导数的八个求导公式和四则运算求导
导数的四则运算及复合函数求导
经济应用数学数学
2. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
dy dx
dy du
du dx
f (u) (x)
说明: 最基本的公式 (C) 0
(sin x) cos x
y yuux
(ln x) 1
x
3. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
u x2 3复合而成, 所以 dy dy du
dx du dx
2sinu2x 0
4xsin x2 3
经济应用数学数学
例9 设y tan 1 2x2 , 求 dy dx
解 因y tan 1 2x2由y tan u, u= v,v=1-2x2复合而成，所以
2 1 sec x sec x tan x 2222
sec2 x tan x 22
经济应用数学数学
例11 求函数 y ln tan 2x 的导数.
解：y ln tan x 1 tan 2x .
tan 2x
1 sec2 2x 2x
tan 2x
经济应用数学数学
三、小结
1. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (uv) uv uv
注意：
(Cu) Cu ( C为常数 )
u
v
uv uv v2
(v 0)
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
[u( x)] u( x) . v( x) v( x)
f (x) f
( x)
f
(x)
i1 i
1
2
导数的求法
导数的求法【知识要点】一、求导的方法1、利用常见八种函数的导数公式① （C 为常数） ② ③0='C 1()()n n x nx n Q -'=∈x x cos )(sin ='④ ⑤ ⑥ x x sin )(cos -='1(log )log x a a e x '=x x 1)(ln ='⑦ ⑧a a a x x ln )(='x x e e =')(2、利用导数的运算法则① ② ③ '''()u v u v ±=±'''()uv u v uv =+'''2()(0)u u v uv v v v -=≠3、利用复合函数的求导法则设函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数，()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u ()u y f u ''=则复合函数在点处有导数，且，或写作(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=二、导数的求法一般有四种：（1）利用导数的概念解答；（2）利用八种初等函数的导数公式解答；（3）利用导数的四则运算法则解答；（4）利用复合函数的求导法则求导.【方法讲评】方法一 利用导数的概念解答解题方法 求函数的导数的一般步骤是：①求函数的改变量)(x f y =)(/x f ；②求平均变化率；③取极限，得导)()(x f x x f y -∆+=∆xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(数＝. /y xy x ∆∆→∆0lim【例1】 求函数在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 2()f x x x =-+1x =-【点评】求函数的导数的一般步骤是：①求函数的改变量；②)(x f y =)(/x f )()(x f x x f y -∆+=∆求平均变化率；③取极限，得导数＝. x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(/y xy x ∆∆→∆0lim 【反馈检测1】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬C 2()715(08)f x x x x =-+≤≤2h 6h 时变化率，并说明它们的意义．方法二利用八种初等函数的导数公式解答 解题方法直接利用八种初等函数的导数公式解答. 【例2】求函数的导数. ()f x=【解析】 113122211()()22f x x x x ----'''===-=-由题得【点评】在使用时，要注意函数的形式，如果是就不能利用该公式了，因为1()()n n x nx n Q -'=∈(3)n x 它的底数是，不是，是复合函数，不是初等函数. 学科#网3x x 【反馈检测2】求函数的导数. 44()cos sin 22x x f x =-方法三利用导数的四种运算法则解答 解题方法直接套导数的四种运算法则. 【例3】已知函数，则＝________．))(ln 2()(2x x f x x f -'+=)4(f ' A ． B ．6 C ．8 D ．6-2【点评】本题中的处理是一个难点，有许多同学不知道把它怎么办.其实是一个常数，求导(2)f '(2)f '时，把它看作常数，利用就可以了.再给x 赋值得到的方程，即可求出的值.[()]()Cf x Cf x ''=(2)f '(2)f '【反馈检测3】设，求.x xe x f x ln )(=)(x f '方法四 利用复合函数的求导公式解答解题方法 函数在点处有导数，函数在点处的对应点处()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u 有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作()u y f u ''=(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=【例4】已知，求. 21x y -=y '【解析】1211211,22u x v u x v u -=-=∴=-===设1112y u v x ∴==-= 【点评】函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u ，则复合函数在点处有导数，且，或写作()u y f u ''=(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=【反馈检测4】已知，求. sin 2()x f x x=()f x '高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第17讲：导数的求法参考答案【反馈检测1答案】在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和，说明在附近，原油温2h 6h 3-52h 度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升． 3/C h 6h 5/C h【反馈检测2答案】sin x -【反馈检测2详细解析】 442222()cos sin (cos sin )(cos sin )222222x x x x x x f x =-=+- 22(cos sin )cos 22x x x =-=()(cos )sin f x x x ''∴==-【反馈检测3答案】(1ln ln )x e x x x ++【反馈检测3详细解析】 )(ln ln )(ln )()ln ()('+'+'='='x xe x e x x e x x xe x f xx x x . xxe x xe x e x x x 1ln ln ⋅++=)ln ln 1(x x x e x ++=【反馈检测4】 2sin 22cos 2x x x x-【反馈检测4详细解析】 22(sin 2)(sin 2)(sin 2)(sin 2)()x x x x x x x f x x x '''--'==2sin 2cos cos 2u x v u u v u x ''==∴===设(sin 2)2cos 2x x '∴= 22(sin 2)2cos 2(sin 2)2cos 2()x x x x x x f x x x --'∴== 2sin 22cos 2x x x x-=。
2.2.2 导数的四则运算
=
1 x
+ 3e x − 2cos 2 x .
7
导数的四则运算法则计算
x5 + x + 1 + 3 x cos x ； （2） y = x3
解： y = x + x
2
−
−
5 2
+ x + 3 cos x ，
x
−3
y′ = ( x 2 )′ + ( x )′ + ( x −3 )′ + (3 x )′ cos x + 3 x (cos x )′
f ′( 0) = ( −1)( −2)( −3) ⋯ ( −100 ) = 100!.
解法 2： 利用导数的定义） （利用导数的定义）
f ′(0) = lim
x →0
x →0
f ( x ) − f ( 0) x( x − 1)( x − 2)⋯ ( x − 100) − 0 = lim x →0 x−0 x
= f ′( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′( x )
4
∴函数 g ( x ) 在 x 点连续，
导数的四则运算法则计算
公式(1)、 可以推广到有限多个函数的情形 可以推广到有限多个函数的情形， 公式 、(2)可以推广到有限多个函数的情形，即
① [ f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) ± ⋯ ± f n ( x )]′ ′( x ) ± f 2′( x ) ± ⋯ ± f n′ ( x ) ； = f1
g( x ), α = 1 . = α >1 0,
可导。 ∴ f ( x ) 在点 x 处 可导。
15
导数的四则运算法则计算
导数的公式及运算法则
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
作业
A组： 1 （2）（4）. . .（12） 3(4)(5)(6) 4 选作：A组： 5 B组： 1 3 4
1 cos x
1 cos x
3(ln sin x ln(1 cos x))
y
1 1 (sin x) (1 cos x)] 3[ sin x 1 cos x cos x 0 ( sin x) 3[ ] 3 cot x 3 sin x sin x 1 cos x 1 cos x
练习：P.45
A组
3
（1）（2）（3）
例8 设y e 解
1 x 2
，求y
1 x 2
y (e
1 x 2
) e
1
2
( 1 x 2 )
2
e
1 x 2 (
2 1 x
) (1 x )
x 1 x
2
e
1 x 2
sin x 3 ) ，求 y 例9 设y ln( 1 cos x sin x 3 sin x 解 由于 y ln( ) 3 ln
例10 设为实数，求幂函数 x的导数 y . 解 y x 可写成指数函数的形式： y e ln x
y e , u ln x, 1 dy u u 从而 (e ) ( ln x) e x dx u 1 1 e x x x
用定义求导数的方法
(1)求增量y
y (2)求比值 x y (3)求极限lim0 x x
3.2 导数的基本公式及四则运算法则
所以
∆y 1 ∆x ∆x = lim[ log a (1 + ) ] lim ∆x →0 ∆x ∆x − 0 x x
x
1 ∆x ∆x = log a lim (1 + ) ∆x →0 x x 1 1 ， = log a e = x x ln a
x
即
1 ． (log a x)′ = x ln a
y′ = 5( x 2 )′ + 3( x −3 )′ − (2 x )′ + 4(cos x)′
= 5 × 2 x + 3 × (−3) x −4 − 2 x ln 2 + 4(− sin x) 9 = 10 x − 4 − 2 x ln 2 − 4 sin x ． x
2.乘积函数的导数 2.乘积函数的导数
= 30 x 2 − 2 x − 1 ．
例3
设 y = x sin x ln x ，求 y′
解 y′ = ( x)′ sin x ln x + x(sin x)′ ln x + x sin x(ln x)′ 1 = 1 ⋅ sin x ln x + x cos x ln x + x sin x ⋅ x = sin x ln x + x cos x ln x + sin x ．
(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′ ．
例2 解
2 设 y = (1 + 2 x)(5 x − 3 x + 1) ， 求 y′． y′ = (1 + 2 x)′(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(5 x 2 − 3 x + 1)′ = 2(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(10 x − 3)
导数的四则运算
dy 例12 y lnsin x , 求 . dx
解 dy lnsin x 1 sin x dx sin x
1 1 cos x sin x tan x
有限次四则运算的求导法则:
1 u v u v 2 uv uv uv
解
1
y x tan x x tan x tan x x
y | x 0 0
2
1 f x 5 2 5 x3 x x 2 f x 3 15x 2 1 x
f 1 16, f 1 12
(u v w)' u' v' w' .
(2) ( uv ) uv u v
证 设 f ( x ) u( x )v( x ) , 则有
u( x h)v( x h) u( x )v( x ) f ( x h) f ( x ) lim f ( x ) lim h 0 h 0 h h
v uv uv 3 u2 u
cu cu
u 1 2 u u
(c为常数）
u 0
4
若 y f u, u x , 则对于复合函数 y f x
dy dy du 有 y x yu u x 或 dx du dx
sin x cos x
解 (1)根据求导法则(1),得
(2)根据求导法则(2),得 y x 2 2 ln x sin x x 2 2 ln x sin x
2 2 x sin x x 2 2 ln x cos x x
导数公式大全
x 2 -3 x-2
（3）y ln ln ln x （4）y ln(x
x 1)
2
隐函数的导数
y与x的关系由方程（x，y）＝0确定，未解出因变量的 F 方程（x，y）=0所确定的函数y y( x)称为隐函数 F
dy 例6 设函数y y ( x)由方程y 1 xe 所确定，求 . dx
例4.求下列函数的导数： 1 y (3x 1) ; ）
2 3
2) y sin( x - 2); 4) y e
tan x
3) y ln cos x; 5) y 2
-x
;
解： 函数可以分解为y u ( x), u ( x) 3x 1, (1)
3 2
y ' [u 3 ( x)]' 3u 2 ( x) u ( x) ' 3(3x 2 1) 2 (3x 2 1) ' 3(3x 1) 6 x 18 x(3x 1)
= 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例2
设 y = xlnx ， 求 y .
解 根据乘法公式，有
y = (xlnx) = x (lnx) (x)lnx
1 x 1 ln x x
1 ln x .
导数的四则运算
设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， v( x ) ( u( x ) 0) 则它们的和、差、积与商 u( x ) 在 x 处也可导， 且
(u(x) v(x)) = u(x) v (x); (u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
导数的基本公式与运算法则
ln y
1 [ln|x 1| ln|x 2| ln|x 3| ln|x 4|] ， 2
上式两边对x求导，得
1 1 y y 1 1 ( ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ， ) ， y y 2 2 x x 1 1 x x 2 2 x x 3 3 x x 4 4
解 当x0时, f(x)1,
当x0时, f ( x ) 1 ,
1 x 当x0时,
f (0 )h l i0m (0h ) h ln 1( 0 ) 1,
f (0 ) h l 0 ilm n 1 (0 [ h h ) ]ln 1 0 ( ) 1,
f(0)1.f(x)111,x,
x0 x0.
2. 设 f(x ) (x a )(x ),其中(x) 在 xa处连续,
两边对 x 求导
y ln a a b
y
bxx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
七、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2,
t x 2
消去参数
yt2 (x)2 x 2 24
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
( x ) x 1 (cos x ) sin x
(cot x ) csc 2 x (csc x ) csc x cot x
(e x ) e x
(ln x ) 1 x
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
推论:
n
n
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体验高考
1.(2013·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f′(1)= .
2.(09辽宁文15)若函数
2
()
1
x a
f x
x
+
=
+
在1
x=处取极值，则
a= .
本题是导数部分的基础,考察的知识点是导数的求值,熟练掌握导数的基本求导公式和四则运算法则是求解这类题目的敲门砖.若单独出题，本部分题目以填空、选择的形式出现, 另外，本部分作为一切导数题的必备基础，贯穿出现在所有的导数题型中。
解题基本思路：题1：用换元法求函数解析式——求)
('x
f——求)1('f
题2：由题意知：)1('f=0，解a
知识铺垫
一、大纲要求
能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如)
(b
ax
f+的复合函数）的导数。
二、知识点回顾
1基本初等函数的导数公式：
2导数的四则运算法则：
3简单复合函数的求导：函数))((x g f 是复合函数,且)(x f 和)(x g 都可导,则='))((x g f ?
三、典型例题
4.(山东省实验中学2013届高三适应训练)已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f . 思路分析：先求)1('f ——则)1('2)0('f f =
解：)1('22)('f x x f +=Θ
)1('22)1('f f +=∴
即：2)1('=-f
2)1('-=f
4)1('2)0('-==∴f f
四、方法指导
熟练掌握求导公式和四则运算法则，并会灵活运用即可
5、近几年热点
1．(2014·黄石模拟(文))已知x x x f ln )(=，若2)('0=x f ，则=0x ( )
A ．2e
B ．e
1 D ．ln
2 2．（2011江西，5分）若x x x x f ln 42)(2--=，则0)('>x f 的解集为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－1,0)∪(2，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－1,0)
训练
1.(山东省青岛市2013届高三上学期期中考试文）已知1()cos ,f x x x
=则()()2
f f ππ'+= A ．2π
- B ．3π C ．1π- D ．3π-
2. (山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试文) 函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，2)(/>x f ,则()24f x x >+的解集为
( )
A.(-1，1)
B.(-1，+∞)
C.(-∞，-l)
D.(-∞,+∞)
3.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文)已知
)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f .
4．（山东省潍坊市寿光现代中学2012届高三12月段检测）已知
()()2f x x 3xf 1'=+为
A.—2
B.—1
5．(山东潍坊诸城一中2012届高三10月阶段测试文）函数cosx x y 2=的导数为
A.xsinx 2cosx x y'2-=
B.sinx x xcosx 2y'2+=
C.sinx x xcosx 2y'2-=
D.sinx x xcosx y'2-=
6．(山东省淄博市第一中学2012届高三第一学期期中文）若函数f(x)＝x 2＋a x ＋1
在x ＝1处取极值，则a ＝________. 7．(山东省潍坊市2012届高三10月三县联考文）函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝ ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．(2013·山西模拟)已知函数f(x)＝x ＋12＋sin x x2＋1
，其导函数记为f′(x)，则f(2 012)＋f′(2 012)＋f(－2 012)－f′(－2 012)＝________.
第十二单元 导数的八个求导公式和四则运算求导答案
体验高考
高考热点
训练
1.
2.
3.【答案】-4
【解析】函数的导数为'()22'(1)f x x f =+，所以'(1)22'(1)f f =+，解得
'(1)2f =-，所以2()4f x x x =-，所以'()24f x x =-，所以'(0)4f =-。
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】3
7.【答案】D
8．【解析】由已知得f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1
， 则f ′(x )＝2＋cos x x 2＋1－2x ＋sin x ·2x x 2＋12
令g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin x x 2＋1
，显然g (x )为奇函数，f ′(x )为偶函数，所以f ′(2 012)－f ′(－2 012)＝0，f (2 012)＋f (－2 012)＝g (2 012)＋1＋g (－2 012)＋1＝2，
所以f (2 012)＋f ′(2 012)＋f (－2 012)－f ′(－2 012)＝2.
【答案】2。