48高阶导数与高阶微分讲解
《高阶导数数分教案》课件
《高阶导数数分教案》课件第一章：高阶导数的基本概念1.1 高阶导数的定义引入函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念解释高阶导数在函数图像上的表现1.2 高阶导数的计算法则掌握基本函数的高阶导数公式学习高阶导数的四则运算法则举例说明高阶导数的计算过程第二章：隐函数求导2.1 隐函数的定义解释隐函数的概念，理解隐函数与显函数的区别2.2 隐函数求导法则学习隐函数求导的基本法则举例说明隐函数求导的过程2.3 隐函数求导的应用利用隐函数求导解决实际问题探讨隐函数求导在物理学、工程学等领域的应用第三章：参数方程求导3.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别3.2 参数方程求导法则学习参数方程求导的基本法则举例说明参数方程求导的过程3.3 参数方程求导的应用利用参数方程求导解决实际问题探讨参数方程求导在几何学、物理学等领域的应用第四章：高阶导数在图像分析中的应用4.1 高阶导数与函数图像的关系分析高阶导数在函数图像上的表现解释高阶导数在函数图像分析中的作用4.2 利用高阶导数判断函数的极值学习利用高阶导数判断函数的极值的方法举例说明利用高阶导数判断函数极值的过程4.3 利用高阶导数研究函数的凹凸性学习利用高阶导数研究函数凹凸性的方法举例说明利用高阶导数研究函数凹凸性的过程第五章：高阶导数在实际问题中的应用5.1 高阶导数在物理学中的应用探讨高阶导数在物理学中的具体应用实例5.2 高阶导数在工程学中的应用分析高阶导数在工程学中的实际应用场景5.3 高阶导数在其他领域的应用探索高阶导数在其他领域，如经济学、生物学等中的应用第六章：高阶导数与函数逼近6.1 泰勒公式的介绍引入泰勒公式的概念，解释泰勒公式的意义展示泰勒公式的基本形式6.2 利用高阶导数求解泰勒展开式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒展开式举例说明求解泰勒展开式的过程6.3 泰勒展开式的应用探讨泰勒展开式在逼近实际问题中的应用分析泰勒展开式在数值计算领域的应用第七章：高阶导数与函数极限7.1 函数极限的概念回顾函数极限的基本概念，理解函数极限的意义7.2 高阶导数与函数极限的关系探讨高阶导数在函数极限过程中的作用解释高阶导数在求解函数极限时的应用7.3 利用高阶导数求解函数极限学习如何利用高阶导数求解函数极限问题举例说明求解函数极限的过程第八章：高阶导数与微分中值定理8.1 微分中值定理的介绍引入微分中值定理的概念，理解微分中值定理的意义8.2 高阶导数与罗尔定理学习罗尔定理及其与高阶导数的关系举例说明罗尔定理在高阶导数中的应用8.3 高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用探讨高阶导数在拉格朗日中值定理中的作用解释高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用第九章：高阶导数与泰勒公式9.1 高阶导数与泰勒公式的关系分析高阶导数与泰勒公式之间的联系解释高阶导数在泰勒公式中的应用9.2 利用高阶导数求解泰勒公式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒公式举例说明求解泰勒公式的过程9.3 泰勒公式在实际问题中的应用探讨泰勒公式在实际问题中的应用实例分析泰勒公式在科学研究和工程领域的应用第十章：高阶导数的综合应用10.1 高阶导数在数学分析中的应用10.2 高阶导数在其他学科中的应用探讨高阶导数在其他学科，如物理学、经济学等领域的应用10.3 高阶导数的实际意义与价值分析高阶导数在解决实际问题中的意义和价值强调高阶导数在科学研究和工程领域中的重要性重点和难点解析重点一：高阶导数的基本概念和计算法则补充说明：高阶导数是函数导数的进一步延伸，理解高阶导数的概念对于掌握函数图像的凹凸性和拐点等性质至关重要。
第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数, f 1( y)
在y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f (x)
1
[ f 1( y)]
或
d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y
f
(x
x)
f
( x)
2, 2x,
0 1
x x
1 2
1 2
,
x2
由此可见：导函数的定义域不超过函数定义域.
课本128页 例28 已知函数 f (u)可导，求
[ f (ln x)], { f [( x a)n ]}, {[ f (x a)]n},
其中a为常数. 解：[ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x) x { f [( x a)n ]} f [( x a)n ][( x a)n ] n(x a)n1 f [( x a)n ]
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
h 0
u(
x
h) h
u
(
x)
v(
x
h)
u(
x)
v(
x
h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x), 故结论成立.
(1 1 (x2 a2 ))
(x x2 a2 ) ln 10 2 x2 a2
一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
第三章高阶导数与微分详解
五、高阶导数
如果函数 f (x) 的导数 f (x) 在点 x 处可导，则 f (x) 在点 x 处的导
数称为函数 f (x) 在点 x 处的二阶导数，记作
y ，
f
( x)
，
d2y dx2
或
d dx
(dy) dx
例如：y=x 3 ，则 y =3x 2 ， y=6x
y=sinx，则 y =cosx， y=-sinx
)= sec 2 x dx ;
(4)d( )= xdx , d( )=cos3xdx , d( )= e t dt ,
(5)adx=d( ) , bxdx=d( ) ,
(6)sin3xdx=d( ) , cosaxdx=d( )
(7)e 2x dx=d( ) , e 3x dx=d( )
三、高阶导数和微分
y= e x ，则 y = e x ， y = e x
y=lnx，则
y
=
1 x
，
y
=-
1 x2
三、高阶导数和微分
类似的，二阶导数的导数称为三阶导数，记作：y ，f (x)或 d 3 y ；
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数，记作：
y(4)
，
f
(4)
( x) 或
d4y dx4
，一般地，
（n-1）阶导数的导数称为
=
1 cos
1
(-sin
1 x
) ( 1 )
x
x
x
=-tan
(cos 1 ) x
(-
1 x2
)=
1 x2
tan
1 x
dy=
1 x2
tan
高阶导数与高阶微分学习笔记
则有(sin x)(k1) (sin(x k )) cos(x k ) sin(x k 1 )
2
2
2
依数学归纳法知结论成立
类似有: (cosx)(n) cos(x n ),n 1,2,
2
例4 求y ln(1 x)的n阶导数
解： (ln(x 1)) 1 (1 x)1, 1 x
x3ex 90x2ex 2610xex 24360ex
教材上还有例6，是通过找递推关系式来求解。
二 高阶微分
1 概念 若y f (x)的微分函数 dy关于x可微,则称y f (x)关于x二阶可微,
其微分称为二阶微分，记作： d 2 y, d 2 f (x), 类似地有d n y, d n f (x) 若记(dx)n dxn,则有:
y(30) (x3ex )(30)
x3 (ex )(30) C310 (x3 )(ex )(29) C320 (x3 )(ex )(28) C330 (x3 )(ex )(27)
x3(1)30 ex 30(3x2 )(1)29 ex 30 29 (6x)(1)28 ex 21
30 29 28 6 (1)27 ex 3 21
2
2
sin x
分析：正弦函数的导数是4阶一个轮回，而其本身就是一个周期函数，函 数值一个周期重复一次，因此可考虑利用其周期来处理。
猜想其n阶导数为：
(sin x)(n) sin(x n )
2
下面用数学归纳法进行证明：
(1)n 1时结论显然成立
(2)假设n k时结论成立,即有(sin x)(k) sin(x k )
高阶导数与高阶微分学习笔记
一、高阶导数 二、高阶微分
一、高阶导数
1 二阶导数的定义
高等数学教材讲义
高等数学教材讲义第一章导数与微分1.1 导数的定义与性质在这一节中，我们将介绍导数的定义及其基本性质。
导数是描述函数变化率的重要概念，它与切线的斜率密切相关。
我们将详细解释导数的定义，并通过例题演示如何求取导数。
1.2 常见函数的导数本节将探讨一些常见函数的导数计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些常见函数。
我们将给出这些函数的导数公式，并通过具体例子进行说明和求解。
1.3 高阶导数在这一节中，我们将讨论高阶导数及其应用。
高阶导数描述了函数变化率变化的速度，它可以帮助我们更全面地理解函数的性质。
我们将介绍高阶导数的定义和计算方法，并通过实例说明如何应用高阶导数解决实际问题。
第二章积分与定积分2.1 不定积分与原函数这一节我们将引入不定积分的概念，并介绍原函数的定义及其计算方法。
不定积分是求解定积分的重要步骤，它可以帮助我们找到函数的原始形式。
我们将详细解释不定积分的定义和性质，并通过实例演示如何求取原函数。
2.2 定积分的概念与性质在这一节中，我们将介绍定积分的概念和性质。
定积分描述了函数在一定区间内的累积变化量，它可以用来计算曲线下的面积、求解平均值等。
我们将详细讲解定积分的定义和性质，并通过例题演示如何求解定积分。
2.3 定积分的计算方法本节将讨论定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
这些方法可以帮助我们解决各种形式的定积分问题。
我们将给出这些方法的具体步骤，并通过实例演示如何应用它们求解定积分。
第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念和分类。
微分方程是描述变量之间关系的方程，它在自然科学和工程技术中具有广泛应用。
我们将详细解释微分方程的定义和分类，并通过例题演示如何求解微分方程。
3.2 常微分方程本节将讨论常微分方程的求解方法。
常微分方程是最常见的微分方程类型之一，它描述了未知函数及其导数之间的关系。
高阶导数与高阶微分
由定义3.4知 : y(n)
x= x0
=
f
(n)
( x0
)
=
lim
∆x→0
f
(n−1) ( x0
+ ∆x) − ∆x
f
(n−1) ( x0 )
= lim f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) .
x → x0
x − x0
y(n) = f (n) (x) = lim f (n−1) (x + ∆x) − f (n−1) (x)
2018/11/5
Edited by Lin Guojian
9
例 : 设y = ln(1+ x),求y(n).
解 : y′ = [ln(1+ x)]′ = 1 = (1+ x)−1 1+ x
y′′ = [ln(1+ x)]′′ = [(1+ x)−1]′ = (−1)(1+ x)−2
y′′′ = [ln(1+ x)]′′′ = [(−1)(1+ x)−2 ]′ = (−1)(−2)(1+ x)−3 设y(k) = [ln(1+ x)](k) = (−1)(−2)(−k +1)(1+ x)−k = (−1)k−1(k −1)!(1+ x)−k
解 : y(n) = a0n!
2018/11/5
Edited by Lin Guojian
5
例 : 设y = ex , 求y(n)与y(n) (0).
解 : y′ = (ex )′ = ex , y′′ = (ex )′ = ex ,, y(n) = ex.
y(n) (0) = y(n) = ex = e0 = 1.
高阶导数的运算法则
应用
高阶微分方程在描述复杂系统的行为和解决某些数学问题中有重要应用。
05
高阶导数的物理应用
速度与加速度的关系
总结词
描述速度和加速度之间的数学关系
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的两 个重要物理量。速度是描述物体位置变化的量，而加 速度是描述物体速度变化快慢的量。通过高阶导数， 我们可以更精确地描述速度和加速度之间的关系。例 如，物体的运动方程可以表示为速度关于时间的导数 （即加速度），而加速度关于时间的导数则表示加加 速度（即物体速度变化的速率）。
举例
$y'' = f(x, y, y', y'')$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变量。
应用
二阶微分方程在振动、波动和曲率等领域有广泛应 用。
高阶微分方程
定义
高阶微分方程是包含一个未知函数及其高阶导 数的方程。
举例
$y^{(n)} = f(x, y, y', ldots, y^{(n)})$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变 量。
幂的导数法则
总结词
幂的导数法则是计算幂函数的高阶导数的规 则。
详细描述
幂的导数法则是说，如果幂函数y=x^n对x有 n阶导数，则其高阶导数的形式为 d^ny/dx^n=(n!)*x^(n-1)/[(n-
1)!]+...+2*x/1+0*1/x，其中n为非负整数。
03
高阶导数的应用
求极值
极值判定定理
04
高阶导数在微分方程中的应 用
一阶微分方程
定义
01
一阶微分方程是包含一个未知函数及其导数的方程。
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(n 1)
特别地 (1) 若 为自然数 n , 则
y ( n ) ( x n )( n ) n! , y( m ) ( x n )( m ) 0. ( m n)
1 ( 2) 当 1 时 , x
( n)
( x 1 ) ( n )
( 1)n n! x n 1
5
例3
设 y sin x, 求y ( n) . 解 y cos x sin( x 2 ) y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) y sin( x n ) 2 同理可得 (cos x ) ( n ) cos( x n ) 2
(n)
u v nu
(n)
( n 1 )
n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k! C u
k 0 k n
2018/10/24
n
( n k )
4
2018/10/24
例2 解
设 y e x , 求y( n) .
y e x ,
x y e , y e x ,
y ( n ) (e x )( n ) e x
同理可得
y
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( n)
(a )
x ( n)
a (ln a )
x
n
(a 0且a 1)
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
2018/10/24 3
二、高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0).
1 y 1 x2 1 2x y ( ) 2 1 x (1 x 2 ) 2
第八节 高阶导数与高阶微分
一、高阶导数的定义
二、高阶导数求法举例
三、高阶微分
2018/10/24Fra bibliotek1一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) f ( t )
加速度a是速度v对时间t的变化率
a( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
y
(n) 2
2018/10/24
(a b ) e sin(bx n )
ax
n 2 2
b ( arctan ) a
9
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu)( n) Cu( n)
( 3) ( u v )
(ln x )
2018/10/24
( n)
( 1)
n 1
( n 1)! xn
( n 1, 0! 1)
8
例6 设 y e ax sin bx (a, b为常数), 求y ( n ) . 解
y ae ax sin bx be ax cos bx e ax (a sin bx b cos bx)
6
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例4
设 y x ( R), 求y( n) .
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
解 y x 1
y ( n) ( 1)( n 1) x n
解
2 2x 2 ( 3 x 1) y ( ) (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ) 3 2 2x 2 ( 3 x 1) f (0) 2 2 x 0 0; f ( 0) (1 x ) (1 x 2 ) 3
x0
2.
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注意 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例5 设 y ln(1 x ), 求y ( n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
记作
2018/10/24
d2 y d2 f ( x ) f ( x ), y, 2 或 . 2 dx dx
2
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
b e a b sin(bx ) ( arctan ) a
ax 2 2
y a 2 b 2 [ae ax sin(bx ) be ax cos(bx )]
a 2 b 2 e ax a 2 b 2 sin(bx 2 )