高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A版

为
(
)
a b
ab
,则A,B的大小关系
A.A≥B
B.A≤B
C.A>B
D.A<B
【解析】选C.因为A2=a+2 所以A2>B2,即A>B.
ab
+b,a>0,b>0,B2=a+b,
2.设x>0,y>0,且x+y=6,则lgx+lgy的取值范围是 ( )
A.(-∞,lg6]
C.[lg6,+∞)
B.(-∞,2lg3]
(如立体几何的证明),并尽力对知识点进行拓展、联想、
挖掘题目的隐含条件.
(2)关注目标:综合法证明问题一定要结合题目结论,明
确证明方向,这样可少走弯路.
(3)注意转化思想的应用.
【巩固训练】1.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的 对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.
成一个首项为
的等比数列.所以x1,x2,x3,x4分别
1 2
为此数列的前四项且x1= 1 2 x2=1,x3=2,所以m=x1+x4= 1 2 故|m-n|= 9 3 | 3 | . 2 2
2 ,x4= 1 =4,公比为2,所以 +4= 2 ,n=x2+x3=1+2=3, 9 2
答案: 3 2
a n1 2 1 【解析】若m=1,则 . an 1 3 2 由已知得(3-1)S1+2a1=4,
所以a1=1, 即数列{an}是以1为首项, 1 为公比的等比数列.
所以Sn=
2
1n 1 ( ) 2 2[1 ( 1 )n ] 1 2 1 2
=2-21-n.
【方法总结】综合法证明数列问题的依据
如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些
性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.
【巩固训练】已知x>0,y>0,x+y=1,求证 【证明】方法一:因为1=x+y,
1 1 (1 ) (1 ))(1 ) (1 )(1 ) x y x y y x x y (2 x>0,y>0, )(2 ) 5所以 2( ). 又因为 x y y x x× y2=9. 所以 ≥5+2 2, y x 1 1 (1 )(1 ) x y
主题
综合法
1.观察下面不等式的证明过程,思考此证明过程是从什
么方面入手证明结论成立的? 在锐角三角形ABC中,求证: sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
【证明】因为△ABC为锐角三角形, 所以A+B> ， 所以A> 2 -B. 2 在 因为y=sinx
(0， ) 2
(2)①由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两 式相减得(3+m)an+1=2man,
因为m为常数,m≠0且m≠-3,
所以
a n 1 2m ， . 所以{a } 是等比数列 ann m 3
②因为b1=a1=1,q=f(m)= 2m ， m3 所以当n∈N*且n≥2时,
类型二
综合法证明数列问题
【典例2】(1)(2017·温州高二检测)已知方程(x2-
mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为
数列,则|m-n|=________.
1 2
的等比
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(3-m)Sn+2man= m+3(n∈N*).其中m为常数,且m≠-3,m≠0.
D.[2lg3,+∞)
【解析】选B.因为x>0,y>0,x+y=6,所以2
≤6,即
0<xy≤9,所以lg(xy)≤lg9,即lgx+lgy≤2lg3. xy
3.若实数a,b满足0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大 的是 ( )
A.
1 2
B.2ab
C.a2+b2
D.a
【解析】选C.因为a+b=1,a+b> 所以2ab< 1 . . 2 ab， 2 2 2 2 因为a +b > a b 1 ， 2 a+b=1, 2 所以a< ,所以a2+b2最大. 又因为0<a<b,且 1 2
类型三
综合法证明其他问题
【典例3】已知sinα 是sinθ ,cosθ 的等差中项,sinβ
是sinθ ,cosθ 的等比中项.
求证:cos4β -4cos4α =3.
【证明】由已知sinθ+cosθ=2sinα, sinθ·cosθ=sin2β, ②
①
①2-2×②得4sin2α-2sin2β=1.
①求证:{an}是等比数列;
②若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=
f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求证:
为等差数列.
1 { } bn
【解题指南】(1)利用根与系数的关系结合等比数列的 性质可求m,n.
(2)①中关键是利用an+1与Sn和Sn+1之间的关系结合等比
【补偿训练】已知a>0,b>0,且a+b=1,求证: 4 1 ≥9. a b 【证明】因为a>0,b>0,a+b=1,
所以
4 1 4a b a b 4b a 4 1 a b a b a b 4b a 4b a 当且仅当 a=2b 时“ ”成立. 5 5 2 即 5 4 =9. a b a b 4b a , a b
4.在△ABC中,若a>b,则比较大小:sinA________ sinB(填“>”“<”或“=”).
【解析】在△ABC中,由正弦定理可知
(R为△ABC外接圆半径),易知
a b c 2R sin A sin B sin C
a b 又因为a>b,所以sinA>sinB. sin A 2R ，sin B 2R ，
【证明】因为{an}为等比数列, 所以
a 又因为a1>1,公比q>0,n∈N,且n>1,
所以lgan-1lgan+1<
2 n
=an-1·an+1(n>1).
1 2 [ lg a n 1 =(lg lg a n a ] 1 )2 , n 2
1 lg a lg 1 <(lg 2 2 2 a )2 . 所以 a [ lg a n 1a nn+1 lg a n ) n 1 ] ( n-1 2 2
方法二:因为x>0,y>0,x+y=1, 所以令x=cos2α,y=sin2α,则
1 1 sin２ cos 2 (1 )(1 ) (2 2 )(2 2 ) =5+2 ≥5+2× 2=9. x y cos sin sin 2 cos 2 ( 2 2 ) cos sin
【巩固训练】在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. (1)设bn= a ,求证:数列{bn}是等差数列. n
n 1 2 (2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)因为an+1=2an+2n,所以 a n 1 a n n 1 1. n 2 2 因为bn= a ,所以bn+1= a n 1 =bn+1, n 2n 2 n 1 所以数列{bn}是等差数列,其中b1=1,公差为1,
数列的定义;②中利用定义说明,即 =常数
(n≥2).
1 1 bn bn 1
【解析】(1)方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0,等价于x2mx+2=0①或x2-nx+2=0②.设方程①两根分别为x1,x4,方
程②两根分别为x2,x3.则x1·x4=2,x1+x4=m,x2·x3=
2,x2+x3=n.因为方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组
②
【方法总结】综合法证明不等式的主要依据 (1)a2≥0(a∈R).
(2)(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有a2+b2≥2ab,
≥ab,a2+b2≥
(3)若a,b∈(0,+∞),则 . 特别地, 2 ab b a ab， 2. 2 a b
a b
2
ab 2 ( ) 2
(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R). 由基本不等式a2+b2≥2ab,易得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,而
答案:>
5.设x>0,y>0, A x y ;B x y ， 则A与B的大小 1 x y 1 x 1 y 关系为A________B(填“>”“=”或“<”).
【解析】B=
所以B>A.
x y x y xy , 1 x 1 y 1 x y 1 x y 1 x y
结论: 1.综合法的定义 一般地,利用_________和某些数学定义、公理、定理等, 已知条件 经过一系列的_________,最后推导出所要证明的_____成 推理论证 立,这种证明方法叫做综合法. 结论
2.综合法的流程
其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表
示所要证明的_____,Q1,Q2,…,Qn表示中间结论.