函数的导数对数函数指的是自然对数（即以自然常数e为底的对数）和常用对数（以10为底的对数）函数。
对于自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)，它们的导数公式如下：1. 自然对数函数ln(x)ln'(x)=1/x其中，x>0。
可以看出，对数函数的导数与其自身的值相关，当自变量x越大时，对数函数的导数越小，反之亦然。
同时，根据导数的定义，对数函数在自变量为1的时候导数的值为1，即：ln'(1)=1/1=1log'(1)=1/(1ln10)=1/ln10对数求导法则指的是对数函数在复合函数中求导的一种方法。
这种方法是利用对数函数的导数公式推导而来的，它有以下两种形式：当y=f(u)是一个由变量u所表示的函数，其中u=g(x)是一个可导函数时，我们可以利用如下公式对y对x求导：dy/dx=dy/du*du/dx当u=g(x)时，有：其中，dy/du表示f(u)对于u的导数，g'(x)表示u=g(x)对于x的导数。
因此，在求导的时候，我们需要先求出f(u)对于u的导数，再乘以u=g(x)对于x的导数即可。
dy/dx=f'(u)/g'(x)对数求导法则的主要应用有以下几个方面：1. 简化求导过程2. 解决复合函数的求导问题对于某些由复合函数组成的函数，可以通过对数求导法则将这个函数求导的问题转化为基本的对数函数求导问题，从而得到更简单的结果。
3. 模型求解在一些数学模型中，对数函数经常被用来模拟某些现象，如爆炸威力、人口增长、信号强度等。
在这些模型中，对数求导法则可以用来求导模型函数，从而求解出一些关键参数。
人教版高二《对数函数的导数及应用》数学教案
人教版高二《对数函数的导数及应用》数学教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了人教版高二«对数函数的导数及运用»数学教案，希望能给大家带来协助!25 对数函数的导数及运用一、课前预备：【自主梳理】1. ， .2. ， .3. ，那么 .4. ，那么 .【自我检测】1. 函数的单调减区间为____ __.2.直线是曲线的一条切线，那么实数b= .3.曲线上的点到直线的最短距离是 .4.函数，那么在区间上的最大值和最小值区分为和 .5.函数， .假定函数与在区间上均为增函数,那么实数的取值范围为 .二、课堂活动：【例1】填空题：(1)函数的单调递增区间是 .(2)点是曲线上恣意一点,那么点到直线的距离的最小值是 .(3)假定函数在定义域内是增函数，那么实数的取值范围是 .(4)函数，那么曲线在点处的切线方程为__________。
【例2】函数 .(Ⅰ)假定，求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求的极值;(Ⅲ)假定函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，务实数的取值范围.【例3】函数 .(Ⅰ)假定曲线在和处的切线相互平行，求的值;(Ⅱ)求的单调区间;(Ⅲ)设，假定对恣意，均存在，使得，求的取值范围.三、课后作业1.函数，那么函数的单调增区间为 .2.函数的图象在点 ( 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.那么实数的值为 .3.函数，那么曲线在点处的切线方程为 .4.函数f(x)=x2-x+alnx，当时，恒成立，那么实数的取值范围为 .5.函数且，其中、那么m的值为 .6.假定f(x)= 上是减函数，那么b的取值范围是 .7.设函数假定直线l与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，那么实数p的值 .8.定义在正实数集上的函数，，其中 .设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相反，那么用可用表示为_________.9.函数 .(Ⅰ)假定，求曲线在处切线的斜率;(Ⅱ)求的单调区间;(Ⅲ)设，假定对恣意，均存在，使得，求的取值范围.10.设函数 ( )， .(1) 假定函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值;(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，务实数的取值范围;(3) 关于函数与定义域上的恣意实数，假定存在常数，使得和都成立，那么称直线为函数与的〝分界限〞.设，，试探求与能否存在〝分界限〞?假定存在，求出〝分界限〞的方程;假定不存在，请说明理由.四、纠错剖析错题卡题号错题原因分析参考答案：【自我检测】1. 2.ln2-1 3. 4. 和 5.二、课堂活动：【例1】(1) (2) (3) (4)【例2】解：(Ⅰ) ∵ ，∴ 且 .又∵ ，∴ .∴ 在点处的切线方程为：，即 .(Ⅱ) 的定义域为，，令得 .当时，，是增函数;当时，，是减函数;∴ 在处取得极大值，即 .(Ⅲ)(i)当，即时，由(Ⅱ)知在上是增函数，在上是减函数，∴当时，取得最大值，即 .又当时，，当时，，当时，，所以，的图像与的图像在上有公共点，等价于，解得，又由于，所以 .(ii)当，即时，在上是增函数，∴ 在上的最大值为，∴原效果等价于，解得，又∵ ∴无解.综上，的取值范围是 .【例3】解： .(Ⅰ) ，解得 .①当时，，，在区间上， ;在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是 .②当时，，在区间和上， ;在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是 .③当时，，故的单调递增区间是 .④当时，，在区间和上， ;在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是 .(Ⅲ)由，在上有 .由，，由(Ⅱ)可知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故 .②当时，在上单调递增，在上单调递减，故 .由可知，，，所以，，，综上所述， .三、课后作业1.(1，+∞)2.3.4.5.m=16.(-∞，-1)7.p=1或p=38.9.解：(Ⅰ)由， .故曲线在处切线的斜率为 .①当时，由于，故， ,所以，的单调递增区间为 .②当时，由，得 .在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 .(Ⅲ)由，转化为 . .由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不契合题意.(或许举出反例：存在，故不契合题意.)当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，解得 .10.解：(1)由于，所以，令，得：，此时，那么点到直线的距离为，即，解之得 .(2)解法一：不等式的解集中的整数恰有3个，等价于恰有三个整数解，故，令，由且，所以函数的一个零点在区间，那么另一个零点一定在区间，故解之得 .解法二：恰有三个整数解，故，即，，所以，又由于，所以，解之得 .(3)设，那么 .所以当时， ;当时， .因此时，取得最小值，那么与的图象在处有公共点 .设与存在〝分界限〞，方程为，即，由在恒成立，那么在恒成立 .所以成立，因此 .下面证明恒成立.设，那么 .所以当时， ;当时， .因此时取得最大值，那么成立.故所求〝分界限〞方程为： .。
对数函数求导公式有哪些
对数函数求导公式有哪些对数函数是高中数学的重点之一，那么对数函数求导公式是什么呢?快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“对数函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
对数函数求导公式对数求导的公式：(logax)'=1/(xlna)。
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要>0且≠1 真数>0。
并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。
(a>1时)如果底数一样，真数越小，函数值越大。
对数与指数之间的关系当a大于0，a不等于1时，a的X次方=N等价于log(a)N=x，log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)(n属于R)，换底公式(很重要)log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)=lnN/lna=lgN/lga，ln自然对数以e为底e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828)，lg常用对数以10为底。
拓展阅读：对数函数的性质与定义函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂为自变量。
下面是对数函数的性质与定义，希望对考生复习有帮助。
对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1，0)这点。
(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
高中数学导数对数运算教案
高中数学导数对数运算教案一、知识点回顾1. 导数的定义：函数$f(x)$在点$x_0$处的导数为$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。
2. 求导法则：- 常数函数求导：$(C)'=0$- 幂数函数求导：$(x^n)'=nx^{n-1}$- 指数函数求导：$(a^x)'=a^x\ln a$- 对数函数求导：$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$3. 对数运算：- 对数的基本性质：$\log_a mn = \log_a m + \log_a n, \log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n, \log_a m^n = n\log_a m$。
二、导数与对数的关系1. 对数函数的导数：- 对数函数$f(x)=\log_a x$的导数为$f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$。
2. 导数的应用：对数函数在解决实际问题中的应用。
- 例题：已知函数$y=\log_2 x$，求其导数$f'(x)$并在$x=4$处切线的斜率。
三、练习与讨论1. 练习题：- 求函数$f(x)=3\ln x$的导数$f'(x)$。
- 已知函数$y=\log_5 x$，求其在$x=25$处的切线方程。
2. 讨论题：- 如何利用导数求解对数函数相关的最值问题？- 对数函数在实际问题中的应用有哪些特点与优势？四、总结与拓展通过本节课的学习，我们了解了导数和对数函数之间的联系，并学会了如何求解对数函数的导数和应用。
同时，对于实际问题中的对数运算也有了更深入的理解和应用能力。
在日常学习中，我们要不断练习、深化对知识的理解，才能够更好地应用到实际问题中，并拓展更多相关知识。
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教案：对数函数的导数公式
姓名:严东泰
教材分析
本节是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，使学生能求简单的初等函数的导数．本节给出了对数函数、指数函数的导数，使学生对于初等函数的导数能完整地认识，由于这两种导数的证明所需知识均超出现学范围，所以本节重点在于熟悉对数函数、指数函数求导法则与前面知识结合的应用．本节难点是指数函数、对数函数求导法则的正确应用．由于对数函数、指数函数的求导法则均是直接给出，没有证明过程，学生只能直接套用公式求解，增加了运用的困难．这部分题目还涉及到导数的四则运算，复合函数的求导法则知识的运用，因此综合性较强，题目运算量较大．
教学设计
一、教学目标：
1．掌握函数x x a log ln 、
的导数公式； 2．应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数； 3．提高分析、解决问题能力以及运算能力．
二、教学重点：结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．
教学难点：对数函数求导公式的灵活运用． 三、教学用具：投影仪
教学过程
1．复习
（1）问题 叙述复合函数的求导法则． （2）练习 求下列函数的导数： Ⅰ．21x y -=；Ⅱ．.2sin x y = 答案：Ⅰ．2
1x
x --
；Ⅱ．.2cos 2x
2．新授
1．直接给出对数函数的导数公式（1）x
x 1
)(ln ='． 2．求证对数函数的导数公式（2）e x
x a a log 1
)(log =
'． 证明：.log 11ln 1ln ln )(log e x x a a x x a a =⋅=
'⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=' 注：以上两个公式均是对数函数的导数公式． 公式（1）尤其简单易记，x ln 的导数等于1-x ．
公式（2）略显复杂，x a log 的导数除了1-x ，还有另一因子e a log ，即a
ln 1，由证明过程看出是由使用换底公式而来．
试思考：求幂函数m x 的导数能得1-x 吗？ 3．公式的应用
让学生解答教科书例1，用多媒体展示其过程，需强调中间变量
1322++=x x u ．
让学生解答教科书例2，并分组交流、讨论、比较各种解法的优劣，引导学生归纳方法和技巧，寻找规律性的策略．
这样，突出了学生的主体地位，学生感到自己会学习，增强了学会学习、学会求知的兴趣和信心．
引处可向学生说明，真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变再求导．此例中解法2优于解法1，实际上，解法1中21,,lg x v v u u y -===，取了
两个中间变量，属于多重复合．而解法2中21,lg 21
x u u y -==，仅有一次复合，
所以其解法业得简单，不易出错．
补充
例：求下列函数的导数：
（1）)1(log 2
2x x y ++=；（2）2
2
11ln x
x y -+=； （3）x
x
y 2sin ln
=；（4）).(sin ln 2x e y -=
边分析，边讲解． 解：（1）)1(1log 22
2'++++=
'x x x x e y
.
1log 111log )1(12111log 2
222222
22x
e x x x x e x x x x e
+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+⋅++++=
解：由对数运算性质，有
)].1ln()1[ln(2
1
22x x y --+=
则⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-'--+'+='22221)1(1)1(21x x x x y
4
2212121221x x x x x x -=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---
+=
解：（3）'
⎪⎭
⎫
⎝⎛='x x x x y 2sin 2sin
x
x x x x x x x 1
2cot 21
2sin 22cos 2sin 2
-
=⋅-⋅⋅⋅=
解：（4）)
(sin ])([sin 22x e x e y -'
-='
)
cot(2)
(sin )()cos()sin(2)
(sin ])[sin()sin(222x e x e x e x e x e x e x e x e --=-'
-⋅-⋅-=-'
-⋅-=
请学生用先变形再求导的方法，再解第（4）小题． 4．反馈训练
Ⅰ．求下列函数的导数：
（1）)ln(cos x y =；（2）x y 2ln 1+=； （3）x x y lg =；（4）).sin 1(log 2x y += 答案：
（1）x tan -；（2）x
x x 2ln 1ln +；（3）e x lg lg +；（4）
e x
x
2log sin 1cos +．
Ⅱ．教科书练习． 5．课堂小结
知识：要记住并用熟对数函数的两个求导公式．
技能：注意遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，应先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，可使运算较简便．
五、布置作业
教科书习题3.5第1题． 补充 求下列函数的导数：
（1）)73(ln 2+=x y ；（2）)32(cos ln 3-=x y ； （3）)1ln(2-+=x x y ；（4）.ln 3x x y = 答案：（1）73)
73ln(6++x x ；（2）)32tan(6--x ；
（3）
1
12-x ；（4）.ln 322x x x +
公开课评价表
教后反思
1．对于公式e x
x a a log 1
)(log =
'，我们将它改为证明题，理由如下：首先，可复习对数换底公式．其次，可用前一公式x
x 1
)(ln ='为根据，这就成了熟悉和
使用前一公式的一次机会．再次，这一公式有一个常数因子e a log 即a
ln 1
．通过
证明，可以加深对此公式的理解和记忆，学生由a
x
x a ln ln log =这一步运算看到了
a
ln 1
的来历． 2．本节应注意对已学求导公式和法则的回顾总结，应告诉学生，常见函数的求导公式和初等函数的求导法则的学习告一段落，以使学生对知识体系有一个大致的轮廓．至此，应组织学生汇总所学求导公式与求导法则，让同学们系统记忆，以便取用方便．
3．增加学生训练的题量和机会．注意要侧重应用指数函数与对数函数的求导公式，也结合应用其他常见函数的求导公式、函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则．。