导数复合函数求导法则(非常实用)
复合函数的导数及导数的运算法则
练习、已知函数f x 在R上满足f x=2 f 2 x x2 8x 8,
则曲线y=f x 在点1，f 1 处的切线方程为 A
A.y=2x-1
B . y=x
C .y=3x-2
D.y=-2x+3
课堂小结
复合函数的导数
一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处 有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在
6.若f(x) = e x，则f ' (x) = e x
7.若f(x) =
loga x，则f ' (x) =
1 xlna
8.若f(x) = lnx，则f ' (x) = 1 x
复 习:
二,导数的运算法则:
法则1: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2: f (x)• g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
复 习:
一,基本初等函数的导数公式
1.若f(x) = c，则f ' (x) = 0
2.若f(x) = xn，则f ' (x) = nxn-1 (n R)
3.若f(x) = sinx，则f ' (x) = cosx
4.若f(x) = cosx，则f ' (x) = -sinx
5.若f(x) = a x，则f ' (x) = a x lna
新课讲解
例 1 求下列函数的导数．
（1）y (2x 3)2
（2）y e0.05 x1
（3）y sin( x ) (其中，均为常数)
注：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函 数的复合关系，选好中间变量，在熟练以后， 就不必再写中间步骤。
复合函数的求导法则推导过程
复合函数的求导法则推导过程1.常数规则：如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
2. 变量规则：如果f(x) = x^n是一个幂函数，那么它的导数可以通过幂函数的微分公式计算得到，即f'(x) = nx^(n-1)。
3.和差规则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的和与差的导数可以通过和差的基本性质得到，即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
4. 乘积规则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的乘积的导数可以通过乘积法则得到，即(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
在掌握了基本的导数规则后，我们开始推导复合函数的求导法则。
设有两个函数f(x)和g(x)，并且它们都是可导的。
我们定义一个新的函数h(x)=f(g(x))，即将g(x)作为输入，代入f(x)中得到输出。
我们希望求解h(x)的导数h'(x)。
为了推导复合函数的求导法则，我们采用数学归纳法的思想，从简单的情况开始考虑，逐步推导更一般的情况。
首先考虑最简单的情况，即g(x)=x。
我们将x作为输入代入f(x)中得到f(x)的导数f'(x)，同时，由于g(x)=x，所以g'(x)=1、根据乘积规则，可以得到h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f'(x)。
接下来，考虑g(x) = a（a为常数）。
由于g(x)是常数，所以g'(x) = 0。
根据乘积规则，可以得到h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) =f'(x)a = af'(x)。
考虑一般情况，即g(x)不再是一个常数。
我们假设g(x)的导数g'(x)存在，并且f(x)的导数f'(x)也存在。
2_1_3 复合函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
th x sh x ch x
a x ex ln a
Page 4
例2. 设 y ln cos(ex ) , 求 dy . dx
解:
dy dx
1 cos(ex
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若 f (u) 存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
u0 u
y f (u)u u （当 u 0 时 0 )
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f (u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
f
(u) u x
பைடு நூலகம்
u x
f
(u ) g ( x)
Page 2
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f (u) , u (v) , v (x)
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
Page 5
例3. 设 y cot x tan 2 , 求 y.
2
x
解： y csc2 x 1 1 sec2 2 2( 1 1 )
2 22 x
x
2 x3
1 csc2 x 1 sec2 2
4x
2
x3
x
2 . 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
Page 6
§2.1.3 复合函数的求导法则
3复合函数的求导法则,反函数的求导法则
例5
y
1
x
3
,
求 y.
1 x
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例7 求函 y数 ln3xx2 21(x2)的导 . 数
解 y1ln x2(1 )1ln x (2),
2
3
y1 2x2112x3(x12)
x2x13(x12)
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且
dy f(u)(x) 或
dx
dy dy du dx du dx
f[(x )] f[(x ) ] (x )
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推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
f[g(x) ]2ln x
f[g (x )]f[g (x ) ]g (x ) 2 ln x x
g[f(x)]x12
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例11 设 f (x) 可导,且 yf(s2ixn )f(c2o x),s
求
dy d cos 2 x
解 令 u c2 o x ， sy f则 ( 1 u ) f( u )
dy
dy
d cos 2 x du
f(1u)f(u)
f(s2x i)n f(c2x o ) s
把 cos2 x 整体看作一个自变量
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二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x(y)在某区间 I y 上
单调、可导且 (y)0,则它的反函数 yf(x)
siyn coy s0
因此，在对应区间 Ix 1 , 1 内有
arcxsi nsi1n y
1
复合函数的求导法则
复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数的组合构成的函数。
在数学中，复合函数的求导法则是一种用于计算复合函数导数的规则。
对于一对函数u(x)和v(x)，其中u(x)是v(x)的内函数，即v(x)=u(f(x))，我们可以使用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则的表述如下：若y=u(v(x))，其中u(t)和v(x)均可导，则y对x的导数等于u对v的导数乘以v对x的导数，即：dy/dx = du/dv * dv/dx下面我们通过具体的例子来解释复合函数的求导法则，并应用链式法则来计算复合函数的导数。
假设我们想要求解函数y=(2x+1)^3的导数。
我们可以将该函数看作是一个复合函数，其中u(t)=t^3，v(x)=2x+1，即y=u(v(x))。
首先，我们求解 u(t) 对 t 的导数 du/dt。
根据幂函数的导数公式，我们有 du/dt = 3t^2然后，我们求解 v(x) 对 x 的导数 dv/dx。
由于 v(x) = 2x + 1，我们可以直接应用导数的线性性质得到 dv/dx = 2最后，我们将 du/dt 和 dv/dx 相乘，得到 dy/dx = du/dv * dv/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2所以，函数 y = (2x + 1)^3 对 x 的导数为 dy/dx = 6(2x + 1)^2以下是一些其他常见的复合函数的导数求解例子：1.y=e^x^2首先，设置u(t)=e^t，v(x)=x^2求导得到 du/dt = e^t，dv/dx = 2x。
最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = e^(x^2) * 2x。
2. y = ln(2x + 1)首先，设置 u(t) = ln(t)，v(x) = 2x + 1求导得到 du/dt = 1/t，dv/dx = 2最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = (1/(2x + 1)) * 2 = 2/(2x + 1)。
导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）
简单复合函数的求导法则
2u
6 x 4 ; ux
u y y yu x
' ' x
3 ;
' x
, u 分析三个函数解析式以及导数 yu x, y
之间的关系:
19:27:48
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
( x) y f ( u ) y y u ， 或 x x u x
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 则 ) 注意：
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
【解析】
复习检测
复习检测
复习检测
复习检测
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中， 水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的 函数为 y h(t ) 100 ，求函数在t=3时的导数，
2t 1
100 100 解：函数 y h(t ) f ( x) 是由函数 2t 1 x
并解释它的实际意义。
与
x (t ) 2t 1 复合而成的
yt h(t ) f ( x) (t )
100 200 2 x2 (2t 1) 2
将t=3代入 得：
200 它表示当t=3时，水面高度下降的速度为 cm/s。 49
200 h (3) 49
3 例2 求曲线y 3 (3x 2 1)在点（ 1， 4）处的切线方程。 练习
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
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π
则y=sinu
y ' = [sin(2 x + )]' = 2(sin u )u ' 3 π
= 2 cos u = 2 cos(2 x + ) 3
π
通过点(1， 例3．已知抛物线 ．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点 ，1), 通过点 且在点(2，－ 处与直线 相切， ， 且在点 ，－1)处与直线 ，－ 处与直线y=x－3相切，求a， － 相切 b，c的值 ， 的值 的值. 函数y=ax2+bx+c的导数 ’=2ax+b， 的导数y’ 解：函数 的导数 ， 由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1， ， 由已知得 － ， ，
1 所以y’ 所以 ’= u
·(2x)
2x = 2 x +1
（3） y = e ）
−2 x −3
－ 解：y=e－2x－3
令u=－2x－3，则y=eu， － － ，
－ 所以y’ 所以 ’=eu·(－2)=－2e－2x－3 . － －
（4） y = sin(2 x + ) ） 解：令u=2x+
π
3
3
4．函数 ．函数y=(1+cosx)3是由 个函数复合而成． 个函数复合而成．
y=u3, u=1+cosx 两
5．函数y=3sin x＋l在点 5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方 在点(π，1)处的切线方 程是 y=1 .
6．求 y = 3 ax 2 + bx + c 的导数 ．
例2．求下列函数的导数 ． （1） y = (2 x 3) ）
5
解：（1）y=(2x+3)5， ：（ ） 令u=2x+3，则y=u5， ， 所以 [(5 x + 3) ]' = 5(u )u ' = 5 × 5u
5 5 4
=25(5x+3)4
（2） y = ln( x + 1) ）
2
解：（2）y=ln(x2+1) ：（ ） 令u=x2+1，则y=lnu， ， ，
a +b + c =1 ∴ 4a + 2b + c = −1 4a + b = 1
a=3 解得 b = −11 c=9
练习题 1．函数y=(5x－4)3的导数是（ C ） ．函数 － 的导数是（ （A）y’＝3(5x－4)2 ） ’ － （B）y’＝9(5x－4)2 ） ’ － （C）y’＝15(5x－4)2 ） ’ － （D）y’＝12(5x－4)2 ） ’ －
∴ －f ’(－x)=－f ’(x)， － － ， 即f ’(－x)=f ’(x)， － ， 是偶函数． ∴ f ’(x)是偶函数． 是偶函数
2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数 ． ＝ （ ） 是（ ）D
（A）y’=Asin(ωx+φ) ） ’ （B）y’=－Asin(ωx+φ) ） ’ － （C）y’=Aωcos(ωx+φ) ） ’ （D）y’=－Aωsin(ωx+φ) ） ’ －
3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是 ．函数 ＋ 的导数是 （B ） （A）y’=cos(x2+1)－sin3x ） ’ － （B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x ） ’ － （C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x ） （D）y’=cos(x2+1)+sin3x ）
∆y ∆ y ∆u = ⋅ ∆ x ∆u ∆x
∆y ∆y ∆u lim lim lim 得 ∆x →0 ∆x = ∆u →0 ∆u ⋅ ∆x →0 ∆x
dy 而 = a[ f (u )]u ' 所以 dx dy 再将u=ax+b代入上式便得到 再将 代入上式便得到 dx
∆u lim = u '( x) = a ∆x → 0 ∆x
1 y ' = (ax 2 + bx + x) ⋅ (2ax + b) 3 (2ax + b) 3 ax 2 + bx + c = 3(ax 2 + bx + c)
− 2 3
7．求证：可导的奇函数f(x)的导函数 ．求证：可导的奇函数 的导函数 f ’(x)是偶函数． 是偶函数． 是偶函数 证明： 是奇函数， 证明：∵ f(x)是奇函数， 是奇函数 内任一个x， ∴ 对 f(x)定义域 D内任一个 ，有－x∈D, 定义域 内任一个 ∈ 且有f(－ － 且有 －x)=－f(x)． ． 分别对上式左、右两边求导： 分别对上式左、右两边求导： [f(－x)]’=f ’(－x)·(－x)’=－f ’(－x)， － ’ － － ’ － － ， [－f(x)]’=－f ’(x)， － ’ － ，
导数的四则运算法则 (复合函数求导法则 ) 复合函数求导法则
例1．已知可导函数 ．已知可导函数y=f(u)，且u=ax+b(a， ， ， dy b为常数，a≠0)，求 . 为常数， 为常数 ， dx 有一改变量△ ，则对应于u， 分 解：设x有一改变量△x，则对应于 ，y分 有一改变量 别有改变量△ ， ， 别有改变量△u，△y， 由