2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式
高阶导数十个常用公式
高阶导数十个常用公式公式1：一阶导数定义$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$公式2：二阶导数定义$$f''(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$公式3：多项式函数求导若$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\ldots + a_1x + a_0$，则$f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \\ldots + a_1$公式4：乘法法则(uu)′=u′u+uu′公式5：除法法则$$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$$公式6：链式法则$$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$$公式7：三角函数导数$$\\frac{d}{dx}\\sin(x) = \\cos(x)$$$$\\frac{d}{dx}\\cos(x) = -\\sin(x)$$$$\\frac{d}{dx}\\tan(x) = \\sec^2(x)$$公式8：指数函数导数$$\\frac{d}{dx}e^x = e^x$$$$\\frac{d}{dx}a^x = a^x\\ln(a)$$公式9：对数函数导数$$\\frac{d}{dx}\\ln(x) = \\frac{1}{x}$$$$\\frac{d}{dx}\\log_a(x) = \\frac{1}{x\\ln(a)}$$公式10：反函数导数若u=u−1(u)为u(u)的反函数，则$f'(f^{-1}(x)) =\\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$以上是高阶导数计算中常用的十个公式，通过灵活应用这些公式，可以帮助解决各种函数的高阶导数求解问题。
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块基本信息一级模块名称 微分学二级模块名称基础模块三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块编号 2-10 先行知识导数的概念 模块编号2-2知识内容 教学要求掌握程度1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念一般掌握2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导3、莱布尼兹公式3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶）4、隐函数的高阶导数4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶）5、参数方程的高阶导数5、熟记正弦、余弦等常见函数的n阶导数公式能力目标 1、提高学生的观察分析能力2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力时间分配45分钟编撰黄小枚校对方玲玲审核危子青修订肖莉娜 二审 危子青一、正文编写思路及特点：思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。
特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。
二、授课部分 1.引例（1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即)()('t s t v = 或dtdst v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数：[]'')(')()(t s t v t a ==或)()(dtdsdt d t a =（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(''t s 或22dtsd2．高阶导数的定义设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。
高阶导数
y=(-1)(-2)(1+x)-3 y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4
一般地 可得 y(n)=(-1)(-2) (-n+1)(1+x)-n (1)n 1 (n 1)! (1 x)n
k u (n k )v(k ) (uv)(n) Cn k 0 n
这一公式称为莱布尼茨公式
5. yx 2e2x 求y(20) 解: 设ue2x vx2 则 (u)(k)2ke2x (k1 2 20) v2x v2 (v)(k)0 (k3 4 20) 代入莱布尼茨公式 得
解:
y
(n)
n(n 1)(n 2) 3 2 1 a0 n!a0
y
( n 1 )
0
4. 导出函数积的 n 阶导数公式. (uv)uvuv (uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 类似地可以得到:
根据高阶导数的定义, 求函数的高阶 导数就是将函数逐次求导, 因此, 前面介 绍的导数运算法则与导数基本公式, 仍然 适用于高阶导数的计算． 例1 y=axb 求y 解: ya y0 例2 ssinwt 求s 解: swcoswt sw 2sinwt
第四节 高阶导数
一、高阶导数的概念
二、高阶导数的运算法则
引例：变速直线运动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ速度
加速度 即 a ( s)
即 v s
一、高阶导数
定义. 如果函数 y f (x) 的导函数 y f ( x) 仍是x的可导函数, 就称 y f (x) 的导数为 函数 f ( x) 的二阶导数, 记作 2 2 d y d f (x) y，f (x) ， 2 或 2 dx dx 类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数; 一般地, (n1)阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作 3y 4y ny d d d y y (4) y (n) 或 3 4 n dx dx dx
高阶导数
则 y1
(1)(2)(n)(1 x )
Hale Waihona Puke ( n 1)n! (1) (1 x ) n1
n
y1
n
(1)(2)(n)(1 x )
( n 1)
n! (1) (1 x ) n1
n
另：
2 3 2 y ( 1 )( 1 x ) ( 1 ) ， y ( 1 )( 2 )( 1 x ) ( 1 ) ， 2 2
n n 1 n 1 1 y 2 1 x 1 x
其中： y1 (1 x ) 1 则 (1)(1 x ) 2 ， (1)(2)(1 x ) 3 , y1 y1
例 3 设 y＝x μ （x＞ 0， μ为任意实数），求 yn .
解：
y x 1 ， y ( 1) x 2
y ( n ) 1 2 n 1x n
特别： x
n
n
＝n！ （n为自然数）。
例 4 设 f ( x) ＝sin x ，求f
则 y2
n
(1)(2)(n)(1 x )
n
( n 1)
n! (1) n 1 (1 x )
n
y
1 n! n! n (1) n1 n1 2 (1 x ) (1 x )
例 8 设 y＝x2 ＋ 1 ln 1 ＋x ，求 y100 .
解：
令 u＝ln 1 x ，v＝ x 2 1 v＝2 x ， v＝2 ， v n＝ 0 n 3
则利用莱布尼兹公式可 得： 99! 100 98! 100 99 97! 2 y ＝－ 1＋ ＋ 0 ＋ ＋ 0 100 x ＋ 99 2 x－ 98 2 1 x 1 x 2!1 x ＝
常见高阶导数8个公式
常见高阶导数8个公式高阶导数是指对函数进行多次求导的操作，它可以提供更多关于函数的信息，包括函数的曲率、凹凸性、拐点等特征。
在这里，我们将介绍常见的8个高阶导数公式，并对每个公式进行详细的解释。
1.一阶导数的公式：\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)一阶导数（也称为导函数）表示函数在特定点的斜率，表示函数在该点的瞬时变化率。
2.二阶导数的公式：\(f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\)二阶导数表示函数的一阶导数的变化率，也称为函数的曲率。
如果二阶导数大于0，则函数在该点处为凸函数；如果二阶导数小于0，则函数在该点处为凹函数。
3.高阶导数的迭代公式：\(f^{(n)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x+h) - f^{(n-1)}(x)}{h}\)高阶导数的迭代公式可以用来计算任意阶数的导数。
其中，\(f^{(n)}(x)\)表示函数\(f(x)\)的第n阶导数。
4.复合函数的高阶导数公式：如果\(y=f(g(x))\)，其中f和g都是可导函数，则复合函数的n阶导数可以通过链式法则来计算：\(f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)}(g(x)) g^{(n-k)}(x)\)其中，\(C_{n}^{k}\)表示二项式系数。
这个公式可以通过逐步计算每个f和g的导数来求解。
5.多项式函数的高阶导数公式：对于多项式函数\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)，其中a为常数，多项式的n阶导数为：\(f^{(n)}(x)=n!a_n\)这个公式可以通过对多项式进行多次求导并应用一阶导数公式来进行证明。
6.指数函数的高阶导数公式：对于指数函数\(f(x)=e^x\)，其任意阶导数都为自身：\(f^{(n)}(x)=e^x\)这个公式可以通过数学归纳法来证明。
高阶导数
当 x0时，由左右导数定义不难求得
而f 当 ( 0 n) 2f 时 ( ，0 f) (n)f (0( )0 不) 存0 在,，整理后得
2x, x 0, f (x) 0, x 0,
2x, x 0,
当 n3时
2, x0, f (x) 不 存 在x， 0,
2, x0,
f(n)(x)0(x0),f(n)(0)不 存 在 。
由此可见，对于正整数幂函数xn，每求导一次，其幂次降低1， 第 n 阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于0。
注：用类似的方法，可求得三角
函数y=sin x ,y=cos x及指
数函数(si的n x各)(n阶) 导sin数( x。 n ) 2
(cos x)(n) cos( x n ) 2
问题的提出：
速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速 度与位移是什么关系呢？
一 高阶导数的概念
1、二阶导数的定义
x
0
f
f
f
l x i m f ( x x 0x ) x f 0 ( x 0 ) f ( x 0 ) ,
x f
0( x 0 )
f
x
0
f
f
f
定义1：若函数 的导函数 在点 可
(e x )(n) e x
2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数
莱布尼茨公式：
( u ) ( n ) u n( v n ) v ( 0 ) c n 1 u ( n 1 ) v ( 1 ) c n k u ( n k ) v ( k ) u ( 0 ) v ( n )
cnku(nk)v(k)
§4 高阶导数
教学内容：
1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数y=xn、三角函数 y=sinx、y=cosx、指数函数y=ex的n阶导数公式。
高等数学第二章高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
y
x2
1 3x
2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2
求导法则 高阶导数
220 e2x ( x2 20x 95)
3.间接法 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.
常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0)
高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法：1.直接法;
2.间接法.
练习题
一、填空题： 1、设 y sin t 则y =_________. et 2、设 y tan x ,则y =_________. 3、设 y (1 x 2 )arctan x ，则y =________. 4、设 y xe x2 ,则y =_________. 5、设 y f ( x 2 ), f ( x) 存在，则y =_________. 6、设 f ( x) ( x 10)6,则 f (2) =_________. 7、设 x n a1 x n1 a2 x n2 an1 x an (a1 , a2 ,, an 都是常数)，则y(n) =___________. 8、设 f ( x) x( x 1)( x 2)( x n), 则 f (n1) ( x)=____________.
解 y 1 1( 1 1 ) x2 1 2 x 1 x 1
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
1
1
60[
]
( x 1)6 ( x 1)6
例
设
y
x2
1 3x
, 2
求y(n) .
例8 y xn 求y(n) 1 x
例9 设 y sin6 x cos6 x, 求y(n) .
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（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称
为)(t s 对t 的二阶导数，记为)('
't s 或22dt
s
d
2．高阶导数的定义
设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。
记 y '', 或
)(x f '', 22dx y d , dx x f d )
(2
根据导数的定义可知：''0()()
()lim x f x x f x f x x
→+-''=
类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作
y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n )
或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , n n dx
y
d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数.
（2）二阶及二阶以上的导数y '' y '''
y (4) ⋅⋅ y (n )统称高
阶导数.
3.常见初等函数的高阶导数
例1 已知3y x = 求()n y （一级）
解: ()()4
23;6;6;0;
,0.n y x y x y y y ''''''=====
课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. （一级） 解:)2
sin(cos π+=='x x y ,
)2
2sin()2
2
sin()2
cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,
( 2 2n
n n
α
π
π
-+⎫
+⋅⎪
⎭
⎫+⋅⎪
⎭
),2,
,20
()03,4,20k =
得
221833172020202020C v u C v u C v ++++1922
182202222x x x e C e ⋅⋅+⋅⋅
的隐函数。