导数的运算法则
导数的四则运算法则
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练 习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面将详细介绍。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量的增量。
该定义表示函数f(x)在点x处的导数是函数在极限过程中的变化率。
二、导数的基本公式1.常数函数的导数公式若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
4.对数函数的导数公式若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
三、导数的运算法则1.和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
2.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
3.乘积法则若f(x)和g(x)都可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
导数的运算法则公式
导数的运算法则公式1. 导数的概念导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，其在x点的导数表示为f'(x)，可以理解为x点处的瞬时变化率。
2. 导数的意义导数有很多实际应用，例如物理学中的速度和加速度，经济学中的边际效应等，都可以通过导数来计算。
此外，导数还可以用于求解函数的极值和函数的图像特征等问题。
3. 导数的计算导数的计算有多种方法，最基本的方法是使用极限定义。
对于f(x)在x点的导数f'(x)，可以用以下极限定义来计算：f'(x) = lim (f(x + h) - f(x)) / h, h->0其中，h为一个无限趋近于0的数。
这个公式的意思是将x点的函数值和x+h点的函数值的差，除以h的值，即得到函数在x点的变化率。
随着h趋近于0，这个差值越来越接近于瞬时变化率，也就是导数。
除了极限定义外，还有一些常见函数的导数公式，如下：(1) 常数函数f(x) = c的导数为0，即f'(x) = 0；(2) 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)；(3) 指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x·ln(a)；(4) 对数函数f(x) = logₐx的导数为f'(x) = 1/(x·ln(a))。
另外，还有一些重要的导数计算法则，如下：(1) 基本运算法则：导数具有线性性质，即（f(x)±g(x))' =f'(x)±g'(x)；(2) 乘法法则：（f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)；(3) 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)) / [g(x)]^2；(4) 复合函数法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)。
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
导数的四则运算法则
cos 2 x sin2 cos 2 x
x
1 cos 2
x
sec2
x.
即 同理可得
(tan x) = sec2x . (cot x) = - csc2x .
例 5 设 y = sec x，求 y .
解 根据推论 2，有
y
(se
cx)
1 cos
x
(cos x) cos2 x
sin x cos2 x
tan .
y x x0
y y0
)
(1)](
x
1)
(x2
1) 2x( x ( x 2 1)2
1)
2x (x2
x2 1 1)2
.
例 4 设 f (x) = tan x， 求 f (x). 解 f ( x) (tan x) sin x
cos x
cos x(sin x) (cos x)sin x
cos2 x
一、偏导数的求法
例 6 求函数 z x2 3xy 2 y3 在点 (2 , 1) 处 的两个偏导数.
解 因为
z 2x 3 y, z 3x 6 y2 ,
x
y
所以
z 22 31 1 , x x2
y1
z 3 2 6 1 0 . y x2
y1
例 7 设 z x y ( x 0) , 求证：
x0 x
x0 x
lim
x0
y x
lim
x0
u(
x
)
v x
v(x)
u x
u x
v
u( x) lim v v( x) lim u lim u lim v
x0 x
x0 x x0 x x0
一导数的四则运算法则
u'( x) lim u( x) , v'( x) lim v( x)
x0 x
x0 x
且y v( x)在点x处必连续，即
lim v( x x) v( x)
x0
所以
lim
x0
y x
=
lim
x0
u( x) x
v(
x
x)
v( x) x
u( x)
=u '( x) v( x) u( x) v '( x)
一、导数的四则运算法则
定理1 设函数u( x)与v( x)在点x处可导，则函数u( x) v( x)， u( x) v( x)，u( x) (v( x) 0)在点x处也可导并且有：
v( x)
1、u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
2、u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
=
1
1 x
2
(16)(arc
cot
x)'
=
1 1 x
2
2、 导数的四则运算法则
(1)u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
(2)u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
(3)Cu(x) ' Cu '(x)(C为常数)
'
u( x)
u '( x) v( x) u( x) v '( x)
f '(u)u'( x)
值得指出的是，复合函数的求导法，有时也称为链 导法，它可用于多次复合的情形。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点处的变化率。
导数公式和导数的运算法则是使用导数进行计算和推导的基本工具。
下面将介绍导数的定义、导数公式以及导数的运算法则。
一、导数的定义对于给定的函数y=f(x)，在其中一点x=a处的导数定义如下：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h其中，lim表示极限，h为x在a点的增量。
该定义表明导数表示函数在其中一点处的斜率或变化率。
二、导数的主要公式1.常数的导数公式如果f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
指数函数e^x的导数仍然是e^x。
4.对数函数的导数公式如果f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- sin函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- cos函数的导数：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- tan函数的导数：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)，其中sec^2表示secant的平方。
6.反三角函数的导数公式- arcsin函数的导数：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- arccos函数的导数：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- arctan函数的导数：f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数具有一些基本的运算法则，可以用于计算复杂函数的导数。
1.常数乘以函数的导数法则如果f(x)的导数是f'(x)，则(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数。
导数的基本公式与运算法则
导数的基本公式与运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点附近的变化率。
在计算导数时，有一些基本公式和运算法则可以帮助我们简化计算过程。
一、基本公式1.常数函数的导数公式对于常数函数f(x)=C，其中C是一个常数，其导数为f'(x)=0。
这是因为常数函数在任何点处的斜率都为0，所以其导数为0。
2.幂函数的导数公式对于幂函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，其导数为f'(x) =nx^(n-1)。
这个公式可以通过使用极限定义来证明。
3.指数函数的导数公式对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1，其导数为f'(x) = ln(a) * a^x。
这个公式可以通过使用极限定义和指数函数的性质来证明。
4.对数函数的导数公式对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且a≠1，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
这个公式可以通过使用极限定义和对数函数的性质来证明。
5.三角函数的导数公式对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x)以及它们的反函数，它们的导数公式如下：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)cot'(x) = -csc^2(x)sec'(x) = sec(x) * tan(x)csc'(x) = -csc(x) * cot(x)这些公式可以通过使用极限定义和三角函数的性质来证明。
二、运算法则1.和差法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的和（或差）的导数等于它们的导数之和（或差）：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)2.积法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)3.商法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，那么它们的商的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数减去第二个函数乘以第一个函数的导数，再除以第二个函数的平方：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^24.复合函数的导数如果函数f(x)和g(x)都可导，那么复合函数f(g(x))的导数等于f'(g(x))乘以g'(x)：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)这些基本公式和运算法则是在计算导数时非常有用的工具，它们能够帮助我们简化计算过程并得到准确的结果。
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4．例题1是为巩固导数公式与导数运算法则编排的，尤其是公式 是本节教学的重点内容，是重点巩固的对象。例题2的编排是为进一 步理解导数的几何意义。文科学生必须会利用求导解决曲线的切线方程 问题。
教学过程
1．复习求导函数的一般方法 （让学生回顾求导的三个基本步骤） 2．提出问题 ①常数函数y＝C的导数是什么？ ②已知，y′等于什么？ 3．组织讨论，解决问题 ①让两位学生在黑板上独立解决。
2．在掌握了导函数的一般求法的情况下，尽量激发学生的思维，让 学生自己主动建构导数公式的推导，体验求导的思路与过程。在推导的 过程中，启发学生对的运算思路，除了教科书上的二项式定理展开之 外，还可以直接用的公式进行运算。
3．关于导数的运算法则，教科书只给出了加减及数乘的两个结论， 只要求学生会用结论即可。
导数的运算法则
目的要求 1．理解常数函数及的导数公式的推导过程，并式与求导法则求简单函数的导数。
内容分析 1．本节内容介绍的两个导数公式（C）′=0和是教学大纲中要求文科 学生掌握的。其实，公式对n∈R都成立，但在文科数学教学中只要求掌 握n∈N*的情况，不要给学生增加负担。
②其余学生分组讨论，协作解决。 ③教师与学生共同评定问题的解决方法及其结果。 ④得出（C）′=0（C为常数），。 4．提出问题，求函数的导函数 ①让学生用定义求解。 ②让学生说出体验一—繁。 ③想办法化繁为简。 5．给出导数运算法则 如果f(x)、g(x)有导数，那么 ， 。 6．用公式与法则解决问题 板书讲解：， 。 请学生比较用定义与用公式法则的感受。 7．巩固知识 ①板书讲解例1的（1）（2）（3）题。 ②多媒体课件讲解例2。重点在理解导数的几何意义。 ③补充例题：已知曲线外的一点P（2，3），求： （1）过点P的切线的斜率； （2）过点P的切线方程。 8．课堂练习 ①口答教科书练习。 ②学生板演练习。 9．归纳总结（填表）
布置作业
教科书习题2.4第1题、第2题、第4题、第5题。 （孙惠华）