高中数学反函数教案
人教版高中数学必修一教案 ：1.3反函数
反函数——课堂教学设计一、[教材依据]全日制普通高级中学教科书数学（人教版）第一册（上）第二章《函数》第四节“反函数”第一课时。
二、[教材分析][设计思路]1、体验教学的原则：重视学生的亲身体验与感悟，使学生具有对于知识生成、发展、形成及应用过程的体验和感悟。
本节课力求体现二期课改的思路，以学生发展为本。
整节课的概念、例题与练习都以学生讨论、探究、归纳为主，教师引导为辅。
使学生在形成概念、发展规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法，逐步增强学生的研习能力、批判思维能力、自学能力和交流合作能力，培养学生勇于探索的精神。
2、本节教材是在学生初步学习了函数及其性质后，再来接触的一个新概念-----“反函数”。
反函数是函数中的一个重要概念，对这个概念的研究是对函数概念和性质在认识上的深化和提高。
它是从研究两个函数关系的角度产生的函数的，反函数本身也是一个函数。
由于反函数的定义本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度，认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步概括出反函数的定义，进而明确求解反函数问题的步骤。
当然学生在具体求解指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时正负的选择问题及求原来函数的值域问题，教学中要预以足够的重视。
为了突破“反函数存在的条件”与“反函数与原函数的相互关系”这一难点，在本节教学中采用由课本上前面的例题（本章第一节“函数”部分给出的3个对应，并且是3个从A到B的函数）来加深对反函数定义的理解，这样便于把抽象的问题直观化。
反函数概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用，对将要学习研究的“指数函数”与“对数函数”等函数之间图象与性质的关系也起着重要作用。
三、[教学目标]1、知识与技能目标：（1）、理解反函数的概念 （2）、会求一些简单函数的反函数。
2、过程与方法目标：通过师生的共同讨论，弄清反函数的概念，探索与原函数的相互关系，会求一些简单函数的反函数。
高一数学反函数的概念
4.5反函数的概念一、教学内容分析“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.三、教学重点与难点：反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念引例：在两种温度度量制摄氏度(C)和华氏度（F）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号)(1x fy ；了解)(1x f表示反函数的符号，1f表示对应法则.2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.例1（1）2x y （R x ）的反函数是 （2）2x y （0 x ）的反函数是 （3）2x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：（1）24 x y （2）13x y （3）)0(12x x y（4）)21,(2413x R x x x y[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1y fx ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1x fy ；（3）写出定义域:注明反函数的定义域.③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y 有反函数)(1x fy ，则)(1x fy 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和)(1x fy 互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y 对称.③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法： （1）课本练习4.5 （2）补充练习：1、给出下列几个函数：①)21(12x x y ；②)2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ④)0()2( x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④2、若指数函数)(x f y 的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )（A ） xy )21( （B ）x y 2 （C ）xy 3 （Ｄ）x y 103、设)1(22)( x x x f ，则)(1x f（ D ）（A ）在（), 上是增函数 （B ）在（), 上是减函数 （C ）在),0[ 上是减函数 （Ｄ）在（]0, 上是增函数4、若函数)(x f 是函数 10222 x x y 的反函数，则)(x f 的图像为 （ B ）A B C D5、)21( 22x x x y 反函数是 （ B ）（A ）)11( 112 x x y （B ）)10( 112 x x y （C ）)11( 112 x x y（D ）)10( 112 x x y6、若)0( a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y 本身，求b a ,应满足的条件.解：由b ax y ，得b y ax .由0 a ，知ab y a x1. 所以函数b ax y 的反函数为a by a x1. 由于函数b ax y 的反函数aby a x 1就是函数b ax y 本身，即有xxxyyyya a 1，且b ab. 于是，解得1 a ，0 b 或1 a ，b 为任意实数.教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(11),0(x x y k x k y 等) 4、课堂小结①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置 练习册4.5 A 组 六、教学设计说明1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y 的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y 有反函数)(1x fy ，则)(1x fy 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和)(1x fy 互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y 对称，从而巩固对反函数概念的理解.。
人教版1、3 反函数-高中数学必修一教案
反函数教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系化了对概念的理解和掌握教学目的：.掌握反函数的概念和表示法，达到会求一个函数的反函数.使学生直观上了解互为反函数的函数图象间的关系.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：.反函数的定义及理解.反函数的求法教学难点：.反函数的定义及理解.求解反函数注意原函数与反函数的关系。
（特别是反函数的定义域）授课类型：新授课课时安排：课时一、问题引入：.画出2(0)y x x =≥的图像。
.思考y x =的图像。
猜想分析二者关系： 在2(0)y x x =≥，反解该式得2,0x y x x y =≥∴=，该函数图像和2(0)y x x =≥一样，当我们将,x y 互换后得到y x =，即图像关于y x =对称，我们得到y x =的图像，那么在该过程中你能发现些什么呢？二、讲解新课： 反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是，根据这个函数中的关系，用把表示出，得到ϕ(). 若对于在中的任何一个值，通过ϕ()，在中都有唯一的值和它对应，那么，ϕ()就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数ϕ() (∈)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y fx -=,习惯上改写成)(1x f y -=书上的两个例子：记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为v tt f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f .探讨：所有函数都有反函数吗？为什么？③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=，②由)(13R x x y ∈+=解得31-y ,∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由x 解得2)1(-y ,∵≥，∴≥. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是2)1(-y (≥);④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵ {∈≠}，∴∈{∈≠}∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例．求函数 211x y --=（-<<）的反函数先让学生出错再更正，加深学生印象注意：在求解反函数时原函数的定义域很重要，反函数的定义域只能通过原函数的值域来确定。
高中数学反向函数教案
高中数学反向函数教案
教学目标：
1. 了解反函数的概念及性质。
2. 掌握如何求反函数。
3. 能够应用反函数解决实际问题。
教学重点：
1. 反函数的定义和性质。
2. 求反函数的方法。
3. 反函数在实际问题中的应用。
教学难点：
1. 反函数的概念理解和运用。
2. 求反函数的方法灵活运用。
教学准备：
1. 教材《高中数学》相关章节内容。
2. 教具：黑板、彩色粉笔、课件。
3. 实例题目。
教学过程：
一、导入
1. 引入反函数的概念，通过简单例子引发学生对反函数的兴趣。
二、概念和性质
1. 定义：如果函数f的定义域为A，值域为B，则当f(x) = y时，如果存在一个函数g，使得g(y) = x，且g的定义域为B，值域为A，那么g叫做f的反函数。
2. 性质：反函数与原函数的自变量和因变量互换。
三、求反函数的方法
1. 一次函数的反函数求法。
2. 复合函数的反函数求法。
四、应用实例
1. 利用反函数解决实际问题。
五、练习
1. 针对不同难度的题目，让学生进行练习，巩固所学知识。
六、总结
1. 总结本节课所学内容，强调学生掌握反函数的重要性。
七、作业布置
1. 布置相关反函数练习题目，鼓励学生独立完成。
八、评价反馈
1. 根据学生的表现，及时进行评价和反馈，引导学生进一步加强巩固。
反函数的教案设计
反函数的教案设计一、教学目标1.了解反函数的概念、性质及其与原函数之间的关系。
2.能够掌握反函数的求法及其应用。
3.能够灵活运用反函数的相关知识，解决实际问题。
二、知识导入1.通过示例，介绍什么是函数的反函数。
2.通过一定的问题和分析，引导学生研究反函数的性质和应用。
三、教学过程1.理解反函数的概念基本概念：定义域上的函数 f 和值域上的函数 g，若对于所有x∈D（f）都有 f (x) =y，则对于所有y∈R,f 中恰好存在一个唯一的 x 满足 f (x) =y.则称 g(x)=y 为 f(x)=y 的反函数，记作 g=f^-1。
2.反函数的求法（1）对于 y=f (x)，如果 y=f(x)是严格单调递增函数，先把f(x)对y求导，然后解出dx/dy，最后再把dy换成dx即可。
（2）对于 y=f (x)，如果 y=f(x)是严格单调递减函数，先把f(x)对y求导，然后解出dx/dy，然后把dx取相反数即可得到反函数的导数。
3.反函数的性质（1）反函数与原函数的图像关于一条直线相互对称。
（2）反函数的导数等于原函数导数的倒数。
（3）反函数与原函数之间的对应关系是一一对应的。
4.反函数的应用（1）求解反函数使得它们可以互相转化；（2）使用反函数的定义特性进行不等式求解；（3）应用反函数解决函数复合问题；（4）使用反函数解决实际问题四、教学方法1.课堂讲解法2.启发式探究法3.案例教学法五、教学重点和难点1.教学重点反函数与原函数的关系，反函数的求法及应用。
2.教学难点反函数的理解及应用。
六、教学反思1.课时的安排比较紧张；2.应用案例多讲练习。
3.加强学生的实际应用能力。
4.帮助学生提高数学素养、掌握思维方法。
七、教学评估1.小测验2.课后作业3.学生参与度4.课程效果参考文献1.李瑞兰.数学分析(修订版) [M].北京: 中国科学技术大学出版社,2001.2.程志之.高等数学(第五版) [M].北京:科学出版社,2010.3.张慕智.数学分析 [M].上海: 华东师范大学出版社,2003.。
高中数学教案：函数的复合与反函数
高中数学教案：函数的复合与反函数一、引言在高中数学教学中，函数的复合与反函数是一个重要的概念，它们是理解和应用函数的关键。
函数的复合可以帮助我们将多个函数组合起来，进一步分析变量之间的关系；而反函数则可以帮助我们找到原函数的逆运算。
本教案旨在通过具体的教学活动，帮助学生深入理解函数的复合与反函数的概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。
二、核心内容1. 函数的复合概念函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在介绍函数的复合时，首先需要学生掌握函数的定义、自变量、因变量、定义域和值域等基本概念。
然后，通过具体的例子引导学生理解函数的复合运算的含义。
例子1：已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。
解析：首先，计算f(g(x))，即先将g(x)的输出作为f(x)的输入。
将g(x)=x^2代入f(x)=2x+1，得到f(g(x))=2(x^2)+1。
进一步简化，得到f(g(x))=2x^2+1。
接下来，计算g(f(x))，即先将f(x)的输出作为g(x)的输入。
将f(x)=2x+1代入g(x)=x^2，得到g(f(x))=(2x+1)^2。
通过展开和化简，得到g(f(x))=4x^2+4x+1。
2. 函数的复合性质了解函数的复合性质对于学生理解和应用函数的复合是至关重要的。
本部分将介绍函数的复合满足结合律、非交换性和单位元素的概念。
结合律：对于任意三个函数f(x)、g(x)和h(x)，有(f∘g)∘h=f∘(g∘h)。
这意味着函数的复合运算满足结合律，即复合函数的运算顺序不影响最终的结果。
例子2：已知函数f(x)=2x，g(x)=x+1，h(x)=3x-1，验证(f∘g)∘h=f∘(g∘h)。
解析：首先，计算(f∘g)∘h。
首先计算g∘h，将h(x)=3x-1代入g(x)=x+1，得到g∘h=3x。
然后计算(f∘g)∘h，将g∘h=3x代入f(x)=2x，得到(f∘g)∘h=6x。
数学高中反比例函数教案
数学高中反比例函数教案
教学目标：
1. 了解反比例函数的定义和性质；
2. 掌握反比例函数的图像特征和基本解析式；
3. 能够解决实际问题中的反比例关系。
教学重点：
1. 反比例函数的性质和图像特征；
2. 反比例函数的解析式的确定。
教学难点：
1. 在实际问题中建立反比例函数模型；
2. 理解反比例函数的性质。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪、计算器；
3. 学生：已掌握直线函数知识的高中学生。
教学过程：
一、导入
教师引导学生回顾直线函数的知识，了解直线函数的性质和特征。
二、概念讲解
1. 反比例函数的定义；
2. 反比例函数的图像特征。
三、例题讲解
教师通过几个典型例题，讲解如何确定反比例函数的解析式，并绘制函数图像。
四、实践应用
教师设计一些实际问题，让学生根据问题建立反比例函数模型，并求解。
五、课堂练习
学生在课堂上完成相关练习题，巩固所学知识。
六、总结
教师对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
七、作业布置
布置相关作业，要求学生完成课后练习题，并写出感想。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握反比例函数的基本概念和应用方法，能够熟练解决相关问题。
同时，教师应该根据学生的学习情况，及时调整教学方法，确保学生的学习效果。
人教版高中数学必修第一册反函数2
一．课题：反函数（2）二．教学目标：1．使学生了解互为反函数的函数图象间的关系；2．运用互为反函数的函数图象间的关系解决函数的有关问题；3．.通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索、猜想、论证的思维习惯。
三．教学重点：互为反函数的函数图象间的关系。
四．教学过程：（一）复习：（提问）1．反函数的定义；2．反函数的求法。
练习：已知函数65()(,1x f x x R x +=∈-且1)x ≠有反函数1()y f x -=，求1(7)f -的值。
（二）新课讲解：研究函数除从函数的三要素去研究外，还经常研究函数的图象。
如果函数()y f x =（x A ∈）的反函数是1()y f x -=，那么在直角坐标系xOy 中，它们的图象有什么关系？例1．（1）求函数32()y x x R =-∈的反函数，并且画出原函数与它的反函数的图象。
解：从32,y x =-解得23y x +=，因此函数32()y x x R =-∈的反函数是2()3x y x R +=∈． 函数32()y x x R =-∈和它的反函数2()3x y x R +=∈的图象如图所示（图略）。
（2）求函数3()y x x R =∈的反函数，并且画出原函数与它的反函数的图象。
解：从函数3()y x x R =∈，解得x ．因此3()y x x R =∈的反函数是)y x R =∈3()y x x R =∈和它的反函数)y x R ∈的图象如图所示（图略）。
由这两组图象，我们可以观察出互为相反数的两个函数的图象关于直线y x =对称。
说明：（1）如果(,)a b 是()y f x =上的点，那么(,)b a 是1()y f x -=上的点，而(,)a b 与(,)b a 是关于直线y x =对称的，所以互为相反数的两个函数的图象关于直线y x =对称的；（2）1()()b f a a fb -=⇔=，从而，有11(()),(())f f a a f f b b --==。
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高中数学反函数教案
1.使学生了解反函数的概念；
2.使学生会求一些简单函数的反函数；
3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
1.反函数的概念；
2.反函数的求法。
反函数的概念。
教学方法
师生共同讨论
幻灯片2张
第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。
（记作A）；
第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。
（I）讲授新课
（检查预习情况）
师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？
生：（略）
（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：
（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；
（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？
生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。
（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。
）
在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。
）
由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？
生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
师：从反函数的概念可知：函数y= f (x)与y= f –1(x)互为反函数。
从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：
（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；
（2）将x= f –1(y)改写成y= f –1(x)，即对调x= f –1(y)中的x、y。
（3）指出反函数的定义域。
下面请同学自看例1
（II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。
（III）课时小结
本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。
（IV）课后作业
一、课本P69习题2.4 1、2。
二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。
板书设计
课题：求反函数的方法步骤：
定义：（幻灯片）
注意：小结
一一映射确定的
函数才有反函数
函数与它的反函
数定义域、值域的关系。
内容仅供参考。