高中数学知识点题库 021反函数
2018高考复习数学第一轮 第21讲反函数(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)
2018高考复习数学第一轮第21讲 反函数一、知识要点1、反函数的定义：一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使()y f x =，这样得到的x =()1fy -．在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈2、求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=；（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=； （3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域3、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称4、反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；二、 例题精讲例1、 求下列函数的反函数（1）()()12log 111y x x =-+<；（2）)110y x =-≤≤答案：（1）()1112x y x R -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）)01y x =≤≤例2、已知函数()21x f x x a +=+()x a ≠-且12a ≠，求反函数()1f x -，并当()f x 与()1f x -的图像重合时求a ．答案：2a =-例3、已知函数()2xf x a =+的反函数是()1y fx -=，设()1,P x a y +、()2,Q x y 、()32,R a y +是()1y f x -=图像上不同的三点．（1） 如果存在正实数x ，使得123,,y y y 依次成等差数列，试用x 表示实数a ； （2） 在（1）的条件下，如果实数x 是唯一的，试求实数a 的范围．答案：（1）)02a x x x =>≠且；（2）0a >或12a =-．例4、已知函数())0f x a =<，其反函数为()1f x -．（1）若点)1P-在反函数()1f x -的图像上，求a 的值；（2）求证：函数()f x 的图像与y x =的图像有且仅有一个公共点．答案：（1）1a =-；（2）提示：y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩有且只有一解落在20,a ⎛⎤- ⎥⎝⎦内即可．例5、已知函数(()log 1a y x a =+>的反函数()1f x -．（1） 若()()111fx f --<，求x 的取值范围；（2） 判断()12f-与()121f -、()13f -与()131f -的大小关系，并加以证明；（3） 请你根据（2）归纳出一个更一般的结论，并给予证明． 答案：（1）1x <；（2）()12f ->()121f -，()13f ->()131f -；（3）()()()111,2f n nf n N n -->∈≥例6、已知函数()1y fx -=是()y f x =的反函数，定义：若对给定的实数()0a a ≠，函数()y f x a =+与()1y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与()1y fax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”． （1） 判断函数()()210g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数()()0y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”，求()y f x =的表达式．答案：（1）不满足；（2）()y x b b R =-+∈；（3）()()0kf x k x=≠三、课堂练习1、函数()()2log 14f x x x =+≥的反函数()1f x -的定义域是 ．答案：[)3,+∞2、已知()f x 是定义在[]4,0-上的减函数，其图像端点为()4,1A -，()0,1B -，记()f x 的反函数是()1f x -，则()11f -的值是 ，()f x 的值域是 ． 答案：4-，[]1,1-3、若lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()xf x a =与()xg x b =的图像关于对称． 答案：y 轴4、设函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，且()21y f x =-的图像经过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则()y f x =的反函数的图像必过点（ ） A 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭B 、11,2⎛⎫⎪⎝⎭C 、()1,0D 、()0,1答案：C5、已知函数()f x 存在反函数()1f x -，若1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭过点()2,3，则函数11f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭恒过点（ ） A 、()3,2B 、11,23⎛⎫⎪⎝⎭C 、11,32⎛⎫⎪⎝⎭D 、1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C四、 课后作业 一、填空题1、函数()()1312f x x =-+的反函数()1f x -= ．答案：()()321x x R -+∈2、若直线1y ax =+与直线2y x b =-+关于直线y =x 对称，则a = ，b = ．答案：12-，23、已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解为x = ． 答案：14、已知函数()()y f x x D =∈的值域为A ，其反函数()1y fx -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x D >∈的充要条件是 ． 答案;()10fa -=且()()1f x x x A -<∈5、设()()12,01,0xa x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x x =有且只有两个实数根，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[)2,46、若函数()xf x a k =+的图像经过点()1,7，又函数()14fx -+的图像经过点()0,0，则()f x 的解析式为 ． 答案：()43xf x =+二、选择题7、函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是（ ）A 、(],1a ∈-∞B 、[)2,a ∈+∞C 、[]1,2a ∈D 、(][),12,a ∈-∞+∞答案：D8、函数()()1ln1,1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ） A 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+B 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- C 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+D 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- 答案：B9、设函数()()()log 0,1a f x x b a a =+>≠的图像过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +等于（ ）A 、6B 、5C 、4D 、3答案：C三、解答题10、已知函数()lg 101xy =-．（1）求()y f x =的反函数()1y f x -=；（2）若方程()()12fx f x λ-=+总有实根，求实数λ的取值范围．答案：（1）()()()1lg 101xf x x R -=+∈；（2）()lg 2λ≥11、给定实数a （0a ≠且1a ≠），设函数11x y ax -=-（x R ∈且1x a≠），求证： （1）经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴；（2）这个函数图像关于直线y x =成轴对称图形；（3）你能否再给出一些函数，其图像关于直线y x =成轴对称图形？ 答案：（1）提示：证明斜率不为0即可；（2）提示：证明其反函数为其自身；（3）())2,,0,0,01ax by x y x b y bc a c y x cx a+==-+=+≠≠=≤≤-等．12、为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（1）首先选取如下函数：21y x =+，21xy x =+，y = 求出以上函数图像与其反函数图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为()1,1--， 21x y x =+与其反函数2x y x=-的交点坐标为()()0,0,1,1,y =()210y x x =-≤的交点坐标为⎝⎭，()1,0-，()0,1-；（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明． 现在请你完成（2）和（3） 答案：（2）原函数图像与其反函数图像的交点不一定在直线y x =上； （3）提示：反证法．。
反函数练习附答案
13.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为1(x),则1(32)的定义域为,值域为.
解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤32≤3,解得 ≤x≤ .
3.若函数y＝f(1)的图象与函数 的图象关于直线y＝x对称,则f(x)等于()
212x2122
解析:由函数y＝f(1)的图象与函数 的图象关于直线y＝x对称,可知y＝f(1)与 互为反函数,有 x＝e22,所以y＝e22 y＝f(1)＝e22.故f(x)＝e2x.答案
4.已知函数f(x)＝231(x)是f(x)的反函数,若＝16(∈),则1(m)1(n)的值为( )
又y＝f(x)与y＝1(x)关于y＝x对称＝x沿向量(-1,2)平移得到y＝3,
∴y＝f(1)+2与y＝1(1)+2关于y＝3对称.答案＝3
三、解答题
15.已知函数 (x)＝1(),求g(x).
解:由 ,得＝1,∴ ,即 ，∴g(x)＝1()＝ .
16.已知函数f(x)＝2( )(a＞0且a≠1).
8.设0＜a＜1,函数 ,则函数1(x)＜1的x的取值范围是( )
A.(0,2) B.(2∞) C.(0∞) D.((2)∞)
解析(x)在(0,2)上是减函数,所以x＞f(1)＝0.故选C.
9.设函数为y＝f(x)的反函数为y＝1(x),将y＝f(23)的图象向左平移2个单位,再作关于x轴的对称图形所对应的函数的反函数是( )
高一数学反函数知识精讲
高一数学反函数【本讲主要内容】反函数反函数的定义；反函数的求法；反函数间的图像性质【知识掌握】【知识点精析】1. 反函数的定义：若函数)(x f y =（A x ∈）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=。
如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数。
这样的函数)(y x ϕ=（C y ⊂）叫做函数))((A x x f y ⊂=的反函数，记作)(1y fx -=。
在函数)(1y fx -=中，y 表示自变量，x 表示函数。
习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数)(1y f x -=中的字母x 、y ，把它改写成)(1x fy -=。
2. 求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程)(x f y =，得到)(1y fx -=。
（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到)(1x f y -=。
（3）求出并说明反函数的定义域（即函数)(x f y =的值域）。
3. 关于反函数常用性质：（1）)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。
（2）)(x f y =和)(1x f y -=具有相同的单调性。
（3）)(x f y =和)(1y f x -=互为反函数，但在同一坐标系下，它们的图象相同。
（4）已知f(x)求)(1a f-，可利用a x f =)(，从中求出x ，即是)(1a f -。
特别提醒：因为反函数与原函数互为反函数，所以在学习反函数的过程中要注意原函数与反函数的定义域、值域、对应法则的互反性，同时在研究反函数的性质时要注意利用原函数和反函数之间的关系转化为研究原函数的性质，如研究函数2xx e e y -+=的反函数的单调性、奇偶性就可以直接研究2xx e e y -+=，而不必求出其反函数。
高一上数学各的知识点梳理：反函数
7、反函数一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．设函数f (x)＝1－2x 1-(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是）B.－ －1 O x 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是 （ ）A ．y =(x －1)2＋1，x ∈RB ．y =(x －1)2－1，x ∈RC ．y =(x －1)2＋1，x ≤1D ．y =(x －1)2－1，x ≤13．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f －1(4)等于（ ）A ．2B ．1－2C ．－2D ．2－2 4．与函数y=f (x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（ ）A ．y=－f (x )B ．y= f -1(x )C ．y =－f -1(x )D ．y =－f -1(－x ) 5．设函数()[]()242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（ ）A ．[)4,-+∞B ．[)0,+∞C ．[]0,4D ．[]0,126．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于 （ ） A ．a B ．1a - C ．b D ．1b -7．已知函数()13ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ）A ．3-B ．1C ．3D ．1- 8．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数 （ ）A ．有且只有一个实数根B ．至少有一个实数根C ．至多有一个实数根D ．没有实数根9．函数f (x )=－22·12-x (x ≤－1)的反函数的定义域为 （ ）A ．(－∞，0］B ．(－∞，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点（ ）A ．(－1，4)B ．(－4，－1)C ．(－1，－4)D ．(1，－4)11．函数f(x)＝x1(x ≠0)的反函数f －1(x)＝（ ）A ．x(x ≠0)B ．x 1 (x ≠0) C ．－x(x ≠0) D ．－x 1 (x ≠0) 12、点(2，1)既在函数f (x )=abx a +1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a ，b )有 （ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）13．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1[f (x )]=___ ； f [f －1(x )]=___ __．14．已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为__ _． 15．设f (x )=x 2－1(x ≤－2)，则f －1(4)=__ ________．16．已知f (x )＝f －1(x )＝xm x ++12(x ≠－m )，则实数m = ．三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．（1）已知f (x ) = 4x －2x ＋1 ，求f －1(0)的值．（2）设函数y = f (x )满足 f (x －1) = x 2－2x ＋3 (x ≤ 0)，求 f －1(x ＋1)．18．判断下列函数是否有反函数，如有反函数，则求出它的反函数．（1）2()42()f x x x x R =-+∈； （2）2()42(2)f x x x x =-+≤． （3）1(0)1,,(0)x x y x x +>⎧=⎨-<⎩19．已知f (x )=13-+x ax （1）求y =f (x )的反函数 y = f －1 (x )的值域;（2）若(2，7)是 y = f －1 (x )的图象上一点，求y=f (x )的值域．20．已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>，（1）求1()fx -及其1(1)f x -+；（2）求(1)y f x =+的反函数．21．己知()211x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭(x ≥1)，（1）求()f x 的反函数1()f x -，并求出反函数的定义域；（2）判断并证明1()f x -的单调性．22．给定实数a ，a ≠0，且a ≠1，设函数11--=ax x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠∈a x R x 1,且．试证明：这个函数的图象关于直线y =x 成轴对称图形．参考答案一、选择题： DCCDD ACCAC BA二、填空题：13.x ，x ，14.x ≥－1，15.－5，16.m ＝－2三、解答题：17.解析：（１）设f －1(0)=a ，即反函数过(0，a)， ∴原函数过(a ，0)．代入得 ：0=4a－2a ＋1，2a (2a －2)=0，得a =1，∴f)0(1-=1．（２）先求f (x )的反函数)2(1)1(),3(2)(11≥--=+∴≥--=--x x x f x x x f ．18.解析：⑴令()0,y f x ==得到对应的两根：120,4x x ==这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数．⑵由2()42f x x x =-+2(2)2x =--，得2(2)2x y -=+∵2x ≤，∴ 22x x -==，互换,x y 得2y =又由2()42(2)f x x x x =-+≤的值域可得反函数定义域为[2,),-+∞∴反函数为1()2f x x -=-∈[2,)-+∞．⑶由1(0)y x x =+>得其反函数为1(1)y x x =->； 又由1(0)y x x =-<得其反函数为1(1)y x x =+<-．综上可得，所求的反函数为1(1)1(1)x x y x x ->⎧=⎨+<-⎩．注：求函数()y f x =的反函数的一般步骤是：⑴反解，由()y f x =解出1()x f y -=，写出y 的取值范围；⑵互换,x y ，得1()y fx -=；⑶写出完整结论(一定要有反函数的定义域)．⑷求分段函数的反函数，应分段逐一求解；分段函数的反函数也是分段函数．19.解析：（１）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．∴反函数的值域为{y|y 1,≠∈y R }（２）∵(2，7)是y =f －1(x)的图象上一点，∴(7，2)是y =f (x )上一点．∴,215215)1(2132)(212327≠-+=-+-=-+=∴=∴-+=x x x x x x f a a ∴f (x )的值域为{y |y ≠2}．20．解析：⑴∵22(1)211(1)1(0)f x x x x x +=++-=+->，∴2()1(1)f x x x =->，其值域为{|0}y y >，又由21(1)y x x +=> 得x =∴1()0)f x x -=>， ∴1(1)1)f x x -+=>-．⑵由2()2(0)y f x x x x ==+>，解得1(1)x y =>-∴(1)y f x =+的反函数为1y =(1)x >-．说明：1(1)y f x -=+并不是(1)y f x =+的反函数，而是1()y f x +=的反函数．题中有1(1)y fx -=+的形式，我们先求出1()y f x -=，才能求出1(1)y f x -=+．21.解析：⑴21()1,1011x y x x y x -=⇒=≥≥⇒≤<+设， 即1()fx -的定义域为[)0,1；⑵设11121201,01,()()0x x f x f x --≤<<∴≤∴-=<，1112()()f x f x --<，即1()f x -在[)1,0上单调递增．22、证法一:且则意一点是这个函数的图象上任设点,1,),(ax y x P ≠''' .11-'-'='x a x y ……①).,(),(x y P x y y x P '''=''的坐标为的对称点关于直线易知点由①式得⎩⎨⎧-'=-''-'=-'',1)1(1)1(y y a x x x a y 即……②由此得a =1，与已知矛盾，.01≠-'∴y a 又由②式得 11-'-'='y a y x这说明点P ′（y ′,x ′）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y =x 成轴对称图形.证法二:先求所给函数的反函数:由),1,(11ax R x ax x y ≠∈--=得 y (ax －1)=x －1， 即 (ay －1)x =y －1．得代入所给函数的解析式则假如,,1,01a y ay ==-111--=ax x a 即 ax －a =ax －1，由此得a=1，与已知矛盾，所以ay －1≠0． 因此得到).1,(,11)1,(11,1,11a x R x ax x y ax R x ax x y ay ay y x ≠∈--=≠∈--=≠--=且的反函数是且这表明函数其中由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f －1(x)的图象关于直线y=x 对称，所以函数)1,(11ax R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y =x 成轴对称图形.赠送以下资料英语万能作文(模板型）Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是____________。
备战2021高考数学高频考点归类分析(真题为例)反函数
反函数问题典型例题：例1. 〔2021年全国大纲卷文5分〕函数y =1x + (x ≥－1)的反函数为【 】A.21(0)y x x =-≥B.21(1)y x x =-≥C.21(0)y x x =+≥ D. 21(1)y x x =+≥【答案】A 。
【解析】由原函数求出x 关于y 的关系式，再x 、y 对换，原函数的值域是反函数的定义域。
因此，将y =1x +两边平方，得21y x =+，即21x y =-。
将x 、y 对换，得21y x =-。
又函数y =1x +的值域为0y ≥，所以21y x =-的定义域为0x ≥。
应选A 。
例2. 〔2021年全国课标卷理5分〕设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，那么PQ 最小值为【 】【答案】B 。
【考点】反函数的性质，导数的应用。
【解析】∵函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，∴它们的图象关于y x =对称。
∴函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为122x e x d -= 设函数1()2x g x e x =-，那么1()12x g x e '=-，∴min ()1ln 2g x =-。
∴min 2d =。
〔1〕假设1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；〔6分〕〔2〕假设)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.〔8分〕【答案】〔1〕由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x 。
由220lg(22)lg(1)lg11x x x x -<--+=<+得221101x x -<<+。
∵01>+x ，∴1010221+<-<+x x x ，解得2133x -<<。
反函数经典例题
反函数经典例题t 反函数是指： f(x)=ax(y)-yf(x)dx，而实际上它可表示为：f(x)=(a-x)f(y)，这样的函数就叫做反函数。
１．，这种函数图象称为y轴上的反函数。
2．若反函数y=f(x)，则该函数称为原函数的反函数。
3．， f'(y)=(y-1)f(x)，称为x轴上的反函数。
4．若反函数y=f'(x)，则该函数称为原函数的反函数。
5．函数是有两个自变量的，则称该函数为二次函数。
6．函数是有两个未知量的，则称该函数为三次函数。
7．函数是有三个自变量的，则称该函数为三次函数。
8．含有两个未知量和一个常数的二次函数图象的顶点为原点，若顶点在坐标轴上，则称为顶点在坐标轴上的函数。
9．若函数y=f(x)与x轴交于两点a、 b，则该函数图象关于直线y=x=a+b对称，记作： y=a+bx。
10．函数的图象关于坐标轴对称，记作： y=ax(a+bx)-bx，其中a、 b为常数。
可见，反函数其实并不神秘，只是我们平时没有去注意它，只要我们能多加练习，熟悉他，我相信，任何一个函数我们都可以把它变成一个反函数。
以下是两道经典的反函数例题：下面我们继续利用反函数解决函数问题。
1．f(x) = x。
2． f(x) = -(-3)^x + 2。
3．当x=-1时， f(x)的值为2， f(0)的值为-3。
4．，当f(0)等于0时， f(x) = -5，当f(0)不等于0时， f(x)等于5。
以上两道例题都给出了利用f(x)=a(y)dx求函数解析式。
为什么前一道题f(x)=0，而后一道题f(x)=-5，是不是f(x)=-5比f(x)=0小呢？答案是否定的，因为： a是正整数，即使它是0，但它还是个整数，而f(x)是-3的反函数，而-3是一个负整数，它等于-5，也就是说，当a是正整数时， f(x)将比f(x)小，而当a是负整数时， f(x)比f(x)大。
《中国著名数学家的学习故事》中有一篇文章《如何获得成功》，主人公海伦·凯勒曾说过：“我们不得不惊奇地发现，我们已经很久没有以严肃的态度开始新的一天了。
高中数学(新教材)反函数
x 1 y f ( x) 3
1
二、新课
3．几个必须清楚的问题：
复习
新课
例题
练习
小结
作业
（1）如果 y = f (x) 有反函数 y = f 1(x)，那么 y = f 1(x) 的反函数是 y = f (x)，它们互为反函数。
（2）并不是所有的函数都有反函数。如 y = x2（可作 映射说明）因此，只有决定函数的映射是一对一 的映射，这个函数才有反函数。 （3）两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是 它的反函数的值域，原函数的值域是它的反函数 的定义域 。如下表。
的反函数是
x 1 y 3
( x R)
；
实际上用y表示x就是把函数看成关于x的方程来解 。
三、例题讲解
(2)
复习
新课
例题
练习
小结
作业
y x 1
3
(x R)
3
解：由函数y x
所以函数
1
(x R)，
得
x 3 y 1 ，
y x 1
3
(x R)，的反函数是
y 3 x 1
二、新课
复习
新课
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作业
1.反函数的定义： 一般地，函数y=f(x), (xA )中,设它的值域为C,我 们根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x = (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x = (y)在A 中都有唯一的值和它对应，那么, x = (y)就表示y是 自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x = (y),(yC) 叫做函数y=f(x) ,(xA)的反函数，记作 x = f 1( y )
反函数(含答案)
反函数 一些结论:()1定义域上的单调函数必有反函数；()2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ()3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数. ()4周期函数在整个定义域内不存在反函数.（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．考点一。
反函数图象1.已知函数的反函数是，则的图象是（ ）解：由题意知则所以的图象可由的图象向右平移1个单位而得到。
故选（C ）。
考点二。
求反函数定义域，值域2.（1）若为函数的反函数，则的值域为_________。
解：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得的值域为。
（2）已知p 为xe 2y =上一点，Q 为2ln ln y -=x 上一点，求PQ 最小值。
解：由题，两函数互为反函数，当PQ 与y=x 垂直，且P,Q 分别为两曲线切点时，PQ 最小。
2ln ln y -=x ，则1x 1y =='，即x=1,切点为（1，-ln2),故22ln 1d +=。
由对称性，PQ 最小值=)2ln 12+（。
（3）已知y=a 与y=2(x+1),y=x+lnx 交于A ，B 两点,求AB 最小值。
解：0x11y >+='，单调递增，y=2(x+1)单增且k=2,画图像得:要使AB 最小，只需B 到y=2(x+1)距离d 最小又5535212d =+-=，故AB min=d 25=23。
考点三。
求反函数3.（1）函数的反函数是（ ）A. B. C. D. 解：由可得，故从解得因所以即其反函数是故选（B ）。
（2）求下列函数的反函数： （1）2()(1)f x x x x =+≤-； （2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<.解：（1）由2(1)y x x x =+≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴211(0)24x y y +=-+≥，∴所求函数的反函数为211(0)24y x x =--+≥． （2）当01x ≤≤时，得1(10)x y y =+-≤≤，当10x -≤<时，得(01)x y y =-<≤，∴所求函数的反函数为1(10)(01)x x y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩．（3）f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，则f(x)反函数为（ ) A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)解：f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，∴-x=f(-y),即-y=)(f 1x --,则y=-)(f 1x --,)()(f 1x g x -=-∴-,故)(-g (f 1x x -=-），选D. 考点四。
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1．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，则f －
1(x )的定义域是 ( )
A ．(0,1)
B ．[1，＋∞)
C ．[3，＋∞)
D ．R 答案：C
解析：由x ≥1，得log 2x ≥0，∴y ＝log 2x ＋3≥3，∵反函数的定义域就是原函数的值域， ∴f －1(x )的定义域为[3，＋∞)．
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
2．函数f (x )＝2x ＋
1的反函数的图象大致是 ( )
答案：A
解析：由y ＝2x ＋1得x ＋1＝log 2y ，x ＝log 2y －1(y >0)，即函数f (x )＝2x ＋1的反函数是f －1(x )＝log 2x －1(x >0)，注意到函数f －1(x )在(0，＋∞)上是增函数，结合各选项知，选A.
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
3．函数y ＝ln x ＋1
x －1，x ∈(1，＋∞)的反函数为 ( )
A ．y ＝e x －1
e x ＋1，x ∈(0，＋∞)
B ．y ＝e x ＋1
e x －1，x ∈(0，＋∞)
C ．y ＝e x －1
e x ＋1，x ∈(－∞，0)
D ．y ＝e x ＋1
e x －1，x ∈(－∞，0)
答案：B
解析：由y ＝ln x ＋1x －1得x ＝e y ＋1
e y －1
，∵x >1，
∴e y ＋1e y －1>1，∴2
e y －1
>0，e y >1，∴y >0， 因此y ＝ln x ＋1x －1的反函数为y ＝e x ＋1e x －1
，x ∈(0，＋∞)．
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
4．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x ，则f －
1(－19
)的值是( )
A ．－2
B ．2
C ．－12 D.12
答案：B
解析：当x >0时，－x <0，∴f (x )＝－f (－x )＝－3－x ，令f (x )＝－19，可解得x ＝2，即f －1(－19)
＝2.
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
5．已知函数f (x )＝12
(e x ＋e x －2)(x <1)(其中e 是自然对数的底数)的反函数为f －
1(x )，则有
( )
A ．f －1(12)<f －1(32)
B ．f －1(12)>f －1(32)
C ．f －1(32)<f －1(2)
D ．f －1(32)>f －
1(2)
答案：A
解析：∵函数f (x )＝12(e x ＋e x －2)＝e 2
＋12e
2·e x
是一个单调递增函数，∴f －1(x )在(0，＋∞)上也是
单调递增函数．
又∵x <1，∴f (x )＝e 2＋12e 2·e x
<e 2＋12e 2·e ＝e 2＋1
2e .
e 2＋12e －2＝e 2－4e ＋12e ＝(e －2)2－3
2e ， ∵2<e<3，∴0<e －2<1，∴(e －2)2－3<0，∴e 2＋12e
<2；
e 2＋1
2e －3
2
＝e 2－3e ＋1
2e
＝(e －32)2－
5
42e
，
∵2.7<e<2.8，∴1.2<e －3
2
<1.3，
∴(e －32)2－54>0，∴e 2＋12e >32，∴32<e 2
＋1
2e
<2.
∴在x <1时，函数f (x )＝1
2
(e x ＋e x －2)的值域为
(0，e 2＋12e )，其中32<e 2＋12e
<2，故选A.
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
6．函数y ＝1－x (x ≤1且x ∈R )的图象与其反函数图象的交点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：C
解析：求其反函数为y ＝1－x 2(x ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1－x
y ＝1－x
2，判断其解的个数即可．
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
7．函数y ＝x x －1(x >1)的反函数是__________．
答案：y ＝x
x －1
(x >1)
解析：依题意，由y ＝x x －1(x >1)得x ＝y y －1(y >1)，所以函数y ＝x x －1(x >1)的反函数是y ＝
x
x －1(x >1)．
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
8．设函数
f (x )＝e 2(x －1)，y ＝f －
1(x )为
y ＝f (x )的反函数，若函数g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2(x ≤0)
f －1(x )(x >0)，
则g [g (－1)]＝__________.
答案：1
解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g [g (－1)]＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t －1)＝1，t ＝1，所以g [g (－1)]＝1.
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
9．已知函数f (x )＝a －x x －a －1
的反函数f －
1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a 的值为
__________． 答案：2
解析：因为f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，所以f (x )的图象的对称中心为(3，－1)．又由f (x )＝a －x ＋1－1x －a －1＝－1－1x －a －1，则f (x )的图象可由g (x )＝－1x 的图象中心(0,0)平移到(3，－
1)得到，所以a ＋1＝3，即a ＝2.
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
10．若函数f (x )＝log 2(4x －2)，则方程f －
1(x )＝x 的解是__________．
答案：x＝1
解析：由f－1(x)＝x，得x＝f(x)，∴x＝log2(4x－2)，即2x＝4x－2，∴2x＝2.∴x＝1.
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为y= f ‘（x）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。