第十二讲高阶导数习题
高等数学：第四节 高阶导数
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
( 1 )(n) x
(1)n
n! x n1
17
例11 设 y 1 , 求y(5) . x2 1
( 1 )(n) x
(1)n
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2
.
3
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数,
f (4) ( x),
y(4) ,
d4y .
dx 4
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
a 2 b2 eax a 2 b2 sin(bx 2)
n
y(n) (a 2 b2 ) 2 e ax sin( bx n)
( arctan b)
a
10
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
(2) (Cu)(n) Cu(n)
12
例8 设 y arctan x, 求y(n)(0).
解
y
1
1 x2
,
(1 x2 ) y 1, 由莱布尼兹公式,
（1 x2 ) y(n1) 2nxy(n) n(n 1) y(n1) 0,
令x 0, y(n1) (0) n(n 1) y(n1) , 递推关系！
高阶导数练习题
高阶导数练习题一、基本概念题1. 若函数f(x)的二阶导数f''(x)存在，则f''(x)是______的导数。
2. 设y = f(x^2)，求y关于x的二阶导数。
3. 已知f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1，求f''(x)。
4. 若f(x) = e^(2x)，求f^(4)(x)。
二、计算题1. 已知f(x) = sin(x^2)，求f''(x)。
2. 设y = ln(x^2 + 1)，求y的第三阶导数。
3. 已知y = (x^2 + 1)^(1/2)，求y的第四阶导数。
4. 设f(x) = (x^3 3x)^5，求f''(x)。
5. 已知y = e^x cos(x)，求y的第三阶导数。
三、应用题1. 设物体在直线运动中的位移s关于时间t的函数为s = t^3 3t^2 + 2t，求物体在t = 2时的加速度。
2. 已知某曲线的方程为y = 3x^4 4x^3 + 2x^2，求该曲线在x = 1处的曲率。
3. 设某函数f(x)的二阶导数f''(x) = 6x 4，求f(x)在x = 0处的拐点。
4. 已知某函数的图像在点(x, y)处的切线斜率为y' = 2x + 1，求该函数在x = 2处的曲率半径。
5. 设某物体的速度v关于时间t的函数为v = t^2 2t + 3，求物体在t = 1时的加速度和减速度。
四、综合题1. 已知函数f(x) = arctan(x^2)，求f''(x)。
2. 设y = (x^2 + 1) e^x，求y的第四阶导数。
3. 已知y = x^3 ln(x)，求y的第三阶导数。
4. 设f(x) = (1 + x^2)^(1/2)，求f''(x)。
5. 已知y = (x^4 2x^2 + 1)^(1/3)，求y的第四阶导数。
高阶导数根号例题
高阶导数根号例题二阶以及二阶以上的导数，统称高阶导数高阶导数四大解法：变形成n阶四公式形式莱布尼茨公式（常需利用n阶四公式）泰勒公式化得多项式观察规律法首先，要想解高阶导数又快又准，n阶四公式绝对是基础中的基础，所以，请务必记住n阶四公式：{(^m)}^{(n)}=m(m-1)(m-2)\cdot(m-n+1)^{m-n}\quad(m\geq n){(a^)}^{(n)}=(\ln a)^{n}a^(\ln )^{(n)}=\frac{{(-1)}^{n-1}(n-1)!} {^n} （由(\ln )'=\frac{1} {} ，有 {(\frac{1} {})}^{(n)}=\frac{(-1)^nn!} {^{n+1}} ）{(\in )}^{(n)}=in (+\frac{n\pi} {2}) （ {(\co )}^{(n)}={co (+\frac{n\pi} {2})} ）所谓n阶四公式，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数最简单形式的n阶导数的值。
但是通常，题目不会直接让我们求这四个函数，一般我们要求的，都是 n 阶四公式形式的函数，比如说，求的是 {(a+b)}^{(n)} ，{[\ln(a+b)]}^{(n)} ， {[in (k+b)]}^{(n)}我们只要记住了形式简单的n阶四公式，就可以很快地推出n阶四公式形式的函数。
所以，现在，请立刻开始把n阶四公式记住，不要说留到后面再背，告诉自己，我现在就要记住n阶四公式，并且我不会忘了。
只有我们有坚定说要去记住，才真的更容易记牢，这是我自己的感受。
好，现在我们记住了n阶四公式。
因为是最简单的形式，所以记起来也还行。
ok，前面说了这么多，其实就讲了一样东西，叫 n 阶四公式。
为了检验你是否掌握，请你拿出纸笔，求：f()=\ln (1-) 的 n 阶导数。
（答案在文末，题号为① ）上面的问题你答对了吗？答对了就点个赞吧！好，现在，停下来，休息一下，放松地思考一下，下面两个问题：{[(a+b)^m]}^{(n)} ，{[\ln (a+b)]}^{(n)} ， {[in (k+b)]}^{(n)}上面的三个n阶导数求出来是什么？问题难度适中，相信你能思考出来。
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
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高等数学(第二版)上册课件：高阶导数
小结
高阶导数的定义： y(n) [ y(n1) ]
高阶导数的物理意义：a s
n阶导数的求法：直接法 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
f" (x)
( x2 1)4
2( x2 1)2 2 x 2( x2 1) 2 x
( x2 1)4
2( x2 1)(1 3 x2 ) ( x2 1)4
2(1 3 x2 ) ( x2 1)3
所以
f " (1) 1 2
例 2.4.3 求由方程 y x ln( x y)所确定的
隐函数y的二阶导数
d2 y dx 2
.
解
方程两边对x求导,
y 1 1 (1 y) x y
化简，得 故得
y x y 1 1 2
x y1
x y1
d2 y dx 2
(x
2 y 1)2
(1
y)
(x
2 y 1)2
(1
x x
y y
1) 1
4( x y) ( x y 1)3
t t
例 2.4.4
2x
1 x 2
1 1 x2
y ( y)
1 1 x2
[(1
x
2
)
1 2
]
1
(1
x2
)
3 2
2x
2
x
3
(1 x2 )2
例 2.4.2
已知函数f ( x) 1 ，求f " (1). x2 1
解
( x2 1) f ' (x)
( x2 1)2
2x
( x2 1)2
(2x)'( x2 1) 2x [( x2 1)2 ]
高等数学：第十二讲 高阶导数
2
2
2
y(n) 3n sin(3x n )
2
归纳法:逐阶求出若干阶导数后,再归纳出 n 阶导数的一般表达式.
谢谢
仍是x的可导函数, 就称 y f (x) 的导数为 f (x)的二阶导数，记作
y，f
(x)
或
d2 y d x2
,
则
y
( y)，
f
(x)
f
(
x)，d
d
2y x2
d dx
(dy) dx
高阶导数的定义
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f (x),
y, d3 y . dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,记作
f
(4)
( x),
y
(4)
,
d4 y dx 4
.
一般地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数，记作
f
(n)
( x),
y
(n)
,
dn y dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
例1：
已知y=2x4-3x2+x-1 ，求 y.
解 y=8x3-6x+1 y =(8x3-6x+1)'=24x2-6 y=(24x2-6)'=48x
逐阶求导法: 按高阶导数的定义逐阶求导.
例2：
设y=sin3x，求y(n).
cosx sin(x )
2
解 y 3cos3x 3sin(3x )
y [3sincos(3x
)
32
sin(3x
2)
2
2
2
y [32 sin(3x 2)] 33 cos(3x 2) 33 sin(3x 3)
高等数学高阶导数PPT课件
定义: 由方程F(x, y) 0所确定的函数称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
1
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例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
17
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2、 高阶导数求法举例
（1）直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例6 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
dx
dt
25
第25页/共29页
例11
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
26
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随堂练习：
求下列函数y的二阶导数：
(1) y x cos x；
(2) y2 2 xy 1；
(3) x2 y2 xy 1；
高数上D2_3高阶导数
用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
例7.
求
解: 设
则
代入莱布尼兹公式 , 得
例8. 设
求
解:
即
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
令
得
由
得
即
由
得
作业
习题2-3 P104页 2, 5, 6, 7, 8(1)(2)
内容小结
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法
—— 利用已知的高阶导数公式
备用题
二、高阶导数的运算法则
第三节
一、高阶导数的概念
高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念
速度
即
加速度
即
引例：变速直线运动
定义.
若函数
的导数
可导,
或
即
或
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
阶导数的导数称为 n 阶导数 ,
或
的二阶导数 ,
记作
的导数为
依次类推 ,
分别记作
则称
设
求
解:
依次类推 ,
例1.
(4) 利用莱布尼兹公式
高阶导数的求法
如,
思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
解:
解:
(3)
提示: 令
原式
原式
解:
2. (填空题) (1) 设
则
提示:
各项均含因子 ( x – 2 )
(2) 已知
任意阶可导, 且
时
提示:
则当
3. 试从
导出
解：
同样可求
解:
设
求