知识点19 反函数的求导
反函数求导公式范文
反函数求导公式范文首先，让我们来定义反函数的概念。
如果函数f是一个一一对应函数，即对于每个x值，都有唯一的y值与之对应，那么它的逆函数记作f^(-1)。
如果f在一些区间上是可导的，那么它的逆函数在对应的区间上也是可导的。
接下来，我们将推导求反函数的导数的公式。
假设函数f在一个区间上可导，并且存在反函数f^(-1)。
对于一个点x=f^(-1)(y)，我们希望求出它的导数(dy/dx)。
根据导数的定义，我们可以得到以下等式：f'(f^(-1)(y))*f^(-1)'(y)=1(1)我们将上式改写为：f^(-1)'(y)=1/f'(f^(-1)(y))这个公式表明，如果我们已知函数f在一些点上的导数，那么反函数在对应的点上的导数可以通过该点的函数值和导数值来求得。
下面，让我们通过几个例子来说明如何使用反函数求导公式。
例子1：设函数f(x)=2x+1，求其反函数在点x=3处的导数。
首先，我们求出函数f在点x=3处的导数。
由于f(x)=2x+1，所以f'(x)=2、因此，f在点x=3处的导数为2然后，我们通过反函数求导公式求出反函数在对应的点上的导数。
根据公式，反函数在点y=f(3)=7处的导数为：f^(-1)'(7)=1/f'(f^(-1)(7))=1/f'(3)=1/2因此，反函数在点x=7处的导数为1/2例子2：设函数f(x) = sin(x)，求其反函数在点x=π/2处的导数。
首先，我们求出函数f在点x=π/2处的导数。
由于f(x) = sin(x)，所以f'(x) = cos(x)。
因此，f在点x=π/2处的导数为cos(π/2) = 0。
然后，我们通过反函数求导公式求出反函数在对应的点上的导数。
根据公式，反函数在点y=f(π/2)=1处的导数为：f^(-1)'(1)=1/f'(f^(-1)(1))=1/f'(π/2)=1/0由于0的倒数不存在，所以反函数在点x=1处的导数无定义。
反函数 导数
反函数导数
反函数导数是一个数学概念，它描述的是函数反转后的导数。
反函数指的是将函数的输入和输出交换后得到的新函数，即将函数的自变量和因变量互换。
对于给定的函数f(x)，如果它在某个区间上是可导的、单调且严格增加或严格减少的，那么它的反函数f-1(x)在相应区间上也是可导的。
此时，f-1(x)在该区间内的导数可以通过以下公式计算： (f-1)'(x) = 1 / f'( f-1(x) )
其中，f-1'(x)表示f-1(x)在x处的导数，f'(x)表示f(x)在x 处的导数。
需要注意的是，上述公式只在满足特定条件的情况下成立。
具体地，如果f(x)在某个区间上不单调，或者它的导数在某些点上为零，则f-1(x)在对应区间上可能不存在导数。
反函数导数在计算机科学、物理学、统计学等领域中有广泛的应用，例如在优化算法、数据分析、模型拟合等方面。
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反函数的导数
练习题答案
2x 2、 3、 一、1、8( 2 x + 5) ； 2、sin 2 x ； 3、 ； 4 1+ x x tan 2 x ln 10(tan 2 x + 2 x sec 2 2 x ) ； 4、 5、 4、− tan x ； 5、10 1 2 tan k x k −1 2 2 xf ′( x ) ； 7、e 6、 7、 6、 ⋅ k tan x ⋅ sec x , . 2 x 2 x cos 2 x − sin 2 x 2、 二、1、 2 ； 2、 ； 2 2 x x x −1 1 4、 ； 4、csc x ； 3、 2 2 a +x x 2 arcsin e arctan x 2； 5、 6、 5、 6、 ； 2 2 x (1 + x ) 4− x
一、反函数的导数
定理 如果函数x = ϕ( y)在某区间I y内单调、可导 内单调、
且ϕ′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间 Ix内也可导, 且有 1 f ′( x) = . ϕ′( x)
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
思考题
不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导， u = g ( x ) 在 x 0 可导，且 u0 = g ( x0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x0 处（ ）． （1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导； ）必可导； ）必不可导； ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（ ） 正确地选择是（3） 例 f ( u) =| u | 在 u = 0 处不可导， 处不可导， 取 u = g ( x ) = sin x 在 x = 0 处可导， 处可导，
反函数求导-例题
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。
例题：求y=arcsinx的导函数。
首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2
所以y‘=1/√1-x2。
同理可以求其他几个反三角函数的导数。
所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。
最后将y想法设法换成x即可。
扩展资料：
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C反函数中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的
值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数x= g(y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数的求导法则当函数f(x)在一些区间上连续、单调且可导时，它在该区间上必存在反函数g(x)。
反函数的导数可以通过以下方法求得。
设函数f(x)的反函数为g(x)，则有f(g(x))=x和g(f(x))=x。
根据反函数的定义，可以得到以下关系：f(g(x))=x (1)g(f(x))=x (2)对方程(1)两边求导，可得：f'(g(x))*g'(x)=1所以g'(x)=1/f'(g(x))同理，对方程(2)两边求导，可得：g'(f(x))*f'(x)=1所以g'(x)=1/f'(f(x))综上所述，反函数的导数可由上述公式求得。
其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，f'(f(x))表示f(x)在x处的导数。
复合函数是由两个或多个函数嵌套而成的，求复合函数的导数需要使用链式法则或其他求导法则。
以下是复合函数求导的常见法则。
1.链式法则设函数y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)均可导。
则复合函数y的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = dy/du * du/dx其中 dy/du 表示函数 f(u) 对 u 的导数，du/dx 表示函数 g(x) 对x 的导数。
2.乘积法则设函数y=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)均可导。
则复合函数y的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = u(x) * dv/dx + v(x) * du/dx其中 du/dx 表示函数 u(x) 对 x 的导数，dv/dx 表示函数 v(x) 对x 的导数。
3.商法则设函数y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)均可导且v(x)≠0。
dy/dx = (v(x) * du/dx - u(x) * dv/dx) / v(x)^2其中 du/dx 表示函数 u(x) 对 x 的导数，dv/dx 表示函数 v(x) 对x 的导数。
反函数、复合函数的求导法则
类似地有：(arccos x) = 1 。
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例2．求(arctan x)及(arccot x)。
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dy = dy du = cos u 2(1 x 2 ) (2x)2
dx du dx
(1 x 2 )2
2(1 x 2 )
=
cos
2x
。
(1 x 2 ) 2
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
2 反函数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数 基本初等函数的导数公式小结
二、复合函数的求导法则 三、求导法则小结
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
dy dx
=
dy du
du dx
，或 y=yuux
。
例 7． y = 3 1 2x 2 ，求 dy 。 dx
解：
dy
= [(1
1
2x 2 ) 3 ]
反函数求导法则
反函数求导法则刘云（天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000） 摘 要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。
关键词：反函数；基本初等函数；求导引 言除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。
1. 反函数求导定理若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有[])(1)(1x f y f'='-. 证明：因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时0)()(≠-∆+=∆x f x x f y 等价于0)()(11≠-∆+=∆--y f y y f x ，并且当0→∆y 时有0→∆x 。
因此[]y y f y y f y f y ∆-∆+='--→∆-)()(lim )(1101)()(lim 0x f x x f x x -∆+∆=→∆ )(1)()(lim 10x f xx f x x f x '=∆-∆+=→∆. 2.基本初等函数的导数和微分公式：0)(='C0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax xdx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin ='xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -='xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan ='xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -='xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec ='xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -='xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广(1)多个函数线性组合的导函数∑∑=='='⎥⎦⎤⎢⎣⎡n i i i n i i i x f c x f c 11)()(，其中),,3,2,1(n i c i =为常数。
反函数的求导法则辨析
昨天的文章中提到过反函数的求导法则。
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。
这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊：y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。
所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3，只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。
因此：y=x1/3的导函数应该这样求y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)，=1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。
我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。
例题：求y=arcsinx的导函数。
首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。
同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。
所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。
最后将y想法设法换成x即可。
相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。
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学科：高等数学第二章 导数与微分知识点19 反函数的求导 精选习题作者：邹群例19.1(难度系数0.2) 的反函数在处的导数xy -=⎰()x x y =0y =0'()|y x y ==.解析：基础题型.注意无需求出反函数，只需要利用公式，求原函数1dx dydy dx=的导数再找到值的对应即可.因为，所以时，.因此10--=⎰0y =1x =-.0111'()d d y x x y y x==-===.温馨提示：在求反函数的导数时，感觉微商形式的公式非常好用，因1dx dy dydx=为此式就是一个除法式，函数关系一目了然.例19.2(难度系数0.2)若是可导函数，且，，则的反函数()f x ()()2sin sin 1f x x '=⎡+⎤⎣⎦()04f =()f x 当自变量取4时的导数值为 .()x y φ=解析：，.()2d 11d d sin sin 1d x y y x x==⎡+⎤⎣⎦()()224d 11d sin sin1sin sin 1y x x yx ====⎡+⎤⎣⎦解：.()21sin sin1例19.3(难度系数0.4，跨知识点53 )设，求它的反函数的二阶导数及.22=e d 10t x y t +⎰=()x y ϕ22d d xy(1)ϕ''解析：考查积分上限的函数、反函数的二阶导数和复合函数求导.解： 因为，所以，故，24d 2d x y e x =24d 1d 2x x e y -=222482d d 1d ()2d d 2d x x x x e xe y x y --==-因为时，，所以.1y =0x =(1)0ϕ''=例19.4(难度系数0.4) 设函数，()2312,1, 121216, 2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-<≤⎨⎪->⎩（1）写出的反函数的表达式；()f x ()g x （2）是否有间断点、不可导点，若有指出这些点并加以说明.()g x 解析：（1）分段函数求反函数的题目比较少见，虽然分段函数的每一段并不是单独的函数，但是此时“暂时地”将每一段当成单独的函数，然后求其反函数，最后再将它还原成各段，这不失为一种求分段函数反函数的好办法；（2）分段点可能是间断点和不可导点，利用定义进行说明.解：（1）因为当时，对应 1x <-()1f x <-.据，即在当时，()212f x x =-x =()g x 1x <-.()g x =对其他区间类似讨论得：.()1 1816, 812x g x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪+⎪>⎪⎩（2）因为在1111lim ()lim 1lim ()lim x x x x g x g x --+→-→-→-→-==-==()g x 1x =-处连续；，所以在处连续；888816lim ()lim2lim ()lim 12x x x x x g x g x -++→-→-→-→-+====()g x 8x =从而为连续函数，无间断点.()g x 当时，在处不可导；18x -<≤()g x =0x = 88162()(8)112'(8)lim lim ,8812x x x g x g g x x +++→→+--===--88()(8)1'(8)lim lim ,812x x g x g g x ---→→-===-所以在处可导.()g x 8x =11()(1)1'(1)lim lim ,(1)3x x g x g g x +++→-→----===--11()(1)1'(1)lim lim ,(1)4x x g x g g x --→-→----===--所以在处不可导.()g x 1x =- 综上所述，在连续，在处不可导.()g x (,)-∞∞1,0x x =-=例19.5(难度系数0.6)设与互为反函数，且三阶可导，试()y f x =()x y φ=()y f x =用表示.,,y y y ''''''2323d d ,d d x xy y解析：利用反函数求导公式求一阶导，求高阶导时用复合函数求导法则，这类似于求隐函数的高阶导.解：，d 1d x y y ='上式两边对求导，；y 2223d d d d 1d 1d 1d (()()d d d d d d d x x x x y y y y y y y x y y y y y ''''====-⋅=-''''上式两边再对求导，.y 3322365d 3d 3d d x y y y y y x y y y y y y y'''''''''''''''-⋅-=-⋅=''例19.6(难度系数0.6) 单调可导,其反函数为,且已知()f x ()g x(1)2,'(1)f f ==求."(1)1,f ="(2)g解析：考虑函数与反函数的关系，即两边对求导两次，代入数字[()],g f x x =x 即可得答案.解：[()]g f x x =再求导得到 . 2''[()]'()'[()]''()0g f x f x g f x f x +=例19.7(难度系数0.4) 设严格单调函数具有二阶导数，其反函数为()y f x =且满足，则 .(),x y ϕ=(1)1,(1)2,(1)3f f f '''==-=(1)ϕ''=解析：是的函数，是的函数，利用复合函数求导.d 1''()[d '()y y f x ϕ=1'()f x x x y 解： ，.3d 1d 1d ''()''()[][]d '()d '()d '()x f x y y f x x f x y f x ϕ===-(1)ϕ''=38例19.8(难度系数0.8，跨知识点24) 设有反函数，，且()f x ()g x 0a >.()(), 0, f a b f a c '==≠() 2f a ''=(1) 求；()g b ''(2) 求.()()()lim ln ln x af a x f a I x a x a→--=--解析：(1)根据反函数求导法则，两边关于求导，再代入数字可()()1f x g y ''=x 得.(2)利用等价无穷小的替换，也要用导数的定义.解：(1)记，为的反函数，已经改变了符号，为利用反函数()y f x =()g x ()f x 公式，需要将改为,注意到，并且，()g x ()g y x a y b =⇒=()()11g b f a c'=='由等式，两边再次关于求导得()()1f x g y ''=x ,()()()()()()()()200x f x g y f x g y y f x g y f x g y '''''''''''''+=⇒+⎡⎤=⎣⎦令，则 .x a =()()()()223122f a g b c g b c c f a ⋅'''''=-=-=-'⎡⎤⎣⎦(2)注意到等价无穷小替换公式.令即得.()ln 1x x + 1x t =-ln 1t t - ()()()()()()()()()()()()22limlimln ln ln ln limlim =.ln 1x ax a x a x a f a x f a x x a x x a I f a a x ax a x a x x a x x a f a f a f a a a x xa a→→→→------'=⋅=--------'''==-=--例19.10(难度系数0.6) 设在内具有二阶导数，且，()y y x =(,)-∞+∞0y '≠是()x x y =的反函数，试将所满足的方程变换为()y y x =()x x y =232d d (sin )(0d d x xy x y y ++=满足的方程.()y y x =解析：因为是的函数，是的函数，所以是的函数，两边对d 1d x y y ='x x y d d xyy y 求导得到表达式，再代入方程可求解.232d d (sin )()0d d x xy x y y++=解：，上式两边对求导，，代入方程d 1d x y y ='y 2223d 1d d d x x y y y y y y ''''=-⋅=-''，得，即.232d d (sin )()0d d x x y x y y ++=331(sin )()0y y x y y ''-++=''sin y y x ''-=。