最新导数的四则运算法则
导数的四则运算法则
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
导数的基本公式及四则运算法则
常见函数的导数
指数函数
$(a^x)' = a^x ln a$
三角函数
$(sin x)' = cos x$， $(cos x)' = -sin x$
幂函数
$(x^n)' = n cdot x^{n-1}$
对数函数
$(ln x)' = frac{1}{x}$
反三角函数
$(arcsin x)' = frac{1}{sqrt{1x^2}}$
详细描述
对于两个可导函数的和或差，其导数可以通过分别对每个函数求导然后进行相应的加减运算来得到。 即，如果 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导的，那么 $(u(x) + v(x))'$ 和 $(u(x) - v(x))'$ 可以通过对 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别求导然后进行加法或减法运算来得到。
导数在解决实际问题中也有重要应用，如经济学、物理学和工程学等领域的问题。
导数的概念和计算方法对于培养数学思维和解决实际问题的能力具有重要意义。
导数与积分的关系
导数是微分的逆运算， 而积分是微分的积分。
通过导数和积分可以 相互转化，从而解决 复杂的数学问题。
导数和积分是微积分 中的两个基本概念， 它们之间存在密切的 联系。
THANKS
谢谢
导数的基本公式及四则运算法 则
目录
CONTENTS
• 导数的基本公式 • 导数的四则运算法则 • 导数的应用 • 导数与微积分的关系
01
CHAPTER
导数的基本公式
定义与性质
定义
导数描述了函数在某一点附近的 变化率，是函数局部性质的一种 体现。
导数四则运算和反函数求导法则
导数四则运算和反函数求导法则
一、导数四则运算规则
1、加法：如果有f(x)+g(x)，那么它们的导数为f'(x)+g'(x)
2、减法：如果有f(x)-g(x)，那么它们的导数为f'(x)-g'(x)
3、乘法：如果有f(x)g(x)，那么它们的导数为f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
4、除法：如果有f(x)/g(x)，那么它们的导数为[f'(x)g(x)-
f(x)g'(x)]/[g(x)]^2
5、幂函数：如果有f(x)=x^n，那么它们的导数为f'(x)=nx^(n-1)
6、指数函数：如果有f(x)=a^x，那么它们的导数为
f'(x)=ln(a)a^x
7、对数函数：如果有f(x)=ln(x)，那么它们的导数为f'(x)=1/x
8、三角函数：如果有f(x)=Acos(bx+c)，那么它们的导数为
f'(x)=-Absin(bx+c)
反函数求导法则是指在求解函数的导数时，可以先将要求导数的函数反过来构成一个新的函数，然后再使用普通求导法则求导。
反函数求导是在求解函数的导数时，将要求导数的函数先转化成另一个新的函数，然后再使用求导法则求导。
原函数转化为
y=f(x)
反函数：
x=f-1(y)
得到：
f’(x)=f-1’(y)⋅dy/dx公式
所以反函数求导法则就是：
先求反函数，再用dy/dx求导，最后把对应关系代入公式求出
f’(x)。
反函数求导法则的核心思想就是把复杂的导数拆分成对应的正反函数，然后再分别求每一个函数的导数。
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
导数的四则运算法则
cos 2 x sin2 cos 2 x
x
1 cos 2
x
sec2
x.
即 同理可得
(tan x) = sec2x . (cot x) = - csc2x .
例 5 设 y = sec x，求 y .
解 根据推论 2，有
y
(se
cx)
1 cos
x
(cos x) cos2 x
sin x cos2 x
tan .
y x x0
y y0
)
(1)](
x
1)
(x2
1) 2x( x ( x 2 1)2
1)
2x (x2
x2 1 1)2
.
例 4 设 f (x) = tan x， 求 f (x). 解 f ( x) (tan x) sin x
cos x
cos x(sin x) (cos x)sin x
cos2 x
一、偏导数的求法
例 6 求函数 z x2 3xy 2 y3 在点 (2 , 1) 处 的两个偏导数.
解 因为
z 2x 3 y, z 3x 6 y2 ,
x
y
所以
z 22 31 1 , x x2
y1
z 3 2 6 1 0 . y x2
y1
例 7 设 z x y ( x 0) , 求证：
x0 x
x0 x
lim
x0
y x
lim
x0
u(
x
)
v x
v(x)
u x
u x
v
u( x) lim v v( x) lim u lim u lim v
x0 x
x0 x x0 x x0
(完整版)导数的四则运算法则
§ 4 导数的四则运算法则、教学目标: 1知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数 f ( x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。
_教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用、教学难点:导数四则运算法则的证明三教学方法：探析归纳，讲练结合、四教学过程、(-」)、复习：导函数的概念和导数公式表。
1•导数的定义：设函数y f (x)在x x o处附近有定义，如果x 0时，y与x的比」(也叫函数的平均变化率)有极限即」无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做x x函数y f (x)在x X。
处的导数，记作y/x,，即f/(x o) lim ——x)―f x 0 v2•导数的几何意义：是曲线y f (x)上点(x o, f (x o))处的切线的斜率.因此，如果y f (x)在点X。
可导，则曲线y f (x)在点(X。
，f (x。
))处的切线方程为y f (x o) f/(x o)(x X。
).3.导函数(导数)：如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数 f /(x),称这个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数y f(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量y f(x x) f(x). (2)求平均变化率—yf(x x) f(x) (3)取极限，得导数y/= f (x) 叽~x5.常见函数的导数公式: C' 0 ; (x n)' nx n(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ，即[f(x) g(x)] f (x) g (x) [f (x) g(x)] f (x) g (x)证明：令y f(x) u(x) v(x)，y [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)][u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] ulim x 0 limxlimx即[u(x) v(x)]' u (x) v例1:求下列函数的导数:2 x(1) y x 2 ；(2) In (3) (x21)(x 1)；(4) 解: (1) y (x2 2x) (x2) (2x) 2x 2x l n2(2) In x) (、x) (Inx)(x21)(x 1) (x3x2x 1)(x2) (x1) (x2)12、x 。
四则运算与复合函数求导法则
四则运算与复合函数求导法则在微积分中，求导是一个重要的概念和工具。
通过求导，我们可以计算函数在某一点上的斜率，进而研究函数的性质和变化规律。
本文将介绍四则运算和复合函数求导法则，帮助读者理解和应用这些常用的求导规则。
一、四则运算求导法则四则运算是指加法、减法、乘法和除法。
求导的四则运算法则可总结如下：1. 加减法：对于两个函数的和或差，求导后的结果等于各自函数的导数之和或差。
即如果函数f(x)和g(x)可导，则有：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)2. 乘法：对于两个函数的乘积，求导后的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
即如果函数f(x)和g(x)可导，则有：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x)3. 除法：对于两个函数的商，求导后的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数减去第二个函数乘以第一个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即如果函数f(x)和g(x)可导，并且g(x)≠0，则有： (f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x)) / (g(x))^2二、复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的复合形式，求导的复合函数法则可总结如下：1. 外函数求导后不变，内函数求导后乘上外函数对内函数的导数：若y = f(u)，u = g(x)，则y对x的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)2. 链式法则：对于一个复合函数，可以将其表示为一系列简单的函数的复合形式，利用链式法则求导，即将求导过程分解为多个简单函数的求导过程。
若y = f(u)，u = g(v)，v = h(x)，则有：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx = f'(u) * g'(v) * h'(x)综上所述，四则运算和复合函数求导法则是微积分中常用的工具。
导数的四则运算法则
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则
求函数的导数.
知识点 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) . (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ，特别地，[cf(x)]′＝ cf′(x).
12345
6.已知
f(x)＝1＋sincoxs
，则 x
f′π3＝__23__.
解析
因为
f′(x)＝sin
x′1＋cos x－sin x1＋cos 1＋cos x2
x′
＝cos
x1＋cos x－sin 1＋cos x2
x－sin
x＝cos
x＋cos2x＋sin2x 1＋cos x2
＝1c＋oscxo＋s x12＝1＋c1os x.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确； B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′，故错误；
C.1
D.2
解析 因为 f(x)＝12 f′(－1)x2－2x＋3， 所以f′(x)＝f′(－1)x－2. 所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2， 所以f′(－1)＝－1.
12345
4.已知 f(x)＝lnxx，则 f′(1)＝__1__.
解析
f′(x)＝ln
x′·x－ln x2
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导数的四则运算法则
§4 导数的四则运算法则
主讲：陈晓林时间：2012-2-23
一、教学目标：
1．知识与技能
掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法
通过用定义法求函数f（x）=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观
培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用
教学难点：导数四则运算法则的证明
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处附近有定义，如果«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的比«Skip Record If...»（也叫函数的平均变化率）有极限即«Skip Record If...»无限趋近于某个常
数，我们把这个极限值叫做函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数，记作«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»
2. 导数的几何意义：是曲线«Skip Record If...»上点（«Skip Record If...»）处的切线的斜率因此，如果«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»可导，则曲线
«Skip Record If...»在点（«Skip Record If...»）处的切线方程为«Skip Record If...»3. 导函数(导数):如果函数«Skip Record If...»在开区间«Skip Record If...»内的每点处都有导数，此时对于每一个«Skip Record If...»，都对应着一个确定的导数
«Skip Record If...»，从而构成了一个新的函数«Skip Record If...», 称这个函数
«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数«Skip Record If...»的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量«Skip Record If...»2）求平均变化率«Skip Record If...»（3）取极限，得导数«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»5.常见函数的导数公式：«Skip Record If...»；«Skip Record If...»
（二）、探析新课
两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
«Skip Record If...»
证明：令«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»«Skip Record If...»，
∴«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
即«Skip Record If...»．
例1：求下列函数的导数：
（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»；（4）«Skip Record If...»。
解：（1）«Skip Record If...»。
（2）«Skip Record If...»。
（3）«Skip Record If...»。
«Skip Record If...»
例2：求曲线«Skip Record If...»上点（1，0）处的切线方程。
解：«Skip Record If...»。
将«Skip Record If...»代入导函数得«Skip Record If...»。
即曲线«Skip Record If...»上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为«Skip Record If...»，
即«Skip Record If...»。
设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»。
我们来求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数。
«Skip Record If...»
令«Skip Record If...»，由于«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
知«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数值为«Skip Record If...»。
因此«Skip Record If...»的导数为«Skip Record If...»。
一般地，若两个函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的导数分别是«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，我们有
«Skip Record If...»
特别地，当«Skip Record If...»时，有
«Skip Record If...»
例3：求下列函数的导数：
（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»。
解：（1）«Skip Record If...»；
（2）«Skip Record If...»；
（3）«Skip Record If...»。
例4：求下列函数的导数：
（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»。
解：（1）«Skip Record If...»；
（2）«Skip Record If...»
(三)、练习：课本«Skip Record If...»练习：1、2. 课本«Skip Record If...»练习1.
（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；
2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；
3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
（五）、作业：课本«Skip Record If...»习题2-4：A组2、3 B组2
五、教后反思：
本节课成功之点：
（1）从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f （x）=x+x2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明
（2）由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
（3）通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
不足之处：
学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。