导数运算法则
3.2.2 导数的运算法则
导数的求导法则
例题
1、求下列函数的导数 3 y x sin x 1）y=x -2x+3 2） 2 x 3）y (2 x 5x 1) e
x 4）y x 4
（1） y
log2 x （2） y 2e 3 2 y 2x 3x 4 （3） y 3cos x 4sin x ln x （ 4） y （ 6 ） y x ln x （ 5） x
x
2 y = x （7） +tanx
练习 1、求下列函数的导数
例题
2、（2013年高考大纲卷（文））已知曲线
4 2
y x ax 1在点 -1，a 2 处切线的
斜率为8，a=
3、（2013年高考北京卷（文））已知函数 2 f ( x) x x sin x cos x . (Ⅰ)若曲线 y f ( x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y b 相切,求 与 的值.
b
a
练习
1、（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数 ,曲线 处切线方程为 在点 .
(Ⅰ)求
a 与b 的值.
练习
2、（2013年高考福建卷（文））已知函数 ( , 为自然 对数的底数). 处 在点 (1)若曲线 的切线平行于 轴,求 的值;
例题
1.已知 f (x) =（x2+1）2+（x+1）2+1，则 f ′ (x) 等于( ) (A) 2（x2+1）+2（x+1） (B)（2x+1）2+22 (C) 2（2x+1）+2×2 (D) 4x3+6x+2 2.设 f (x) = (2x－1)(3－x)，则 f ′(0) =________.
导数的四则运算法则
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练 习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面将详细介绍。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量的增量。
该定义表示函数f(x)在点x处的导数是函数在极限过程中的变化率。
二、导数的基本公式1.常数函数的导数公式若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
4.对数函数的导数公式若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
三、导数的运算法则1.和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
2.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
3.乘积法则若f(x)和g(x)都可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
导数基本公式与运算法则
y'
.
设 y 1 2x5x2 3x 1 求 y '
例2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ已知
f
x
x 2 x 2 ，求
x3
f ' 1
.
练习 求 y tan x 的导数。
tan x' 1 sec2 x
cos2 x
cot x'
s
1 in 2
x
csc2
x.
2、复合函数的导数
定理 设函数 u x 在点x 数 y f u在点u 处有导数
处有导数 du ' x ，函
dy
f
dx
' u ，则复合函数
du
y f x在该点 x 也有导数，且
dy f ' u ' x
dx
或
y
' x
yu'
u'
或 dy dy du
dx du dx
这个定理说明，复合函数的导数等于复合函数对中 间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
例题 求下列函数的导数： (1) y sin 3 x (2) y 4 3x2
练习：求 y ln cosx 的导数。
由定理的结论可以推广到多次复合的情况。例如
设 y f u,u v,v x ，则复合函数 y f x
2.2导数基本公式与运算法则
1、导数的四则运算法则
1.1、代数和的导数
设函数ux和vx 在点x处可导，则 y ux vx 在点x
处也可导，且
u v' u ' v '
导数的基本运算法则
导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中非常重要的一部分。
它是求函数变化率的工具，可以帮助我们研究函数的性质和解决实际应用问题。
本文将介绍导数的四个基本运算法则，并通过生动的例子和解释，帮助读者理解和掌握这些运算法则的应用。
第一个基本运算法则是常数倍法则。
它表明，对于任意函数f(x)和任意常数c，f(x)的导数等于c乘以f(x)的导数。
换句话说，导数的运算可以从在各个点的直观观点中推广。
例如，如果有一个车辆在以恒定的速度行驶，那么它的位移随时间的变化率始终保持不变。
这个例子可以用函数f(t)表示，其中t表示时间，f(t)表示位移。
假设车辆的速度是v，那么f(t)的导数就是v，即f'(t) = v。
如果车辆的速度变为2v，那么位移随时间的变化率也会变为原来的2倍，即(2f(t))' = 2v。
这就是常数倍法则的应用，我们可以通过将导数中的常数提取出来，简化求导的过程。
第二个基本运算法则是加法法则。
它表明，对于任意函数f(x)和g(x)，它们的和函数f(x) + g(x)的导数等于f(x)的导数加上g(x)的导数。
这意味着导数是可加性的。
以两个车辆行驶的例子来说明加法法则。
假设有一辆车在直线上匀速行驶，速度为v1，另一辆车以速度v2行驶。
我们可以将两辆车的位置分别表示为f1(t)和f2(t)，其中t表示时间。
那么两辆车的位置相加的函数f(t) = f1(t) + f2(t)的导数就是f1(t)的导数加上f2(t)的导数，即(f1(t) + f2(t))' = f1'(t)+ f2'(t)。
这就是加法法则的应用，它告诉我们求导的结果是可求和的。
第三个基本运算法则是乘法法则。
它表明，对于任意函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数f(x) * g(x)的导数等于f(x)的导数乘以g(x)再加上f(x)乘以g(x)的导数。
这个法则可以帮助我们求解复杂函数的导数。
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
一导数的四则运算法则
u'( x) lim u( x) , v'( x) lim v( x)
x0 x
x0 x
且y v( x)在点x处必连续，即
lim v( x x) v( x)
x0
所以
lim
x0
y x
=
lim
x0
u( x) x
v(
x
x)
v( x) x
u( x)
=u '( x) v( x) u( x) v '( x)
一、导数的四则运算法则
定理1 设函数u( x)与v( x)在点x处可导，则函数u( x) v( x)， u( x) v( x)，u( x) (v( x) 0)在点x处也可导并且有：
v( x)
1、u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
2、u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
=
1
1 x
2
(16)(arc
cot
x)'
=
1 1 x
2
2、 导数的四则运算法则
(1)u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
(2)u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
(3)Cu(x) ' Cu '(x)(C为常数)
'
u( x)
u '( x) v( x) u( x) v '( x)
f '(u)u'( x)
值得指出的是，复合函数的求导法，有时也称为链 导法，它可用于多次复合的情形。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点处的变化率。
导数公式和导数的运算法则是使用导数进行计算和推导的基本工具。
下面将介绍导数的定义、导数公式以及导数的运算法则。
一、导数的定义对于给定的函数y=f(x)，在其中一点x=a处的导数定义如下：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h其中，lim表示极限，h为x在a点的增量。
该定义表明导数表示函数在其中一点处的斜率或变化率。
二、导数的主要公式1.常数的导数公式如果f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
指数函数e^x的导数仍然是e^x。
4.对数函数的导数公式如果f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- sin函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- cos函数的导数：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- tan函数的导数：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)，其中sec^2表示secant的平方。
6.反三角函数的导数公式- arcsin函数的导数：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- arccos函数的导数：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- arctan函数的导数：f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数具有一些基本的运算法则，可以用于计算复杂函数的导数。
1.常数乘以函数的导数法则如果f(x)的导数是f'(x)，则(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
跟踪训练1 (1)y＝ln
指出下列函数由哪些函数复合而成： x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos ( 3x＋1)．
解 (1)y＝ln u，u＝ x；
(2)y＝eu，u＝sin x； (3)y＝cos u，u＝ 3x＋1.
1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析出复合过程； (3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数．
求简单复合函数f(ax＋b)的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复 合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再 分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相 乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形 式是关键．
•第2课时 导数的运算法则及复合函数的导数
一、导数的四则运算法则 条件：f(x),g(x)是可导的. f′(x)±g′(x) 结论：(1)［f(x)±g(x)］′=_______________. f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)［f(x)g(x)］′=______________________.
2．求复合函数导数的方法步骤 (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.
规律技巧 求复合函数的导数，要分清函数的复合关 系，对于分式型的可化为幂的形式求导，关键选好中间变 量．最后将中间变量代回到原自变量的函数．
二、复合函数的求导公式 y=f(g(x)) 1.复合函数的定义：(1)一般形式是__________. 中间变量 y=f(u) 与_______ u=g(x)，其中u称为_________. (2)可分解为_______ 2.求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)， y′ u · u′x u=g(x)的导数间的关系为：y′x=__________.
(2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ 1 ＝ 2 · (2x2＋3x＋1)′ 2x ＋3x＋1ln2 4x＋3 ＝ 2 . 2x ＋3x＋1ln2 (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′ ＝esin(ax＋b)· cos(ax＋b)· (ax＋b)′ ＝acos(ax＋b)· esin(ax＋b)．
－6
π (2)令u＝x －6，则y＝sinu，
2
∴y′x＝y′u· u′x π π 2 ＝cosu· (x － )′＝2xcosu＝2xcos(x － )． 6 6
2
(3)令 u＝lnx，则 y＝lnu， ∴y′x＝y′u· u′x 11 1 ＝ ·＝ . u x xlnx (4)令 u＝2x2＋1，则 y＝eu， ∴y′x＝y′u· u′x＝eu· 4x ＝4x· e
例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x.
解 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．
(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合 而成的． (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．
2x2＋1
பைடு நூலகம்
.
例2 求下列函数的导数． (1)y＝(x2－4)2； (2)y＝log2(2x2＋3x＋1)； (3)y＝esin(ax＋b) 分析 先将复合函数分解，找出中间变量，然后按复合 函数求导公式y′＝y′u· u′x进行求导．
解 (1)方法1：y＝(x2－4)2＝x4－8x2＋16 ∴y′＝(x4－8x2＋16)′ ＝4x3－16x. 方法2：y′＝2(x2－4)(x2－4)′ ＝2(x2－4)· 2x ＝4x3－16x.
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x) (3) [ . ]= (g(x) 0) 2 g(x) [g(x)]
思考：如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，那么如何求函数f(x)+c与cf(x)的导数？ 提示：由于常数函数的导数为0，即(c)′=0，由导数的运算法 则(1)(2)，得［f(x)+c］′=f′(x)，［cf(x)］′=cf′(x).
变式训练 1 求下列函数的导数． 1 (1)y＝ ； 1＋3x5 π (2)y＝sin(x －6)；
2
(3)y＝ln(lnx)； (4)y＝e
2x2＋1
.
1 解 (1)令u＝1＋3x，则y＝u5＝u－5， ∴y′x＝y′u· u′x＝－5u 6· 3
－
15 ＝－15u ＝－ . 1＋3x6