导数的四则运算法则

§4 导数的四则运算法则
一、教学目标： 1．知识与技能
掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

2.过程与方法
通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2
的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。

3.情感、态度与价值观
培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。

二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用
教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。

1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x
y
∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即
x
y
∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
/
x x y =，即x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为
)(()(00/0x x x f x f y -=-
3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个
),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，
4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率
x
x y ∆=
∆∆ （3）取极限，得导数/
y ＝()f x '=x y
x ∆∆→∆0lim
5.
常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x
（二）、探析新课
两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即 证明：令)()()(x v x u x f y ±==，
)]
()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，
∴
x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，x
v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪
⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['
'
'
x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：
（1）x
x y 22
+=； （2）x x y ln -=
； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）
2
2
1x x
x y +-=。

解：（1）2ln 22)2()()2(2
2
x
x
x
x x x y +='+'='+='。

（2）x
x
x x x x y 121)(ln )()ln (-
=
'-'='-='。

（3）
[]
123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-='
-+='x x x x x x x x x x y 。

例2：求曲线x
x y
1
3-
=上点（1，0）处的切线方程。

解：()
22331311x x x x x x y +='⎪⎭
⎫ ⎝⎛-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='。

将1=x 代入导函数得 41
1
13=+⨯。

即曲线
x
x y 13-
=上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 )1(40-=-x y ， 即44-=x y 。

设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。

我们来求)()()(2
x f x x g x f y ==在
0x 处的导数。

令0→∆x ，由于
2
0200
)(lim x x x x =∆+→∆
知)()()(2
x f x x g x f y ==在0x 处的导数值为)(2)(00020x f x x f x +'。

因此)()()(2x f x x g x f y ==的导数为)()()(22
x f x x f x
'+'。

一般地，若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有 特别地，当k x g =)(时，有 例3：求下列函数的导数：
（1）x
e x y 2
=； （2）x x y sin =
； （3）x x y ln =。

解：（1）x
x
x
x
x
x
e x x e x xe e x e x e x y )2(2)()()(2
2
2
2
2
+=+='+'='='；
（2）x x x
x x x x x x x y cos 2sin )(sin sin )()sin (+=
'+
'='='；
（3）1ln 1
ln 1)(ln ln )()ln (+=⋅-⋅='-'='='x x
x x x x x x x x y 。

例4：求下列函数的导数：
（1）x
x
y sin =； （2）x x y ln 2=。

解：（1）2
22sin cos 1sin cos )(sin )(sin sin x x x x x x x x x x x x x x x y -=⋅-⋅='⋅-⋅'='
⎪⎭⎫
⎝⎛='； （2）x
x x x
x x x x x x x x x x x y 2222222ln )1ln 2(ln 1
ln 2)(ln )(ln ln )(ln -=⋅
-⋅='
⋅-⋅='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛='
(三)、练习：课本44P 练习：1、2. 课本46P 练习1.
（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

（五）、作业：课本47P 习题2-4：A 组2、3 B 组2
五、教后反思：
本节课成功之点：
（1） 从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f （x ）=x+x 2
的导数，观察结果，发
掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明 （2） 由定义法求f(x)=x 2
g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求
导发则。

（3） 通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特
别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。

不足之处：
学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。