高中数学-学生-反函数
反函数-高中数学知识点讲解
反函数
1．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x
＝g（y）．若对于y 在中的任何一个值，通过x＝g（y），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表
示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记
作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x 和y 互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x 对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线
截时能过 2 个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
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高中数学—16—对数反函数—学生版
一、对数1、对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .易得:log a N a N =——对数恒等式，自然对数：以e 为底的对数成为自然对然，记作ln,常用对数：以10为底的对数，记作lg 。
实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式． 2、指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。
3、对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④log m na M =nmlog a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ⑤换底公式：log b N =bNa a log log （0<a ≠1，0<b ≠1，N ＞0）.二、反函数1、反函数定义一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=()1fy -。
在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈2、关于反函数的结论（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与()1y f x -=图像关于直线y=x 对称；若点M （a ，b ）在y=f(x)的图像上，则点'M (b,a)必在()1y fx -=图像上；（3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,{}0x ∈除外，其中c 为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如1y x=； 对数、反函数知识梳理（5）y=f(x)与()1y fx -=互为反函数，设f(x)定义域为D ，值域为A ，则有f[()1fx -]=x ()x A ∈,()()1f f x x x D -=∈⎡⎤⎣⎦;（6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ()1y f x -=,()1x f y -=与函数y=f(x)的比较；（9）y=f(x)与()1y fx -=图像若有公共点，并非一定在y=x 上，例如：f(x)=116x⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1116log f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x 对称3、求反函数的步骤（1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)；（2）反解：由y=(x)解出()1x f y -=；（3）改写：在()1x fy -=中，将x,y 互换得到()1y f x -=；（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。
人教版高中数学《反函数》课件26页PPT
课堂结构设计 问题 性质 概念
教学媒体设计
互逆探索 动画演示 表格对照
教学过程设计
创设情境，引入新课 实例分析，组织探究 师生互动，归纳定义 应用解题，总结步骤 巩固强化，评价反馈 反思小结，再度设疑
复习函数的定义
设A、B是非空的数集, 如果按某个确定的对应 关系f,使对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为集
例3 （1）y=x2(x∈R)有没有反函数? 没有
（2）y=x2(x≥0)的反函数是__y____x_(_x0)
× （3）y=x2(x<0)的反函数是_y_____x_(_x__ 0)
y x(x0)
教学评价设计
1、已知函数y=f(x)存在反函数,求它的反函数
(1)y2x3
(2) y 2 x
(3)y x (xR,x5)
y3 x1(xR)
例2 求函数 y x1(x0)的反函数
解: ∵x≥ 0 ∴ y≥1
由 y x1, 解得 x(y1)2
∴函数 y x1(x0)的反函数是
y(x1)2(x1)
求函数反函数的步骤:
1 由y=f(x)反解出x = f 1(y)。 2 把 x = f 1(y)中 x与y互换得y = f 1(x). 3 写出反函数y = f 1(x)的定义域.
叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.
记作: x= f 1(y)
考虑到“用 x表示自变量, y表示 函数”的习惯，将 x = f 1(y)中的x与y 对调写成 y = f 1(x).
具体： y2xxyyx 22
原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是 等价的。 原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是 等价的。
高中数学解题技巧之函数反函数求解
高中数学解题技巧之函数反函数求解在高中数学中，函数反函数是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
理解和掌握函数反函数的求解方法，对于解题和理解数学概念具有重要意义。
本文将介绍函数反函数的求解技巧，并通过具体的例题进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。
函数反函数的求解是指在已知一个函数的情况下，找到它的反函数。
反函数是指将原函数的自变量和因变量互换位置后得到的新函数。
要求一个函数有反函数，首先需要保证原函数是一一对应的，即每个自变量对应唯一的因变量。
接下来，我们将介绍函数反函数的求解方法。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个函数 f(x) = 2x + 3，我们需要求解它的反函数。
我们可以按照以下步骤进行求解：1. 将 f(x) = 2x + 3 中的 x 和 f(x) 互换位置，得到 x = 2f(x) + 3。
2. 解方程 x = 2f(x) + 3，将 f(x) 表示为 x 的函数。
3. 将方程 x = 2f(x) + 3 移项得到 2f(x) = x - 3。
4. 将方程 2f(x) = x - 3 中的 x 和 f(x) 互换位置，得到 f(x) = (x - 3) / 2。
通过以上步骤，我们成功地求解出了函数 f(x) = 2x + 3 的反函数 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。
这个例子展示了函数反函数求解的基本步骤。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一个函数 g(x) = e^(2x + 1)，我们需要求解它的反函数。
对于指数函数的反函数求解，我们可以按照以下步骤进行：1. 将 g(x) = e^(2x + 1) 中的 x 和 g(x) 互换位置，得到 x = e^(2g(x) + 1)。
2. 将方程 x = e^(2g(x) + 1) 取对数，得到 ln(x) = 2g(x) + 1。
3. 将方程 ln(x) = 2g(x) + 1 中的 g(x) 表示为 x 的函数。
高中阶段的反函数
高中阶段的反函数
反函数是高中数学中一个重要的概念。
在数学中，如果一个函数的输入和输出可以通过某种规则互相转化，那么这个函数就有一个相应的反函数。
反函数用来描述一个函数的逆运算，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质和特点。
在高中数学中，反函数是一个重要的概念，它涉及到函数的对称性、单调性、极值和零点等方面的问题。
反函数的求法可以通过交换自变量和因变量，或者利用反函数的定义式来得到。
反函数的性质和特点都可以通过具体的例子来进行说明。
例如，对于函数y = 2x + 1，它的反函数为x = (y - 1) / 2。
通过这个例子，我们可以看到反函数的输入和输出互换的特点，即原函数的自变量变成了反函数的因变量，原函数的因变量变成了反函数的自变量。
在高中数学中，反函数还涉及到复合函数的概念。
如果两个函数互为反函数，那么它们的复合函数就等于自己，即f(g(x)) = g(f(x)) = x。
这个性质可以帮助我们更好地理解反函数的逆运算和复合函数的概念。
总之，反函数是高中数学中一个重要的概念，它涉及到函数的对称性、单调性、极值和零点等方面的问题。
我们需要认真学习和掌握反函数的定义、求法和性质，以便更好地理解和应用函数的相关知识。
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反函数基本公式大全
反函数基本公式大全反函数基本公式大全：一、反三角函数公式:1、arcsin(-x)=-arcsinx2、arccos(-x)=π-arccosx3、arctan(-x)=-arctanx4、arccot(-x)=π-arccotx5、arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx6、sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)7、当x∈〔—π/2,π/2〕时,有arcsin(sinx)=x8、当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x9、x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x10、x∈(0,π),arccot(cotx)=x11、x〉0,arctanx=arctan1/x,12、若(arctanx+arctany)∈(—π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)二、高中数学反函数：1、反正弦函数：正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
2、反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]3、反正切函数：正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。
定义域R，值域(-π/2，π/2)。
4、反余切函数：余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。
定义域R，值域(0，π)。
高考反函数问题常见类型解析
高考反函数问题常见类型解析反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。
在历年高考中占有一定的比例。
为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。
一. 条件存在型例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C. (][)a ∈-∞+∞，，12D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。
而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。
故选（C ）点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。
特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。
二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤2310()的反函数是（ ）A. y x x =+≥-()()113B. y x x =-+≥-()()113C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103解析：由x ≤0可得x 230≥，故y ≥-1，从y x =-231解得x y =±+()13因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113故选（B ）。
点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。
三.求定义域值域型 例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。
高一反函数知识点
高一反函数知识点随着数学课程的深入学习，高中一年级的学生将接触到更多的数学概念和知识点。
在这篇文章中，我将为大家介绍高一学生将学习的一个重要内容，那就是反函数（Inverse Function）。
一、反函数的定义及性质反函数指的是由一个函数得到的新函数，其输入和输出之间的关系与原函数相反。
如果一个函数f的定义域与值域分别为A和B，那么对于B中的每一个元素b，存在一个唯一的元素a，使得f(a) = b。
这时候我们将这个新函数称为f的反函数，记作f^-1。
一个函数与其反函数之间存在以下几个性质：1. 函数f与其反函数f^-1互为关联：f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。
即使用一个函数后再使用其反函数，或者先使用反函数再使用原函数，最终结果都会回到原来的输入。
2. 函数与其反函数的图像关于直线y = x对称：如果一个点(x, y)在函数f的图像上，那么点(y, x)则会在反函数f^-1的图像上。
3. 函数的定义域和值域互换：如果f的定义域为A，值域为B，那么f^-1的定义域就是B，值域就是A。
二、求反函数的方法在学习反函数时，我们面临的主要问题就是如何求得一个函数的反函数。
下面是几种常见的求反函数的方法：1. 代数法对于一些简单的函数，我们可以使用代数法求取其反函数。
具体的步骤是：- 将函数表示为y = f(x)的形式；- 将原方程中的y替换为x，将x替换为y，并且解出y；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。
2. 图像法对于一些能够绘制出函数图像的函数，我们可以使用图像法求取其反函数。
具体的步骤是：- 绘制出函数f的图像；- 将图像关于直线y = x进行对称；- 根据对称后的图像，确定反函数的图像。
3. 复合函数法对于一些较为复杂的函数，我们可以使用复合函数法求取其反函数。
具体的步骤是：- 假设函数f的反函数为f^-1(x)，即y = f^-1(x)；- 将f(y)替换为x，并解出关于y的方程；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。
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【能力提高】
1.抽象符号 的理解和应用
（1）符号 表示函数f(x)的反函数； 不是表示函数 的反函数，而是表示在 中以 代替x所得到的函数
（2）函数y=f(x)与函数 的图像关于y=x对称；函数 与函数x=f(y)的图像关于y=x不对称，而是相同图像；函数y=f(x)与x=f(y)的图像不同，而是关于直线y=x对称
（1）若y=f(x)为单调递增函数，则y=f(x)与其反函数图像的交点必在直线y=x上
（2）若y=f(x)是单调递减函数，则y=f(x)与其反函数图像的交点可能不都在y=x上
例12在 五个点中，函数 的图像与其反函数
的图像的公共点可能是（多选题）（）
A P B Q C M D N E G
例13已知函数 ，其反函数为
例10已知函数 ，函数y=g(x)的图像与函数 的图像关于直线y=x对称，求g(5)的值
例11已知函数y=g(x)的图像过点（4，5），且在R上单调递增；若函数 存在反函数，求实数 的取值范围
2.函数与反函数图像的交点问题
函数y=f(x)的图像若与直线y=x相交，则其反函数的图像也必须与直线y=x交于此点；但函数y=f(x)与其反函数 的图像的交点未必都在直线y=x上
1.反函数的概念
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A.如果对于A中任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x)成立，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记为 .习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为
【注】（1）反函数存在性问题：不是所有的函数都存在反函数：一个函数存在反函数的充要条件是确定这个函数的对应是从定义域到值域上的一一对应
A 4 B 3 C 2 D 1
9.求下列函数的反函数：
（1） （2）
10.已知函数f(x)为一次函数，且 ，求f(x)的解析式
11.（选）函数y=f(x)， 图像与直线y=-x+m分别交于 ,求
12.（选）已知 ，g(x)是f(x)的反函数，
（1）求函数h(x)的解析式（2）h(x)的最小值
【精解名题】
【自我测试】
1.函数 的反函数是________
2.函数 的反函数的定义域为________
3.若函数 的反函数为单调递增函数，则a的取值范围是______
4.要使函数 在[1，2]上存在反函数，则a的取值范围是_______
5.设函数f(x)的反函数为 ，且y=f(2x-1)的图像过点 ，则 的图像必过点_________
其中正确的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4
6. 若f(x)是减函数，且f(x)的反函数图像经过点A（3，0）和B（-1，3），解不等式
7.设函数 ，f(x)的图像与其反函数的图像重合
（1）求f(x)的解析式
（2）关于x的方程 是否存在负实数解？并说明理由
8.若函数 与其反函数有公共点，求实数a的取值范围
初中/高中数学备课组
教师
班级
学生
日期
上课时间
学生情况：
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--------
主课题：反函数
教学目标：1.通过实际问题导出反函数的概念
2.会求简单有理函数（如一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的反函数）
3．掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学重点：
1.理解反函数的概念，掌握原函数的定义域、值域与其反函数定义域、值域的关系
3.函数 的图像经过点（0，1），而它的反函数是 ，若函数 的图像经过（3，1），则函数f(x)是（）
A增函数B减函数C奇函数D偶函数
4.已知 是 上的增函数，那么a的取值范围是（）
A B C D
5.如图，定义在R上的函数y=f(x+1)是减函数，给出四个结论
（1）f(0)=1；（2） ；（3） ；（4）
③ 求域：指出或求出反函数的定义域
2. 反函数的性质
（1）原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域
（2）函数y=f(x)的图像与它的反函数 的图像关于直线y=x对称
【注】①原函数y=f(x)过点 ，则其反函数 过点 ，即
② 设函数 存在反函数，则
③ 函数y=f(x)和函数 的图像是同一图像；函数y=f(x)和函数x=f(y)的图像关于直线y=x对称
1. 反函数的概念问题
例1 判断下列命题是否正确，若不正确，请举一反例说明：
（1）函数y=f(x)的定义域为M，值域为N，则函数 的反函数是
（2）若函数f(x)有反函数，则f(x)一定为单调函数
（3）奇函数一定有反函数，偶函数一定没有反函数
（4）分段函数一定没有反函数
2.求反函数问题
例2求下列函数的反函数
6.已知函数y=f(2x-1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x-y=0对称，若 ，则 =________
7.定义在实数集上的函数y=f(-x)的反函数是 ，则（）
A y=f(x)是奇函数B y=f(x)是偶函数
C y=f(x)既是奇函数，也是偶函数D y=f(x)既不是奇函数，也不是偶函数
（1） （2）
（3） （4）
例3已知函数 和 是互为反函数，求m,n的值
3.反函数的求值问题
例4已知函数 在定义域 上存在反函数，且 ，求
例5函数 的反函数的图像经过点（4，2），求 的值
4.反函数的应用问题
例6求函数 的值域
例7已知 的反函数是 ，求证：对任意正实数 ，都有
5.反函数的图像问题
例8已知函数 的图像过点（1，2），它的反函数图像也过此点，求函数 的解析式
（2）判断 的单调性
（3）若不等式 对区间 恒成立，求实数 的取值范围
4反函数为其本身的函数称为自反函数，自反函数f(x)具有以下性质：f(x)定义域和值域相等；f(x)的图像关于直线y=x对称
【热身练习】
1.函数 的反函数是____________
2.函数 的反函数是__________
3.已知 是函数 的反函数，则 的值为_______
4.函数 （ ），它的反函数图像一定不经过第______象限
8.函数y=f(x)有反函数，则下列关于方程f(x)பைடு நூலகம்a(a为常数)的根的叙述中正确的是（）
A有且仅有一个实根B至少有一个实根C至多有一个实根D没有实根
9. 求 的反函数
10.已知函数 ，其反函数为 .若点 在反函数 的图像上（1）求a的值（2）在同一坐标系中画出f(x)和 的图像
11.已知 ，
（1）求f(x)的反函数及其定义域
2. 掌握求原函数反函数的一般方法
3. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
4.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学难点：
1. 掌握求原函数反函数的一般方法
2. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
3.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
【知识精要】
（1）若点 在反函数 的图像上，求 的值
（2）如果点 是函数 与其反函数 图像上的公共点，求 的取值范围
【巩固练习】
1.已知函数f(x)的反函数 ，则方程f(x-1)=0的根为（）
A B 0 C 2 D 3
2.函数y=f(x)的反函数是y=g(x)，则函数y=f(-x)+2的反函数是（）
A B C D
1单调函数必有反函数（但存在反函数的函数不一定是单调函数），且函数与其反函数在各自的对应区间上的单调性一致
2奇函数不一定存在反函数，但奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数
3偶函数也可能有反函数，如：f(x)=0，
（2）求反函数的基本步骤
①反求：通过解方程y=f(x)，得 ，即把x用y表示出来
②交换：交换x, y的位置，即把 改写成
5.已知函数 的图像过定点（0,1），则函数f(4-x)的反函数图像必经过定点________
6.已知函数 的反函数 的图像有对称中心（-1,3），则 =______
7.设函数 ，则函数 的图像是（B）
A B
C D
8.函数y=f(x)的反函数 的图像与y轴交于点P（0,2），则方程f(x)=0在[1,4]上的根等于（）