2.5.1简单的复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则
f ( x)
f (u ) ( x )
对 ( x )求导
注意：不要写成 f ( x )！
复合函数的导数
新授课
2 2 y u , u 3 x 2 f ( x ) ( 3 x 2 ) u , ux , f ( x ) 若 ， ，求 y
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y u f ( u ) ，则复合 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y x yu u x
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )
(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
导数复合函数求导法则(非常实用)
导数复合函数求导法则(非常实用)一、导数复合函数求导法则(非常实用)在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的函数，其中有一种特殊的函数叫做复合函数。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数，它们之间的关系是“和”的关系。
那么，如何求解复合函数的导数呢？这里我们就来探讨一下导数复合函数求导法则。
我们需要了解什么是导数。
导数是一个函数在某一点处的变化率，也就是说，它表示了函数在这个点的切线斜率。
而求导数的目的，就是为了更好地理解函数在不同点上的变化规律，从而更好地解决实际问题。
那么，如何求解复合函数的导数呢？这里我们可以借鉴一下初等函数的求导方法。
对于一个简单的初等函数f(x),它的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = (f(x) f(a)) / (x a)其中，a是一个常数，表示我们要求导的点。
这个公式的意义是：在点a处，函数f(x)的导数等于它在点a两侧的平均变化率。
现在，我们来看一个例子。
假设我们有一个复合函数g(u)(u为参数),它的定义域是[0, 1],值域是[0, 1]。
我们要求的是g(u)在u=0.5时的导数。
根据导数复合函数求导法则，我们可以得到：g'(0.5) = [g(0.5) g(0)] / (0.5 0) = (g(0.5) g(0)) / 0.5这个公式的意义是：在u=0.5处，函数g(u)的导数等于它在u=0和u=0.5两侧的平均变化率。
二、复合函数求导法则的实际应用了解了导数复合函数求导法则之后，我们可以将其应用到实际问题的解决中。
下面我们通过一个例子来说明这一点。
假设我们要设计一个程序，计算一个二次多项式在给定点处的值。
这个二次多项式的定义域是[-1, 1],值域是[-1, 1]。
我们可以将这个二次多项式表示为：h(x) = a * x^2 + b * x + c其中，a、b、c是常数，且满足以下条件：1. a > 0 且 a < 1;2. b > 0 且 b < 1;3. c > -1 且 c < 1;4. |a| + |b| + |c| <= 1;5. a * b * c != 0。
简单复合函数求导法则
简单复合函数求导法则根据链式法则，如果y是一个由u=g(x)和v=f(u)组成的复合函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du 是函数f对u的导数，du/dx 是函数g对x的导数。
下面我们将介绍一些常见的简单复合函数求导法则。
一、常数倍数法则如果 f(x) 是一个可导函数，而 c 是一个常数，则 cf(x) 的导数是c * f'(x)。
根据这个法则，我们可以推导出以下常见的函数求导法则。
二、和差法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和f(x)+g(x)的导数是f'(x)+g'(x)差f(x)-g(x)的导数是f'(x)-g'(x)。
三、乘积法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积f(x)g(x)的导数是f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
四、商法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，则它们的商f(x)/g(x)的导数是[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。
如果f(u)是一个可导函数，而u=g(x)是一个可导的函数，则复合函数y=f(g(x))的导数是dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)。
这个法则是链式法则的核心，也是复合函数求导的关键。
对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正实数，则它的导数是f'(x) = (ln a) * a^x。
对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，则它的导数是 f'(x) = 1 / (x * ln a)。
这是一些常见的简单复合函数求导法则。
在实际应用中，我们经常会遇到更复杂的函数，需要根据特定函数的性质和结构来应用合适的求导法则。
掌握这些法则可以帮助我们更准确地计算各种复合函数的导数，并应用于相关问题的求解中。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复合函数求导方法
复合函数求导方法在微积分中，复合函数是一种十分常见的函数形式，它由两个或多个函数组合而成。
对于复合函数的求导，我们需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍复合函数求导的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下基本的导数求法。
对于一个函数y=f(x)，它的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这是导数的定义式，也是我们求导的基本方法。
而对于复合函数，我们需要使用链式法则来进行求导。
链式法则的表述如下，若函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))可导，并且有。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]这就是链式法则的数学表达形式。
简单来说，就是先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
下面我们通过实例来具体说明复合函数求导的方法。
假设我们要求函数y=(x^2+1)^3的导数。
首先，我们可以将这个函数看作外层函数f(u)=u^3，内层函数u=g(x)=x^2+1。
按照链式法则，我们先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
首先，对外层函数f(u)=u^3求导，得到f'(u)=3u^2。
然后，对内层函数u=g(x)=x^2+1求导，得到g'(x)=2x。
最后，将两者相乘，得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为：\[ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2 \]这就是复合函数求导的具体步骤和结果。
通过这个例子，我们可以看到，复合函数求导并不难，只需要按照链式法则的步骤进行，便可以得到结果。
除了链式法则，我们在求导复合函数时还可以使用其他方法，比如对数导数法则、指数导数法则等。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
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一 般 地 ， 设 函 数 u = ϕ ( x )在 点 x处 有 导 数 u
' = ϕ '( x ),
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量f(u) 的导数,乘以中间变量 u = ϕ ( x ) 对自变量的导数.
注意： 1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
y = log a x ( a > 0, a ≠ 1)
y = ln x
y = sin x
Title
y ′ = cos x
y′ = − sin x
y′ = 1 cos 2 x
1 sin 2 x
20:30:35
y = cos x
y = tan x
y = cot x
y′ = −
2.导数的四则运算法则： 设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
20:30:35
练习1 练习
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y = sin 2 x； (2) y = 3x + x + 1； (3) y = cos(sin x)；
2
y = sin u ,
y = u,
y = cos u ,
u = 2x
u = 3x 2 + x + 1
u = sin x
(4) y = (a + bx n ) m； 1 (5) y = sin(1 − ). x
y' =
x cos x − x sin x 2x
cos x sin 2 x
y' = −
y ' = 3x 2 −
3 x x cos x − sin x + 3 2x x 2 20:30:35
二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对 于 函 数 y = f (ϕ ( x )), 令 u = ϕ ( x ), 若 y = f ( u ) 是 中 间 变 量 u的 函 数 ， u = ϕ ( x ) 是 自 变 量 x的 函 数 ， 则 称 y = f (ϕ ( x )) 是 自 变 量 x 的 复 合 函 数 .
1)
2)
(u ( x ) ± v ( x )) ' = u '( x ) ± v '( x )
(u ( x) ⋅ v ( x)) ' = u '( x)v( x) + u ( x )v '( x)
推论：[c f(x)]’ = c f’(x)
3) ′ u ( x) u '( x)v( x) − u ( x)v '( x) = 2 v ( x) v( x)
yห้องสมุดไป่ตู้u ,
m
u = a + bx .
n
y = sin u ,
1 u = 1− x
20:30:35
① y x = y =[(3x− 2) ]' = (9x −12x + 4) =18x −12
'
'
2
问题： 如何求 y = (3 x − 2 ) 2 的导数？
2 '
y ② 其实， = (3x −2) 是一个复合函数，
2
由 y=u
2
与 u = 3 x − 2 复合而成.
′ yu =
2u
=
6 x − 4 ; u′x =
′ x y = y = yu ⋅ u ′
' ' x
3 ;
' x
′ x 分析三个函数解析式以及导数 y u , u ′ , y
之间的关系:
20:30:35
2.复合函数的导数:
x 函 数 y = f ( u ) 在 点 x 对 应 u 处 有 导 数 y ' = f '( u ), 则 复 合 u 函 数 y = f (ϕ ( x )) 在 点 x 处 也 有 导 数 ， 且 y ' = y '⋅ u ' ， x u x 或 写 作 [ f (ϕ ( x )) ] x ' = f '( u )ϕ '( x ).
简单复合函数的 求导法则
紫阳中学 张茂毅
20:30:35
知识回顾
1、导数公式表
函数 导函数
y = c(c是常数）
y = xα (α为实数）
y = a x (a > 0, a ≠ 1)
y′ = 0
y ′ = α x α −1
y′ = a x ln a
y=e
x
y′ = e x
y′ = 1 x ln a 1 y′ = x
20:30:35
求下列函数的导数.
(1) y = (2 x − 1) ；
5
( 2 ) y = ln (5 x + 1) ；
1 (3 ) y = ； 3x −1
( 4 ) y = co s(1 − 2 x )；
(5) y =
5
x ； 1− x
练习：P51，练习。
20:30:35
20:30:35
20:30:35
课前练习：
1 1 1. y = x( x + + 2 ), 求y '； x x x x 2. y = x − sin cos , 求y '； 2 2
2
1 y ' = 2x + 2 x
2
1 y ' = 1 − cos x 2
3. y = x cos( − x), 求y '；
1 4. y = , 求 y '； sin x 5 x + x + x sin x 5. y = , 求 y '. 2 x