常见函数的导数
常见导数公式
常见导数公式常见导数公式包括：① C'=0（C为常数函数）；② (x^n)'= nx^(n-1)（n∈Q*）；③ (sinx)' = cosx，(cosx)' = - sinx，(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2，(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2，(secx)'=tanx·secx，(cscx)'=-cotx·cscx；④ (sinhx)'=hcoshx，(coshx)'=-hsinhx，(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2，(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2，(sechx)'=-tanhx·sechx，(cschx)'=-cothx·cschx；⑤ (e^x)' = e^x，(a^x)' = a^xlna（ln为自然对数），(Inx)' = 1/x（ln为自然对数），(logax)' =(xlna)^(-1)，(a>0且a不等于1)，(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)(1/x)'=-x^(-2)。
此外，还有复合函数的求导公式：①(u±v)'=u'±v'；②(uv)'=u'v+uv'；③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.高中阶段不需要掌握的求导公式包括：arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2，(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2，(arctanx)'=1/(1+x^2)，(arccotx)'=-1/(1+x^2)，(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)，(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)，(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2，(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2，(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|1)，(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)，(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)。
常见函数导数表
以下是一些常见函数的导数：
1. 常数函数：f(x)=c的导数为0。
2. 幂函数：f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数：f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*lna。
4. 对数函数：f(x)=lnx的导数为f'(x)=1/x。
5. 三角函数：
* 正弦函数：f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。
* 余弦函数：f(x)=cosx的导数为f'(x)=-sinx。
* 正切函数：f(x)=tanx的导数为f'(x)=sec^2x。
6. 反三角函数：
* 反正弦函数：f(x)=arcsinx的导数为f'(x)=1/√(1-x^2)。
* 反余弦函数：f(x)=arccosx的导数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。
* 反正切函数：f(x)=arctanx的导数为f'(x)=1/(1+x^2)。
7. 双曲函数：
* 自然双曲正弦函数：f(x)=shx的导数为f'(x)=chx。
* 自然双曲余弦函数：f(x)=chx的导数为f'(x)=shx。
8. 幂函数：对于形如f(x)=ax^n的幂函数，其导数为
f'(x)=nax^(n-1)。
9. 分式函数：对于形如f(x)=u/v的函数，其中u和v都是可导的，其导数为f'(x)=(u'v-uv')/v^2。
这只是一部分常见函数的导数，实际上还有很多其他类型的函数，这些函数的导数都需要根据具体情况进行计算。
导数表大全高等数学
导数表大全高等数学导数是高等数学中一个重要的概念，它在实际问题中有广泛的应用。
在求解实际问题时，我们通常需要根据问题的特点寻找合适的导数公式，进而求解问题。
以下是一些常见的导数公式和应用:1. 基本导数公式：- y" = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx- y"" = lim(Δx→0) [f"(x+Δx) - f"(x)] / Δx(x 是导数的定义)2. 三角函数的导数公式：- sin x" = cos x- cos x" = - sin x- tan x" = cot x- cot x" = - tan x- csc x" = 1/sin x- 1/sin x" = csc x3. 指数函数的导数公式：- a^x" = a^x *ln(a) + C(C 是常数)4. 对数函数的导数公式：- (ln x)" = dxn/dx(x是自然对数的底数)- (log x)" = (ln x)" / x(x 是自然对数的底数)5. 反函数的导数公式：- f^{-1}(x)" = f"(f^{-1}(x)) / f"(x)(x 是函数的反函数)6. 二次函数的导数公式：- 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的导数为:y" = 2ax + b(x 是二次函数的导数定义)7. 其他函数的导数公式：- 幂函数 y = x^a 的导数为:y" = ax^(a-1)- 递归函数 y = f(f(x)) 的导数为:y" = f"(x)(x 是递归函数的定义)- 对数函数的导数公式 (2)- 指数函数的导数公式 (2)在实际问题中，我们可以根据问题的特点选择合适的导数公式，进而求解问题。
常用函数的导数
常用函数的导数函数的导数是微积分中一个重要的概念，它是函数变化率的快慢，是衡量函数变化趋势的基本指标，可以用来分析函数的最大值、最小值及拐点等。
而常用函数的导数是函数变化快慢的根据，它不仅能够帮助我们解决微积分类型的问题，还能够应用于实际问题和实际环境中。
一、多项式函数的导数多项式函数的导数就是多项式函数的一阶导函数，它的定义如下：若f(x)是关于x的n次多项式，则f(x)的一阶导函数为f(x)=n*a_n*(x^(n-1))+(n-1)*a_(n-1)*(x^(n-2))+...+a_1 其中a_n是x^n的系数，a_(n-1)是x^(n-1)的系数，依次类推，最后一项系数是a_1。
比如f(x)=x^3+2x^2-5x+1，则f’(x)=3x^2+4x-5。
二、指数函数的导数指数函数是指将指数和变量结合起来形成的函数，其模型如下：f(x)=a^x，其中a是常数，它的一阶导函数为：f(x)=a^xln(a)，例如：y=2^x，则y=2^xln(2)。
三、对数函数的导数对数函数是指将对数和变量结合起来形成的函数，其模型如下：f(x)=log_a(x)，其中a是常数，它的一阶导数为f(x)=1/(xln(a))。
例如，y=log_2(x)，则y’=1/(xln(2))。
四、三角函数的导数三角函数是指将三角形的边长和角度结合起来形成的函数，它的一阶导函数如下：a、正弦函数：y=sin x，则y=cos x；b、余弦函数：y=cos x，则y=-sin x；c、正切函数：y=tan x，则y=sec^2 x。
五、双曲函数的导数双曲函数是指将双曲线的边长和角度结合起来形成的函数，它的一阶导函数如下：a、正双曲函数：y=sinh x，则y=cosh x；b、余双曲函数：y=cosh x，则y=sinh x；c、正切双曲函数：y=tanh x，则y=sech^2 x。
总结以上就是多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数常用函数的一阶导数，它们是微积分学中一个重要的概念，它能够帮助我们解决微积分类型的问题，还能用于实际环境中。
常见导数是什么
常见导数是什么在微积分中，导数是描述一个函数变化率的概念。
它告诉我们函数在某一点附近的变化速度。
常见导数包括一次导数、二次导数以及更高阶导数。
下面我们来了解一下这些常见导数的定义和性质。
一次导数给定函数f(f)，它的一次导数f′(f)定义为：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$一次导数描述了函数的瞬时变化率，即函数在某一点的斜率。
它可以帮助我们理解函数在这一点如何变化。
二次导数如果函数f(f)的一次导数f′(f)存在，那么f′(f)的导数[f′(f)]′就是f(f)的二次导数，记作f″(f)。
二次导数表示了一次导数的变化率，它可以告诉我们函数的曲率信息。
更高阶导数同样地，我们可以定义更高阶的导数。
f(f)(f)表示函数f(f)的第f阶导数，它是函数在某个点的f阶导数值。
常见函数的导数下面是一些常见函数的导数：•f(f)=f，其中f为常数，它的导数是0。
•f(f)=f f，其中f为任意实数，它的导数是ff f−1。
•$f(x)=\\sin(x)$，它的导数是$\\cos(x)$。
•$f(x)=\\cos(x)$，它的导数是$-\\sin(x)$。
•f(f)=f f，它的导数是f f。
这些函数的导数是微积分中常见的基本结果，通过对它们的导数进行计算，我们可以推导其他函数的导数。
导数的性质导数具有许多重要的性质：1.线性性质：(ff(f)+ff(f))′=ff′(f)+ff′(f)，其中f、f为常数。
2.乘积法则：(f(f)f(f))′=f′(f)f(f)+f(f)f′(f)。
3.商法则：$(\\frac{f(x)}{g(x)})'=\\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$。
4.链式法则：若f=f(f)、f=f(f)，则$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du}\\cdot\\frac{du}{dx}$。
导数公式大全
导数公式大全导数公式是微积分中非常重要的一部分，它可以用来计算函数在其中一点处的斜率。
以下是一些常见的导数公式：1.基本导数公式：- 总幂法则：如果 $f(x) = x^n$，其中 $n$ 是任意实数，则 $f'(x) = nx^{n-1}$- 幂函数常数因子法则：如果 $f(x) = cx^n$，其中 $c$ 是常数，$n$ 是任意实数，则 $f'(x) = cnx^{n-1}$-和差法则：如果$f(x)=u(x)+v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$可导，则$f'(x)=u'(x)+v'(x)$- 积法则：如果 $f(x) = u(x) \cdot v(x)$，其中 $u(x)$ 和$v(x)$ 可导，则 $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ - 商法则：如果 $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$，其中 $u(x)$ 和$v(x)$ 可导，且 $v(x) \neq 0$，则 $f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$2.指数函数与对数函数的导数：- 指数函数：如果 $f(x) = a^x$，其中 $a$ 是常数且 $a > 0$，则$f'(x) = a^x \ln(a)$-自然指数函数：如果$f(x)=e^x$，则$f'(x)=e^x$- 对数函数：如果 $f(x) = \log_a(x)$，其中 $a$ 是常数且 $a >0$，则 $f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)}$- 自然对数函数：如果 $f(x) = \ln(x)$，则 $f'(x) =\frac{1}{x}$3.三角函数的导数：- 正弦函数：如果 $f(x) = \sin(x)$，则 $f'(x) = \cos(x)$- 余弦函数：如果 $f(x) = \cos(x)$，则 $f'(x) = -\sin(x)$- 正切函数：如果 $f(x) = \tan(x)$，则 $f'(x) = \sec^2(x)$- 反正弦函数：如果 $f(x) = \arcsin(x)$，则 $f'(x) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$- 反余弦函数：如果 $f(x) = \arccos(x)$，则 $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$- 反正切函数：如果 $f(x) = \arctan(x)$，则 $f'(x) =\frac{1}{1+x^2}$4.常用函数的导数：-常数函数：如果$f(x)=c$，其中$c$是常数，则$f'(x)=0$- 反函数：如果 $f(x)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$，则 $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$-绝对值函数：如果$f(x)=，x，$，则$f'(x)$可以分为两段来计算，当$x>0$时，$f'(x)=1$；当$x<0$时，$f'(x)=-1$这里列出的只是一些常见的导数公式，实际上导数还可以通过链式法则、隐函数求导法则以及高阶导数等方法计算。
3.2几种常见函数的导数
3．2几种常见函数的导数一、四种常见函数的导数： 1. 0'=C (C 为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 证明：()y f x ==C ，∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0∴x y∆∆=0，y '=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0，∴y '=0.2. 1)'(-=n n nx x (Q n ∈)说明：实际上，此公式对R n ∈都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了*N n ∈的证明证明：()y f x ==nx∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=()n n x x x +∆- =nx +1C n 1n x -Δx +2C n 2n x-(Δx )2+…+n n C ()n x ∆－nx=1C n 1n x-Δx +2C n 2n x - (Δx )2+…+nn C ·()n x ∆xy ∆∆=1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx +…+n n C ·1()n x -∆ ∴y '=()n x '=xy x ∆∆→∆0lim=0lim →∆x （1C n 1n x-+2C n 2n x-Δx +…+n n C ·1()n x -∆)=1C n 1n x-=n 1n x-∴y '=1)'(-=n n nx x 3. x x cos )'(sin =证明方法一：y =sin x ，Δy =sin(x +Δx )－sin x =sin x cos Δx +cos x sin Δx －sin xxx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin ∴y '=xxx x x x x y x x ∆-∆+∆=∆∆→∆→∆sin sin cos cos sin lim lim000sin (cos 1)cos sin limx x x x xx∆→∆-+∆=∆200sin (2sin )sin 2limlim cos x x xx x x x x ∆→∆→∆-∆=+∆∆ 202sin 2lim(2sin )cos 4()2x x x x x x ∆→∆∆=-⋅⋅+∆ =－2sin x ·1·0+cos x =cos x ∴y '=cos x证明方法二：x y sin =，2)(sin 2)(cos2sin )sin(xx x x x x x x x y -∆++∆+=-∆+=∆2sin2cos 2x x x ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=， 22sin2cos x xx x x y ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆， ∴ 0lim )'(sin '→∆==x x y 22sin2cos lim 0x xx x x y x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆→∆ x x x x x x x cos 22sin lim 2cos lim 00=∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=→∆→∆． 4. x x sin )'(cos -=证明方法一：y =cos x ，Δy =cos(x +Δx )－cos x =cos x cos Δx －sin x sin Δx －cos xy '=xx x x x x x y x x ∆-∆-∆=∆∆→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim 000cos (cos 1)sin sin limx x x x xx∆→∆--∆=∆200cos (2sin )sin 2limlim sin x x xx x x x x∆→∆→∆-∆=-∆∆202sin 2lim(2cos )sin 14()2x x x x x ∆→∆∆=-⋅-⋅2cos 10sin sin x x x =-⋅⋅-=-∴y '=－sin x证明方法二：x y cos =，2)(sin 2)(sin 2cos )cos(xx x x x x x x x y -∆++∆+-=-∆+=∆2sin2sin 2xx x ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=， 22sin2sin x xx x x y ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆∆， ∴ 0lim )'(cos '→∆==x x y 22sin2sin lim 0x xx x x y x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆∆→∆ x x x x x x x sin 22sinlim 2sin lim 00-=∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=→∆→∆． ∴y '=－sin x .第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用 二、讲解范例：例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′ 解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2； (2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3(3) xx x x x 212121)()(2112121==='='-- 例2质点运动方程是51ts =, 求质点在2=t 时的速度． 解：∵ 51t s =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=⨯-='-=t s ．答：质点在2=t 时的速度是645-． 例3求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程．解：∵ x y sin = ∴ xx y cos )(sin ='='∴ 236cos6=='=ππx y ∴ 所求切线的斜率23=k ∴ 所求切线的方程为 )6(2321π-=-x y ， 即 0361236=-+-πy x 答：曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程为0361236=-+-πy x ．三、练习：1． (口答)求下列函数的导数：(1)y =x 5 (2)y =x 6 (3)x =sin t (4)u =cos ϕ 答案： (1)y ′=(x 5)′=5x 4； (2)y ′=(x 6)′=6x 5；(3)x ′=(sin t )′=cos t ； (4)u ′=(cos ϕ)′=－sin ϕ 2.求下列函数的导数：(1)y =31x(2)y =3x 答案：(1) y ′=(31x)′=(x －3)′=－3x －3－1=－3x －4 (2321313133131)()(--=='='='x x x x y3.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s)，求质点在t =3时的速度.解：v =s ′=(t 3)′=3t 3－1=3t 2当t =3时，v =3×32=27 m/s ，∴质点在t =3时的速度为27 m/s 4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=21gt 2，(s 单位m ，t 单位s ，g =9.8 m/s 2)，求t =3时的速度.解：v =s ′(t )=(21gt 2)′=21g ·2t 2－1=gt . t =3时，v =g ·3=9.8·3=29.4 m/s ，∴t =3时的速度为29.4 m/s.5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y′=(x4)′=4x4－1=4x3.∴y′|x=2=4·23=32∴点P(2，16)处的切线方程为y－16=32(x－2)，即32x－y－48=0四、小结：这节课主要学习了四个公式:①C′=0(C是常数)，②(x n)′=nx n－1(n∈R)，③(sin x)′=cos x，④(cos x)′=－sin x。
高中常见函数的导数公式表
高中常见函数的导数公式表1. 常数函数常数函数f(f)=f的导数为f′(f)=0。
2. 幂函数幂函数f(f)=f f的导数为f′(f)=ff f−1。
3. 指数函数指数函数f(f)=f f的导数为$f'(x) = a^x\\ln(a)$。
4. 对数函数自然对数函数$f(x) = \\ln(x)$的导数为$f'(x) = \\frac{1}{x}$。
5. 三角函数•正弦函数$f(x) = \\sin(x)$的导数为$f'(x) = \\cos(x)$。
•余弦函数$f(x) = \\cos(x)$的导数为$f'(x) = -\\sin(x)$。
•正切函数$f(x) = \\tan(x)$的导数为$f'(x) =\\sec^2(x)$。
•余切函数$f(x) = \\cot(x)$的导数为$f'(x) = -\\csc^2(x)$。
•正割函数$f(x) = \\sec(x)$的导数为$f'(x) =\\sec(x)\\tan(x)$。
•余割函数$f(x) = \\csc(x)$的导数为$f'(x) = -\\csc(x)\\cot(x)$。
6. 反三角函数•反正弦函数$f(x) = \\arcsin(x)$的导数为$f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
•反余弦函数$f(x) = \\arccos(x)$的导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
•反正切函数$f(x) = \\arctan(x)$的导数为$f'(x) = \\frac{1}{1+x^2}$。
•反余切函数$f(x) = \\arccot(x)$的导数为$f'(x) = -\\frac{1}{1+x^2}$。
•反正割函数$f(x) = \\arcsec(x)$的导数为$f'(x) = \\frac{1}{|x|\\sqrt{x^2-1}}$。
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常见函数的导数学习目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时体会算法的 思想并熟悉具体的操作步骤。
学习重难点：利用导数公式求一些函数的导数 一、 知识点梳理1. 基本初等函数，有下列的求导公式'1.()(,)kx b k k b +=为常数 '2.()1x = 2'3.()2x x =4.()0C '= 3'25.()3x x = '2116.()xx =-'=18.()x xααα-'=（α为常数） 9.()ln (01)xxa a a a a '=>≠，a a 1110.(log x)log e (01)x xlna a a '==>≠， x x 11.(e )e '= 112.(lnx)x'= 13.(sinx)cosx '= 14.(cosx)sinx '=－从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
二、典例讲解例1、求下列函数导数。
练习：（1）5-=xy （2）、xy 4= （3）、x x x y =（4）、x y 3log = （5）、)100()1(log 1≠>>-=x a a x ay x ，，， （6）、y=sin(2π+x) (7)y=sin 3π（8）、y=cos(2π－x) （9）、y=(1)f ' 例2、1.求过曲线y=cosx 上点P( 2π，0 ) 的切线的直线方程.2. 若直线y x b =-+为函数1y x=图象的切线,求b 的值和切点坐标.(1)(23)(2)(2)(3)3x x '-+='-='=4(4)y x =3(6)y x -==0(5)sin 45y练习：1.已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。
变式1.求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程. 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)处的切线方程.变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短.总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 三、课后练习1、函数y =___________.2、曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为_________.3、曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________．4．直线12y x b =+能作为下列函数()y f x =图象的切线吗？，若能，求出切点坐标，若不能，简述理由。
（1）1()f x x = （2）1()f x x=- （3）()sin f x x = （4）()x f x e =5．求曲线()xf x e =在0x =处的切线方程。
6．求曲线()ln f x x =在（2,2e ）处的切线方程。
思考：路灯距地平面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C 沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v 。
和差积商的导数学习目标：能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数。
学习重难点：理解函数的和、差、积、商的导数法则，并能进行运用。
一、知识点梳理（回顾）1.常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=（新知）2.函数的和、差、积、商的求导法则：法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即'')'(v u v u ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数，即()''Cu Cu =法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 '')'(uv v u uv +=法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、典例讲解例1. 求下列函数的导数 1.y =x 3+sin x 的导数. 2.求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法)3.y=5x 10sinx －2x cosx －9，求y ′4.求y =xx sin 2的导数. 5．求y =tan x 的导数.变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 解法一： 解法二：(3)求y =xx x cos 423-的导数.例2．求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=（2）'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=例3．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4（1）求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式三、课后练习1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =tan x (4)y =x cos 11-四、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.复合函数的导数学习目标：理解并掌握复合函数的求导法则，能求简单的复合函数的导数 学习重难点：掌握复合函数的求导法则 一、知识点梳理（回顾）1.常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 '')'(v u v u ±=± 2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．()''Cu Cu =法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 '')'(uv v u uv +=法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭（新知）2.复合函数求导法则由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数()y f μ=与()x μϕ=复合而成的函数一般形式是(())y f x ϕ=，其中u 称为中间变量复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x x y y μμ=•或'(())'()'()x f x f x ϕμϕ=特别地，ax b μ=+时，''x y y a μ=•二、 典例讲解例1．求下列函数的导数。
3(1)(23)y x =- （2）ln(51)y x =+（3）131y x =- (4)cos(12)y x =-例2．试说明下列函数是怎样复合而成的，并求它们的导数。
（1）23(2)y x =- （2）2sin y x =（3）cos()4y x π=- （4）ln sin(31)y x =-例3．写出由下列函数复合而成的函数，并求它们的导数。
（1）cos y μ= 21x μ=+ （2）ln y μ= ln x μ=三、课后练习1．求下列函数的导数。
（1）2(23)y x =+ （2）3(13)y x =- （3）2xy e = （4）1lny x=2．求曲线sin 2y x =在点P （π，0）处的切线方程。
四、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵ 复合函数求导的基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代。