高阶导数的运算法则
导数计算公式
导数计算公式导数是微积分中最基本的概念之一，用于描述函数在其中一点的变化率。
在数学中，导数的计算是通过极限的概念进行的。
导数的计算公式可以根据函数的不同类型进行分类。
首先，我们来看一下基本函数的导数计算公式。
1.需知导数计算的公式：(1)常数函数的导数：如果f(x)=c，其中c是常数，则f'(x)=0。
(2)幂函数的导数：若f(x) = x^n(n为常数)，则f'(x) = nx^(n-1)。
(3)指数函数的导数：若f(x) = a^x(a>0且a≠1)，则f'(x) = ln(a) * a^x。
(4)对数函数的导数：若f(x) = logₐ(x)(a>0且a≠1)，则f'(x) = 1 / (ln(a) * x)。
(5)三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)。
(6)反三角函数的导数：sin^(-1)'(x) = 1 / √(1 - x^2)cos^(-1)'(x) = -1 / √(1 - x^2)tan^(-1)'(x) = 1 / (1 + x^2)。
2.导数的四则运算法则：导数具有以下四则运算法则，对于函数f(x)和g(x)，它们的导数可以通过以下公式计算：(1)(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)(2) (cf)'(x) = cf'(x)(3)(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)(4)(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)。
3.链式法则：链式法则是导数计算中的一个重要法则，它用于计算复合函数的导数。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = dy/du * du/dx。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面将详细介绍。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量的增量。
该定义表示函数f(x)在点x处的导数是函数在极限过程中的变化率。
二、导数的基本公式1.常数函数的导数公式若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
4.对数函数的导数公式若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
三、导数的运算法则1.和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
2.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
3.乘积法则若f(x)和g(x)都可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
高阶导数
则 y1
(1)(2)(n)(1 x )
Hale Waihona Puke ( n 1)n! (1) (1 x ) n1
n
y1
n
(1)(2)(n)(1 x )
( n 1)
n! (1) (1 x ) n1
n
另：
2 3 2 y ( 1 )( 1 x ) ( 1 ) ， y ( 1 )( 2 )( 1 x ) ( 1 ) ， 2 2
n n 1 n 1 1 y 2 1 x 1 x
其中： y1 (1 x ) 1 则 (1)(1 x ) 2 ， (1)(2)(1 x ) 3 , y1 y1
例 3 设 y＝x μ （x＞ 0， μ为任意实数），求 yn .
解：
y x 1 ， y ( 1) x 2
y ( n ) 1 2 n 1x n
特别： x
n
n
＝n！ （n为自然数）。
例 4 设 f ( x) ＝sin x ，求f
则 y2
n
(1)(2)(n)(1 x )
n
( n 1)
n! (1) n 1 (1 x )
n
y
1 n! n! n (1) n1 n1 2 (1 x ) (1 x )
例 8 设 y＝x2 ＋ 1 ln 1 ＋x ，求 y100 .
解：
令 u＝ln 1 x ，v＝ x 2 1 v＝2 x ， v＝2 ， v n＝ 0 n 3
则利用莱布尼兹公式可 得： 99! 100 98! 100 99 97! 2 y ＝－ 1＋ ＋ 0 ＋ ＋ 0 100 x ＋ 99 2 x－ 98 2 1 x 1 x 2!1 x ＝
2-3 高阶导数(高等数学)
§2.3 高阶导数教学内容： 一．高阶导数二阶导数的定义：0(+)()()limx f x x f x f x x∆→''∆-''=∆.高阶导数：(1)(1)()0(+)()()lim n n n x f x x f x f x x--∆→∆-=∆二．高阶导数的运算法则（1）若函数(),()==u u x v v x 在x 点处具有n 阶导数，则()()±u x v x 、()(Cu x C 为常数)在点x 点处具有n 阶导数，且()()()()±=±n n n u v u v ，()()()=n n Cu Cu .（2）函数(),()==u u x v v x 在x 点处具有n 阶导数, ()()()()1C nn k n k k n k uv u v -==∑，此公式称为莱布尼茨公式.三．例题讲解例1.设3π()4cos 3sin sin 2f x x x x =-+-，求()f x '，(0)f '．例2.设2e sin x y x x +，求y '．例3.设x y tan =，求y '．同理可推得 ()x x 2csc cot -='．例4.设x y sec =，求y '．同理可推得 ()x x x cot csc csc -='．例5.证明(arcsin )'x =．例6.证明 ()ln x xa a a '=．特别地，当e a =时， (e )e x x'=．例7.求下列函数的导数．（1）3cos y x =； （2）1e xy =； （3）y =； （4）arcsin y =.例8.求下列双曲函数的导数．（1）双曲正弦 e e sh 2x x x -- =；（2）双曲余弦 e e ch 2x x x -+ =； （3）双曲正切 e e th e +e x xx xx --- = ．例9.求下列函数的导数． （1）3sin ln x y =； （2）1tan2xy =； （3）2sin (34)y x =-.例10.求下列函数的导数．（1）221cos sin y x x=⋅； （2）ln(y x =．例11.已知()f u 可导，求下列函数的导数．（1）3f y =； （2）(ln )ln ()y f x f x =+．例14.设324e 5ln xy x x =-+，求y ''．例15.求下列函数的n 阶导数．（1）xa y =； （2）x y sin =.例16.求函数11=+y x的n 阶导数.例17.已知214=-y x ，求(100)y .例18.已知2sin 3=y x x ，求(20)y .。
高阶导数的运算法则
应用
高阶微分方程在描述复杂系统的行为和解决某些数学问题中有重要应用。
05
高阶导数的物理应用
速度与加速度的关系
总结词
描述速度和加速度之间的数学关系
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的两 个重要物理量。速度是描述物体位置变化的量，而加 速度是描述物体速度变化快慢的量。通过高阶导数， 我们可以更精确地描述速度和加速度之间的关系。例 如，物体的运动方程可以表示为速度关于时间的导数 （即加速度），而加速度关于时间的导数则表示加加 速度（即物体速度变化的速率）。
举例
$y'' = f(x, y, y', y'')$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变量。
应用
二阶微分方程在振动、波动和曲率等领域有广泛应 用。
高阶微分方程
定义
高阶微分方程是包含一个未知函数及其高阶导 数的方程。
举例
$y^{(n)} = f(x, y, y', ldots, y^{(n)})$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变 量。
幂的导数法则
总结词
幂的导数法则是计算幂函数的高阶导数的规 则。
详细描述
幂的导数法则是说，如果幂函数y=x^n对x有 n阶导数，则其高阶导数的形式为 d^ny/dx^n=(n!)*x^(n-1)/[(n-
1)!]+...+2*x/1+0*1/x，其中n为非负整数。
03
高阶导数的应用
求极值
极值判定定理
04
高阶导数在微分方程中的应 用
一阶微分方程
定义
01
一阶微分方程是包含一个未知函数及其导数的方程。
高阶导数
①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,
导数公式大全
导数公式大全导数是微积分中一个重要的概念，用于描述函数的变化率。
在实际应用中，导数广泛用于求解最优化问题、曲线拟合、物理问题以及其他各种工程和科学领域。
下面是一些常用的导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。
1.基本函数的导数公式（1）常数函数：f(x)=C，其中C为常数，导数为0。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) =nx^(n-1)。
（3）指数函数：f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。
（4）对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x，其中x大于0。
（5）三角函数：正弦函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)。
余弦函数：f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。
正切函数：f(x) = tan(x)，导数为f'(x) = sec^2(x)。
（6）反三角函数：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反余弦函数：f(x) = arccos(x)，导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反正切函数：f(x) = arctan(x)，导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
2.基本运算法则（1）和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
（2）常数倍法则：若f(x)是可导函数，则有(k·f(x))'=k·f'(x)，其中k为常数。
（3）乘积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。
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v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
Байду номын сангаас
1
x
(n)
(1)n
(a
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
1
3
(2x x2)2
1 y3
所以y 3y10
例2. 设
存在，求下列函数的二阶导数
（1） y f (ex ); （2） y e f (x).
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x 1 x
(3)
y
x2
1 3x
2
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
1 x
解:
1 解: (x 2)(x 1)
(x 1) (x 2) (x 2)(x 1)
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 ,
分别记作
或
y(y) f (x)[f (x)]
d2y dx2
d dx
(dy) dx
例1 证明 函数 y 2x x2 满足关系式 y3y 1 0
证证明明 因为 y 22x 1 x 2 2x x2 2x x2
1 1 x 2 x 1
y(n)
n! (1 x)n1
,
n3
y(n)
(1)n
n!
(x
1 2)n1
(x
1 1)n1
作业：p-103 习题2-3 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (1) ; 5, 10 (2) , (3) ; 11 (2) , (3)
解:（1） dy f (ex )(ex ) f (ex )ex dx
d 2 y [ f (ex )]ex f (ex )(ex ) f (ex )(ex )ex f (ex )ex dx2
f (ex )e2x f (ex )ex
（2） dy e f (x) f (x)
dx
d 2 y e f (x)[ f (x)]2 e f (x) f (x)
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
x
n
2
)
例7. 设 f (x) 3x3 x2 x , 求使 f (n) (0) 存在的最高
阶数 分析:
2
f
(x)
4x3, 2x3,
x0 x0
f
(0)
lim
x 0
2x3 x
0
0
f (0)
lim
x0
4x3 0 x
0
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)
lim
x0
6
x x
2
0
f
(0)
lim
x0
12x x
2
0
f
( x)
24x 12x
, ,
x0 x0
但是 f(0) 12 , f(0) 24 , f (0) 不存在 .
二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
y(n) aneax 特别有: (ex )(n) e x
例5. 设
求
解:
y 1 , 1 x
y
1 (1 x)2
,
y
(1)2
1 (1
2 x)3
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
例6. 设
求
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2
)
sin(x
2
2
)
sin(x
2
2
§2.3 高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度
即 v s
加速度
即
a (s)
定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导, 则称
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
dx2
例3. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
依次类推 , 可得
y(n) n!an
思考: 设 y x ( 为任意常数), 问
例4. 设 y eax , 求 y(n).
解: y aeax , y a2 eax , y a3eax , ,
(C为常数)
n(n 1) 2!
n(n 1)(n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
(uv) uv uv (uv) (uv uv) uv 2 uv uv (uv) uv 3uv 3uv uv
用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
例8.
求
解: 设 u e2x , v x2 , 则 u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2x , v 2 ,