反函数的导数复合函数的求导法则

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则
一、反函数的导数
设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、
可导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间}
,)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单
调、可导的，而且
)(1
)(y x f ϕ'=
'
(1)
证明：∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆
由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知
0)()(≠-∆+=∆x f x x f y
于是
y x
x y ∆∆=∆∆1
因直接函数)(y x ϕ=在
I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数
)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y
)
(11lim lim
00y y x x y y x ϕ'=
∆∆=∆∆→∆→∆ 即：
)(1)(y x f ϕ'=
'
【例1】试证明下列基本导数公式
().(arcsin )().()().(log )ln 11
121
131
22x x arctgx x a x a x '=
-'=
+'=
证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数
函数 y x sin =在
)
2,2(π
π-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0
因此，在 )1,1(-=x I 上， 有
y x cos 1
)arcsin (=
'
注意到，当)2,2(π
π-∈y 时，0cos >y ，2
21sin 1cos x y y -=-=
因此，
211)arcsin (x x -=
'
证2 设x tgy =
，)2,2(π
π-=y I
则y
arctgx =，I x =-∞+∞(,)
tgy x = 在 I y 上单调、可导且
0cos 1
2>=
'y x
故
22211
11cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='=
'
证3
a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=
='=
'
类似地，我们可以证明下列导数公式：
(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=-
-'=-
+'=
1
11
11
22
二、复合函数的求导法则
如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00x u ϕ=可导，则复合函数
])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为
)()(000x u f dx dy
x x ϕ'⋅'==
证明：因)
(lim
00u f x y
u '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有
)0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y
用0≠∆x 去除上式两边得：
x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0
由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：
00→∆⇔→∆u x ， 0
lim lim 0
==→∆→∆ααu x
]
)([lim lim
000x u
x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆α
x u
x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim
lim lim )(α
)()(00x u f ϕ'⋅'=
即
)()(000
x u f dx dy
x x ϕ'⋅'==
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述： 若u x =ϕ()在开区间I x 可导，y
f u =()在开区间I u 可导，且∀∈x I x 时，对
应的 u I u ∈，则复合函数])([x f y ϕ=在I x 内可导，且
dx du du dy dx dy ⋅
= (2)
复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：
弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。

【例2】}])([{x f y φϕ=
，求 dy
dx
引入中间变量， 设 v
x =φ()，u v =ϕ()，于是 y f u =()
变量关系是 y u v x ---，由锁链规则有：
dy dx dy du du dv dv dx =⋅⋅
(2)、用锁链规则求导的关键
引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。

还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。

【例3】求y x =sin 2的导数dy
dx 。

解：设 u x =2，则y
u =sin ，u x =2，由锁链规则有：
dy dx dy du du dx u x u x =⋅='⋅'=⋅=(sin )()(cos )cos 2222 【例4】 设
y tg
x =ln 2，求dy
dx 。

由锁链规则有 dx dv dv du du dy dx dy ⋅
⋅=
21cos 112⋅⋅=
v u
(基本初等函数求导)
21
2cos 1
212
⋅
⋅
=
x x tg ( 消中间变量)
x sin 1=
由上例，不难发现复合函数求导窍门
中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。

然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。

请看下面的演示过程： )2(2cos 1
2
1)2(21)2ln (2
'⋅⋅
=
'⋅='=x
x x tg x tg x tg x tg dx dy x x
x tg x x x tg sin 122cos 2
1)(212cos 1212
2=⋅⋅=
'⋅⋅⋅= 【例5】证明幂函数的导数公式 1)(-⋅='μμμx x ，(μ为实数)。

证明：设y x e x
==⋅μμln
1
ln ln 1
)ln (-⋅=⋅⋅='⋅='μμμμμμx x e x e y x x。