2020-2021学年高一上数学新教材必修一第1章：等式的性质与方程的解集(含答案)
人教版 高中数学必修一课后习题配套参考答案(解析版)
人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2（第24页）练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R∈，且12x x <， 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3（第39页）1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x=-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为xm ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题（第44页）A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320xx -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a=时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a=，而B A ⊆，则11a =-，或11a =，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭I ，即{(0,0)}A B =I ；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I，即A C =∅I ；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-IU I .6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U ．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x=， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数； （2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3．解：由(){1,3}U A B =U ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ，集合A B U 里除去()U A B I ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． .5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<， 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。
2020-2021人教版高一数学《等式的性质与不等式的性质》知识梳理与例题详解
第二章一元二次不等式、方程和不等式2.1 等式的性质与不等式的性质【学习目标】1.了解不等式的概念，能用不等式组表示实际问题中的不等关系2.掌握等式与不等式的性质，并能根据性质解决有关问题3.能比较两数的大小【知识网络详解】知识点一：不等式的概念我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式。
知识点二：不等式的性质【考向详析】题型一：两代数式比较大小例1.比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小例2.已知a =4b =，c =则,,a b c 的大小关系为 。
【练习】1.比较大小：(1) （x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2；(2) 3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1题型二：有限制条件的代数式比较大小例1.“已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．【练习】1.已知104b a <<<，试比较：（1的大小；（2a b -的大小。
题型三：两分式比较大小例1.已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与a b的大小【练习】1.已知x y z >>，比较y x y -与zx z -的大小。
题型四：不等式性质的综合应用例1.对于实数a 、b 、c ，有下列结论：①若a ＞b ，则ac ＜bc ； ②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞b c －b； ⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0. 其中正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5例2.若2＜a ＜5，3＜b ＜10，则a －2b 的范围为________．例3.已知a b -<0，2a b ->0，则-3+a b （ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法比较与0的大小【练习】1.（多选）下列说法中正确的是( )A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则2c a ＞2c b D ．若a ＞b 且1a ＞1b，则ab ＞0 E.若a ＞|b |，则a 2＞b 22.已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围．3.已知实数,x y ，满足-41x y ≤-≤-，-145x y ≤-≤，则3x y +的取值范围为 。
2.1.1等式的性质与方程的解集教案-高一上学期数学必修第一册
2.1.1 等式的性质与方程的解集教案教学课时：1课时教学目标：1.使学生学会用量词和逻辑语言呈现等式的性质；2.训练学生掌握用集合呈现方程的解集；3.使学生学会用“十字相乘法”分解因式；4.让学生体会用符号语言表述，训练学生数学抽象.数学运算的学科素养. 教学重点：从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集. 教学难点：熟练使用“十字相乘法”分解因式.教学过程：一、复习回顾：【学生活动1】1.自己阅读书P42 —《本章导语》；2.再举出两个描述相等关系和不等关系的例子.【设计意图】使学生体会到相等关系与不等关系是数量关系中的两种重要的类型，它们分别对应的等式与不等式，是代数基础知识的重要组成部分.除了汇总学生所举出的实例外，也可以补充些数学中的实例，如：（1）勾股定理：c2=a2+b2；（2）费马大定理：x n+y n=z n(n>2，且n为整数）没有正整数解；（3）三角形两边之和大于第三边：a+c>b，a+b>c，b+c>a；（4）任何实数的平方非负：x2≥0.【学生活动2】3.回忆初中学习过哪些等式的性质；4.用第一章学习过的量词和符号语言表达上述性质吗；5.与同伴进行交流.【设计意图】回顾等式性质，为后面类比学习不等式性质做铺垫；复习第一章所学知识，学会自然语言与符号语言之间的转换；体会数学表达的简洁美.二、讲授新课：（一）等式的性质：【学生活动3】6.回答书中P43 —“尝试与发现”中的问题；7.与同伴交流分类的标准.【设计意图】分类的标准可以有很多，可以帮助学生从多种角度认识等式；可以从量词的角度对等式进行分类.（二）恒等式含有字母的等式中，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称这样的等式为恒等式，也称等式两边恒等.1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)2、两数和的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2【学生活动4】8.计算：(a-b)2和(a+b+c)2；9.思考上面两个等式是恒等式吗？运算结果与(a+b)2=a2+2ab+b2的关系是什么？10.用发现的结论继续完成下面的计算：（1）(a-b+c)2；（2）(a-b-c)2；（3）(a+b-c)2【设计意图】借助恒等式教学，复习和介绍一些常用的乘法公式，并从量词的角度帮助学生认识和记忆公式.事实上，在恒等式(a+b)2=a2+2ab+b2中，用-b替换b，有：(a-b)2=a2-2ab+b2用b+c替换b：(a-b+c)2=a2+2a(b+c)+(b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 例1 化简(2x+1)2-(x-1)2.解：(方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即(2x +1)2-(x-1)2= 4x2+4x+1-(x2-2x +1)=3x2+6x .(方法二）可以将2x +1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即(2x +1)2-(x-1)2=[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)]= 3x(x + 2) = 3x2 +6x .【设计意图】引导学生对比两种方法的优劣，培养学生选取适当方法进行运算的数学素养.例2 （1）计算：(x-6)(x+1)（2）分解因式：x2+5x+6【设计意图】对比恒等式两个方向的运算差别；讲解“十字相乘法”分解因式.【练习1】（1）计算：(x-2)(x-3)（2）分解因式：x2+5x-6答案:例2(1)x2-5x-6; (2）(x+2)(x+3)练习1(1)x2-5x+6;(2）(x＋6)(x-1)（三）方程的解集使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（或根）.一个方程所有的解所组成的集合叫做这个方程的解集.例3 求方程x2+5x+6=0的解集.解：因为x2+5x+6=(x+2)(x+3)所以原方程可以化为(x＋2)x＋3)=0，从而可知x+2=0或x＋3=0，即x= -2或x =-3，因此方程的解集为{-2,-3}【设计意图】练习“十字相乘法”；复习集合的表达，可以让学生比较“描述法”与“列举法”的不同表达.【练习2】求下列方程的解集：(1)x2-5x+6=0; (2) x2 -x-12=0; (3）x2-2x+1=0答案:（1）{2,3} (2){4,-3} （3）{1}【设计意图】巩固“十字相乘法”；熟练解集的表达；可根据学生情况增加适当的练习.例4 求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数.解：当a≠0时,在等式ax = 2两边同时乘以1a ，得x =2a，此时解集为{2a}。
2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集课件新人教B版必修1
2.1.1 等式的性质与方程的解集
1.常用乘法公式 (1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这 两个数的差的积等于这两个数的平方差. (2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，两数和(或差) 的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)这两数 积的2倍.
即(a-b)2=49，则a-b=±7.
2.已知a2+b2+2a-4b+5=0，则2a2+4b-3的值为 ________. 【解析】a2+b2+2a-4b+5=(a2+2a+1)+(b2-4b+4) =(a+1)2+(b-2)2=0，所以a=-1，b=2， 所以2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7. 答案：7
类型二 十字相乘法分解因式 【典例】把下列各式因式分解. (1)x2+3x+2 (2)6x2-7x-5 (3)5x2+6xy-8y2
【思维·引】 (1)x2+3x+2的二次项的系数是1，常数项2=1×2，一 次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.
(2)6x2-7x-5的二次项系数是6=2×3，常数项-5 =1×(-5)，一次项系数-7=2×(-5)+3×1，这是一个 acx2+(ad+bc)x+bd型式子，因此可用公式 acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)分解因式.
【发散·拓】对于二次三项式，采用十字相乘法分解 因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相 乘，两个因式的和正好等于一次项系数.注意，交叉相 乘横着写.
2020-2021学年新教材数学人教B版必修第一册课后提升训练：2.1.1 等式的性质与方程的解集
第二章等式与不等式2。
1等式2.1。
1等式的性质与方程的解集课后篇巩固提升基础达标练1。
(多选题)如果x=y,a为有理数,那么下列等式一定成立的是() A。
1-y=1—x B.x2=y2C。
xa =yaD。
ax=ay解析A。
∵x=y,∴—x=-y。
∴-x+1=-y+1,即1-y=1—x,故A一定成立；B。
如果x=y,则x2=y2，故B一定成立；C。
当a=0时,xa =ya无意义,故C不一定成立;D。
a≠0时,由等式的性质可知:ax=ay，a=0时,原式为0=0,故D一定成立.答案ABD2。
多项式a+5与2a—8互为相反数，则a=（）A.-1B.0C.1D.2解析根据题意得a+5+2a-8=0，移项合并得3a=3，解得a=1。
答案C3。
已知三角形两边长分别为4和7,第三边的长是方程x2—17x+66=0的根,则第三边的长为(）A.6 B。
11 C。
6或11 D。
7x2-17x+66=0，分解因式得(x—6)（x-11）=0，解得x=6或x=11，当x=6时,三边长为4,6,7,符合题意;当x=11时,三边长为4，7,11,不合题意舍去,则第三边长为6。
4。
关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2—4=0有一个根为0,则m的值应为(）A。
2 B.-2 C。
2或—2 D。
1关于x的一元二次方程（m—2)x2+x+m2-4=0有一个根为0,∴m2—4=0且m—2≠0，解得m=-2.故选B。
5。
分解因式:(a2+1)2—4a2= .a2+1)2-4a2=(a2+1+2a)（a2+1—2a）a+1)2（a-1)26.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步?”译文:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽各是多少步?"经计算可得,长步，宽步.x步，宽为（x-12）步,x2—12x—864=0，解得x1=36，x2=-24（舍)。
高中数学必修第一册第一章课后答案
第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念P5练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）与定点A ，B 等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析.2.用符号“∈”或“∉”填空：0______N ；3-______N ；0.5______Z ______Z ；13______Q ；π______R .【答案】①.∈②.∉③.∉④.∉⑤.∈⑥.∈3.用适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）一次函数3y x =+与26y x =-+图象的交点组成的集合；（3）不等式453x -<的解集.【答案】（1）{3,3}-；（2）{(1,4)}；（3）{|2}x x <.P5习题1.1复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A ，美国__________A ，印度____________A ，英国_____________A ；（2）若{}2|A x x x ==，则-1_____________A ；（3）若{}2|60B x x x =+-=，则3________________B ；（4）若{|110}C x x =∈N，则8_______________C ，9.1____________C .【答案】（1）,,,∈∉∈∉（2）∉（3）∉（4）,∈∉2.用列举法表示下列集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{}(1)(2)0A x x x =-+=；（3）{}3213B x Z x =∈-<-<．【答案】（1）{}2,3,4,5（2）{}1,2A =-（3）{}0,1B =P6综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来：（1）{2,4,6,8,10}；（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；（3）{|37}x N x ∈<<；（4）中国古代四大发明【答案】（1）{|2,x N x k k Z ∈=∈且111x <<}（2）{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}（3）{4,5,6}（4）{造纸术，印刷术，指南针，火药}4.用适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系P8练习1.写出集合{,,}a b c 的所有子集.【答案】∅，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c .2.用适当的符号填空：（1）a _____{,,}a b c ；（2）0____2{}|0x x =；（3）∅____2{0}|1x x ∈+=R ；（4）{0,1}____N ；（5）{0}____2{|}x x x =；（6）{2,1}____2|320{}x x x -+=.【答案】①.∈②.∈③.=④.真包含于⑤.真包含于⑥.=3.判断下列两个集合之间的关系：（1）{|0}A x x =<，{|1}B x x =<；（2）{|3,}A x x k k ==∈N ，{|6,}B x x z z ==∈N ；（3）{,|A x x =∈N 是4与10的公倍数}，{|20,}B x x m m +==∈N .【答案】（1）A 真包含于B ；（2）A 真包含B ；（3）A B =.P9习题1．2复习巩固1.选用适当的符号填空：（1）若集合{}233A x x x =-<，{}2B x x =≥，则4-______B ，3-______A ，{}2______B ，B ______A（2）若集合{}210A x x =-=，则1______A ，{}1-______A ，∅______A ，{1,1}-______A ；（3）{|x x 是菱形}______{|x x 是平行四边形}；{|x x 是等边三角形}______{|x x 是等腰三角形}【答案】①.∉②.∉③.真包含于④.真包含于⑤.∈⑥.真包含于⑦.真包含于⑧.=⑨.真包含于⑩.真包含于2.指出下列各集合之间的关系，并用Venn 图表示：A ={|x x 是四边形}，B ={|x x 是平行四边形}，C ={|x x 是矩形}，D ={|x x 是正方形}.【答案】D C B A ，Venn 图见解析.P9综合运用3.举出下列各集合的一个子集：（1）A ={|x x 是立德中学的学生}；（2）B ={|x x 是三角形}；（3）{0}C =；（4）{|330}D x Z x =∈<<.【答案】（1）{|x x 是立德中学的女生}（2）{|x x 是直角三角形}（3）{0}（4）{4,5,6}4.在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎧⎫=⎨⎨⎬+=⎩⎭⎩表示什么？集合C ，D 之间有什么关系？【答案】D 真包含于CP9拓广探索5.请解决下列问题：（1）设,,{1,},{1,}a b R P a Q b ∈==--，若P Q =，求-a b 的值；（2）已知集合{|0},{|12}A x x a B x x =<<=<<，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a b -=（2）2a ≥第一章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算P12练习1.设{}3,5,6,8A =，{4,5,7,8}B =，求A B ，A B .【答案】{}5,8A B = ，{}3,4,5,6,7,8A B = 2.设2{|450}A x x x =--=，2{|1}B x x ==，求A B ，A B .【答案】{}1,1,5A B =- ，{}1A B ⋂=-.3.设{|A x x =是等腰三角形}，{|B x x =是直角三角形}，求A B ，A B .形}4.设{|A x x =是幸福农场的汽车}，{|B x x =是幸福农场的拖拉机}，求A B .【答案】{|x x 是幸福农场的汽车或拖拉机}P13练习1.已知{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，求()U A B ð，()()U U A B 痧.【答案】(){}2,4U A B = ð，()(){}6U U A B = 痧.2.设{|S x x =是平行四边形或梯形}，{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是菱形}，{|C x x =是矩形}，求B C ⋂，S B ð，S A ð.【答案】{|x x 是正方形}，{|x x 是邻边不相等的平行四边形或梯形}，{|x x 是梯形}.3.图中U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，用阴影表示：（1）()()U U A B 痧；（2）()()U U A B ⋃痧.【答案】如下图阴影部分所示.P14习题1.3复习巩固1.已知集合{|24}A x x =≤<，{|3782}B x x x =-≥-，求A∩B，A∪B.【答案】{|34}A B x x =≤< ,{|2}A B x x ⋃=≥2.设{|A x x =是小于9的正整数}，{}{},1,2,33,4,5,6B C ==.求,,A B A C ⋂⋂()(),A B C A B C ⋂⋃⋃⋂.【答案】{}1,2,3，{}3,4,5,6，{}1,2,3,4,5,6，{}1,2,3,4,5,6,7,8.3.学校开运动会，设A ={|x x 是参加100m 跑的同学}，B ={|x x 是参加200m 跑的同学}，C ={|x x 是参加400m 跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C .【答案】A B C =∅ ；（1）表示参加100m 跑或参加200m 跑的同学；（2）表示既参加100m 跑又参加400m 跑的同学P14综合运用4.已知集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，求R ()A B ⋃ð，R ()A B ð，()A B Rð，()R A B ð.【答案】答案见解析.(){}R |210A B x x x ⋃=≤≥或ð；(){}R |37A B x x x ⋂=<≥或ð；(){}R|23710A B x x x ⋂=<<≤<或ð；(){}R |23710A B x x x x ⋃=≤≤<≥或或ð.5.设集合{}(3)()0,A x x x a a =--=∈R ，{}(4)(1)0B x x x =--=，求A B ，A B ．所以{}1,4B =当3a =时{}3A =，所以{}1,3,4A B = ，A B =∅ 当1a =时{}1,3A =，所以{}1,3,4A B = ，{}1A B ⋂=当4a =时{}4,3A =，所以{}1,3,4A B = ，{}4A B ⋂=当1a ≠且3a ≠且4a ≠时{},3A a =，所以{}1,3,4,A B a = ，A B =∅ P14拓广探索6.已知全集(){|010},{1,35,7}U U A B x N x A C B =⋃=∈≤≤⋂=，，试求集合B .【答案】{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃= ，(){1,3,5,7}U A B ⋂=ð，{1,3,5,7}U B ∴=ð.故(){0,2,4,6,8,9,10}U U B B ==痧.第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件P20练习1.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若平面内点P 在线段AB 的垂直平分线上，则PA PB =；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.【答案】（1）p 是q 的充分条件；（2）p 不是q 的充分条件；（3）p 是q 的充分条件2.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若直线l 与o 有且仅有一个交点，则l 为o 的一条切线；（2）若x 是无理数，则2x 也是无理数.【答案】（1）q 是p 的必要条件；（2）q 不是p 的必要条件3.如图，直线a 与b 被直线1所截，分别得到了1∠，2∠，3∠和4∠.请根据这些信息，写出几个“a b ∥”的充分条件和必要条件.【答案】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到a b ∥，所以“a b ∥”的充分条件：12∠=∠，14∠=∠，13180︒∠+∠=；因为a b ∥可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，所以“a b ∥”的必要条件：12∠=∠，14∠=∠，13180︒∠+∠=.1.4.2充要条件P22练习1.下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：三角形为等腰三角形，q ：三角形存在两角相等；（2）:p O 内两条弦相等，:q O 内两条弦所对的圆周角相等；（3）:p A B ⋂为空集，:q A 与B 之一为空集.【答案】（1）p 是q 的充要条件；（2）p 不是g 的充要条件；（3）p 不是q 的充要条件2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.【答案】“两个三角形全等”的充要条件如下：①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两角及其夹边对应相等；④两角及一角的对边对应相等.“两个三角形相似”的充要条件如下：①三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；②三边对应成比例；③两边对应成比例且夹角相等.3.证明：如图，梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.【答案】证明：（1）必要性.在等腰梯形ABCD 中，AB DC =，ABC DCB ∠=∠，又∵BC CB =，∴BAC CDB ≅ ，∴AC BD =.（2）充分性.如图，过点D 作//DE AC ，交BC 的延长线于点E .∵//AD BE ，//DE AC ，∴四边形ACED 是平行四边形.∴DE AC =.∵AC BD =，∴BD DE =，∴1E ∠=∠.又∵//AC DE ，∴2E ∠=∠，∴12∠=∠.在ABC 和DCB 中，,21,,AC DB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DCB ≅ .∴AB DC =.∴梯形ABCD 为等腰梯形.由（1）（2）可得，梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.P22习题1.4复习巩固1.举例说明:(1)p 是q 的充分不必要条件;(2)p 是q 的必要不充分条件;(3)p 是q 的充要条件.【答案】(1)“1x >”是“0x >”的充分不必要条件;(2)“22x y =”是“x y =”的必要不充分条件;(3)“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件2.在下列各题中,判断p 是q 的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):(1)p :三角形是等腰三角形,q :三角形是等边三角形;(2)在一元二次方程中，:p 20ax bx c ++=有实数根，2:40q b ac -;(3):,:p a P Q q a P ∈⋂∈;(4):,:p a P Q q a P ∈⋃∈;(5)22:,:p x y q x y >>.【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.3.判断下列命题的真假:(1)点P 到圆心O 的距离大于圆的半径是点P 在O 外的充要条件;(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;(3)A B A ⋃=是B A ⊆的必要不充分条件;(4)x 或y 为有理数是xy 为有理数的既不充分又不必要条件.【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.P23综合运用4.已知A ={|x x 满足条件p },B ={|x x 满足条件q },(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件?(2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?(3)如果A B =,那么p 是q 的什么条件?【答案】(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件.5.设,,a b c ∈R 证明:222a b c ab ac bc ++=++的充要条件是a b c ==.【答案】证明:(1)充分性:如果a b c ==,那么222()()()0a b b c a c -+-+-=,2222220,a b c ab ac bc a b c ab ac bc ∴++---=∴++=++.(2)必要性:如果222a b c ab ac bc ++=++,那么2220a b c ab ac bc ++---=,222()()()0,0,0,0a b b c c a a b b c c a ∴-+-+-=∴-=-=-=,a b c ==∴.由(1)(2)知,222a b c ab ac bc ++=++的充要条件是a b c ==.P23拓广探索12.设a ,b ,c 分别是ABC 的三条边,且a b c.我们知道,如果ABC 为直角三角形,那么222+=a b c (勾股定理).反过来,如果222+=a b c ,那么ABC 为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,ABC 为直角三角形的充要条件是222+=a b c .请利用边长a ,b ,c 分别给出ABC 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.【答案】解:(1)设a ,b ,c 分别是ABC 的三条边,且a b c,ABC 为锐角三角形的充要条件是222a b c +>.证明如下:必要性:在ABC 中,C ∠是锐角,作AD BC ⊥,D 为垂足,如图(1).显然2222222222()2AB AD DB AC CD CB CD AC CD CB CD CB CD =+=-+-=-++-⋅22222AC CB CB CD AC CB =+-⋅<+,即222c a b <+.充分性:在ABC 中,222a b c +>,C ∴∠不是直角.假设C ∠为钝角,如图(2).作AD BC ⊥,交BC 延长线于点D .则2222222222()2AB AD BD AC CD BC CD AC CD BC CD BC CD =+=-++=-+++⋅22222AC BC BC CD AC BC =++⋅>+.即222c b a >+,与“222a b c +>”矛盾.故C ∠为锐角,即ABC 为锐角三角形.(2)设a ,b ,c 分别是ABC 的三条边,且a b c ≤≤,ABC 为钝角三角形的充要条件是222a b c +<.证明如下:必要性:在ABC 中,C ∠为钝角,如图(2),显然:2222222222()2AB AD BD AC CD CD CB AC CD CD CB CD CB =+=-++=-+++⋅22222AC CB CD CB AC CB =++⋅>+.即222a b c +<.充分性:在ABC 中,222a b c +<,C ∴∠不是直角,假设C ∠为锐角,如图(1),则222222()AB AD DB AC CD CB CD =+=-+-2222222222AC CD CB CD CD CB AC CB CD CB AC CB =-++-⋅=+-⋅<+.即222a b c +>,这与“222a b c +<”矛盾,从而C ∠必为钝角,即ABC 为钝角三角形.第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词P28练习1.判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题2.判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定P31练习1.写出下列命题的否定：（1）n ∀∈Z ，Q n ∈；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形.【答案】（1）n ∃∈Z ，n ∉Q ；（2）存在一个奇款的平方不是奇数；（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形.2.写出下列命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.【答案】（1）任意三角形都不是直角三角形；（2）所有的梯形都不是等腰梯形；（3）任意一个实数，它的绝对值都是正数.P31习题1.5复习巩固1.判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.2.判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.3.写出下列命题的否定:(1),||x Z x N ∀∈∈;(2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;(3),10x R x ∃∈+;(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.(2)存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0;(3),10x R x ∀∈+<;(4)任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.P32综合运用8.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:(1)平面直角坐标系下每条直线都与x 轴相交;(2)每个二次函数的图象都是轴对称图形;(3)存在一个三角形,它的内角和小于180°;(4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.【答案】(1)假命题;命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x 轴相交;(2)真命题;命题的否定:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形;(3)假命题;命题的否定:任意一个三角形,它的内角和不小于180°;(4)真命题;命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上,5.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:(1)平行四边形的对角线互相平分;(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)一元二次方程不总有实数根.【答案】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;(3)存在一个三角形不是中心对称图形;它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;(4)存在一个一元二次方程没有实数根;它的否定:任意一元二次方程都有实数根.P32拓广探索10.在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p ,则q ”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如:①若1x >,则215x +>;(假命题)②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题)这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题.(1)有人认为,①的否定是“若1x >,则215x +≤”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定.(2)请你列举几个“若p ,则q ”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假.【答案】解:(1)不对.①的否定:存在1,215x x >+≤;②的否定:存在一个四边形为等腰梯形,它的对角线不相等.(2)命题1:矩形的对角线相等,是真命题;它的否定是:存在一个矩形,它的对角线不相等,是假命题.命题2:实数的平方是正数,是假命题;它的否定:存在一个实数,它的平方不是正数,是真命题.复习参考题1P34复习巩固1.用列举法表示下列集合：（1）{}2|9A x x ==；（2）{}|12B x N x =∈≤≤；（3）{}2|320C x x x =-+=.【答案】(1){}3,3-；(2){}1,2；(3){}1,2.2.设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？(1){|}P PA PB =(A ,B 是两个不同定点)；(2){|3}P PO cm =(O 是定点)【答案】(1)线段AB 的垂直平分线；(2)以点O 为圆心,3cm 长为半径的圆.3.设平面内有ABC ，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC =⋂=的点是什么.【答案】ABC 三条边的垂直平分线的交点.4.请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空：(1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的_______；(2)x A ∈是x A B ∈U 的___________；(3)x A ∈是x A B ∈ 的__________；(4)x ,y 为无理数是x y +为无理数的_________.【答案】①.充分不必要条件②.充分不必要条件③.必要不充分条件④.既不充分也不必要条件5.已知a ,b ,c 是实数,判断下列命题的真假：(1)“a b >”是“22a b >”的充分条件；(2)“a b >”是“22a b >”的必要条件；(3)“a b >”是“22ac bc >”的充分条件；(4)“a b >”是“22ac bc >”的必要条件.【答案】(1)假命题(2)假命题(3)假命题(4)真命题6.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称；(3)存在整数x ，y ，使得243x y +=；(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.【答案】(1)2,0x R x ∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈ð，真命题.7.写出下列命题的否定,并判断它们的真假：(1)a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根；(2)每个正方形都是平行四边形；(3)m N N ∃∈；(4)存在一个四边形ABCD ，其内角和不等于360 .【答案】(1)a R ∃∈,一元二次方程210x ax --=没有实根,假命题.(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题.(4)任意四边形ABCD ,其内角和等于360°,真命题.P35综合运用8.已知集合{(,)|20},{(,)|30},{(,)|23|A x y x y B x y x y C x y x y =-==+==-=,求,A B A C ⋂⋂,并解释它们的几何意义.【答案】{(0,0)}A B = ,几何意义是直线20x y -=与30x y +=相交于点(0,0);A C ⋂=∅,几何意义是直线20x y -=与23x y -=平行,无交点.9.已知集合{}21,3,,{1,2}A a B a ==+,是否存在实数a ,使得A B A ⋃=?若存在,试求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:{}2{1,2}1,3,A B A B A a a ⋃=⇔⊆∴+⊆，222313a a a +=⎧⎪∴≠⎨⎪≠⎩或22222113a a a a a ⎧+=⎪+≠⎪⎨≠⎪⎪≠⎩，2a ∴=，∴存在实数2a =，使得A B A ⋃=.10.把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:(1)勾股定理;(2)三角形内角和定理.【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；(2)所有三角形的内角和都是180°.P35拓广探索11.学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?【答案】解:如图.设同时参加田径和球类比赛的有x 人,则281581433x =++---,3x ∴=,即同时参加田径和球类比赛的有3人,而只参加游泳一项比赛的有15339--=(人).21/2112.根据下述事实,分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:(1)2222211,132,135313574,1,35795,=+=++=+++=++++= .(2)如图,在ABC 中,AD ,BE 与CF 分别为BC ,AC 与AB 边上的高,则AD ,BE 与CF 所在的直线交于一点O.【答案】(1)*2,135(21)n N n n ∀∈++++-= ;(2)任意三角形的三条高交于一点.。
22_23高中数学第二章等式与不等式2-1等式2-1-1等式的性质与方程的解集新人教B版必修第一册
(4)ax2－(a＋1)x＋1＝0.
【解析】当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0， 所以x＝1，解集为{1}． 当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说，因为a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－ 1)＋1×(－1)＝－(a＋1)．如图所示，
ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)，所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0， 所以ax－1＝0或x－1＝0， 所以x＝1a或x＝1.解集为{1a，1}．
解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0， 所以x＝3或x＝－5. 所以方程的解集为{3，－5}．
课堂探究•素养提升
题型1 因式分解[经典例题] 例1 把下列各式因式分解： (1)6x2＋11x－7；
由图，得
所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．
(2)a2－2ab－8b2；
(a＋2b)(a－4b)．
【解析】 去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4. 合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13. 所以该方程的解集为{－13}．
(2)2x3−1＝2x6+1－1；
【解析】 去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.
去括号，得4x－2＝2x＋1－6.
移项，得4x－2x＝1－6＋2.
答案：C
解析：因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，
即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2.
2020-2021学年高一数学课时同步练习 第9课 等式的性质与方程的解集
2020-2021学年高一数学课时同步练习第二单元 等式与不等式第9课 等式的性质与方程的解集一、基础巩固1．已知等式ax ＝ay ，下列变形不正确的是( )A ．x ＝yB ．ax ＋1＝ay ＋1C ．2ax ＝2ayD ．3－ax ＝3－ay 【答案】A【解析】A.∵ax ＝ay ，∴当a≠0时，x ＝y ，故此选项错误，符合题意；B ．∵ax ＝ay ，∴ax ＋1＝ay ＋1，故此选项正确，不合题意；C ．∵ax ＝ay ，∴2ax ＝2ay ，故此选项正确，不合题意；D ．∵ax ＝ay ，∴3－ax ＝3－ay ，故此选项正确，不合题意．故选A.2.在式子：2x －3y ＝6中，把它改写成用含x 的代数式表示y ，正确的是( )A ．y ＝2x ＋6B ．y ＝23x －2C ．x ＝32y ＋3 D ．x ＝3y ＋2 【答案】B【解析】方程2x －3y ＝6，解得：y ＝23x －2.故选B. 3．下列计算正确的是( )A ．8a ＋2b ＋(5a －b)＝13a ＋3bB ．(5a －3b)－3(a －2b)＝2a ＋3bC ．(2x －3y)＋(5x ＋4y)＝7x －yD ．(3m －2n)－(4m －5n)＝m ＋3n【答案】B【解析】A 项，去括号合并同类项得：8a ＋2b ＋5a －b ＝8a ＋5a ＋2b －b ＝13a ＋b≠13a ＋3b ，故本选项错误；B 项，去括号合并同类项得：5a －3b －3a ＋6b ＝5a －3a －3b ＋6b ＝2a ＋3b ，故本选项正确；C 项，去括号合并同类项得：2x －3y ＋5x ＋4y ＝2x ＋5x －3y ＋4y ＝7x ＋y≠7x －y ，故本选项错误；D 项，去括号合并同类项得：3m －2n －4m ＋5n ＝3m －4m －2n ＋5n ＝－m ＋3n≠m ＋3n ，故本选项错误．故选B.4．若多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b)，则a ，b 的值是( )A ．a ＝10，b ＝2B ．a ＝10，b ＝－2C ．a ＝－10，b ＝－2D ．a ＝－10，b ＝2【答案】C【解析】因为(x －5)(x －b)＝x 2－(5＋b)x ＋5b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（5＋b ）＝－35b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ＝－10.5．方程2x －(x ＋10)＝5x ＋2(x ＋1)的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43C ．{－2}D ．{2}【答案】C【解析】因为2x －(x ＋10)＝5x ＋2(x ＋1)，所以2x －x －10＝5x ＋2x ＋2，即－6x ＝12，所以x ＝－2.6．已知x ＝2是关于x 的方程32x 2－2a ＝0的一个解，则2a －1的值是________．【答案】5【解析】∵x ＝2是关于x 的方程32x 2－2a ＝0的一个解，∴32×22－2a ＝0，即6－2a ＝0，则2a ＝6，∴2a －1＝6－1＝5.7．若A ＝x 2－3x －1，B ＝x 2－2x ＋1，则2A －3B ＝________.【答案】【解析】－x 2－5 ∵A ＝x 2－3x －1，B ＝x 2－2x ＋1，∴2A －3B ＝2x 2－6x －2－3x 2＋6x －3＝－x 2－5.8．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，如⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝1×4－2×3.若⎪⎪⎪⎪⎪⎪322x －12x ＋1＝3，求x 的值．【答案】x ＝－1【解析】∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 22x －1 2x ＋1＝3，∴3(2x ＋1)－2(2x －1)＝3，去括号，得6x ＋3－4x ＋2＝3，移项，得6x－4x＝3－3－2，合并同类项，得2x＝－2，系数化为1，得x＝－1.二、拓展提升9．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4.故选D.10．下列各式从左到右的变形，是因式分解的为()A．6ab＝2a·3bB．(x＋5)(x－2)＝x2＋3x－10C．x2－8x＋16＝(x－4)2D．x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6x【答案】C【解析】A项，不是因式分解，故本选项错误；B项，不是因式分解，故本选项错误；C项，是因式分解，故本选项正确；D项，不是因式分解，故本选项错误．故选C.11．阅读材料，解答问题．为解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－3y＝0，解得y1＝0，y2＝3.当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.[问题]解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.【答案】{－1，1}【解析】设x2＋3＝y，原方程可化为y2－4y＝0，即y(y－4)＝0，所以y1＝0，y2＝4.当y＝0时，x2＋3＝0，此时方程无解；当y＝4时，x2＋3＝4，所以x＝±1，所以x1＝1，x2＝－1.所以该方程的解集为{－1，1}．12．已知方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2 018x－2 019＝0的较小根为n.求m－n的值．【答案】m－n＝2 020【解析】将方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0化为(2 0182x＋1)(x－1)＝0，所以x1＝－12 0182，x2＝1，所以m＝1.同理，由方程x2＋2 018x－2 019＝0可得(x＋2 019)(x－1)＝0，所以x1＝－2 019，x2＝1，所以n＝－2 019，所以m－n＝2 020.。
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8．若A＝x2－3x－1，B＝x2－2x＋1，则2A－3B＝________.
三、解答题
9．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定 ＝ad－bc，如 ＝1×4－2×3.若 ＝3，求x的值．
10．已知关于x的方程6－x＝ 与a－2(x－4)＝5a有相同的解集，求a的值．
[等级过关练]
1．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是()
C．∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项正确，不合题意；
D．∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项正确，不合题意．故选A.]
2.在式子：2x－3y＝6中，把它改写成用含x的代数式表示y，正确的是()
A．y＝2x＋6B．y＝ x－2
C．x＝ y＋3D．x＝3y＋2
B[方程2x－3y＝6，解得：y＝ x－2.故选B.]
2020-2021学年高一上数学新教材必修一
第1章：等式的性质与方程的解集
一、选择题
1．已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是()
A．x＝yB．ax＋1＝ay＋1
C．2ax＝2ayD．3－ax＝3－ay
A[A.∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项错误，符合题意；
B．∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项正确，不合题意；
2020-2021学年高一上数学新教材必修一
第1章：等式的性质与方程的解集
一、选择题
1．已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是()
A．x＝yB．ax＋1＝ay＋1
C．2ax＝2ayD．3－ax＝3－ay
2.在式子：2x－3y＝6中，把它改写成用含x的代数式表示y，正确的是()
A．y＝2x＋6B．y＝ x－2
4．若关于x的方程ax＋3x＝2的解是x＝ ，则a的值是()
A．－1B．5 C．1D．－5
B[把x＝ 代入方程ax＋3x＝2得： a＋ ＝2，
∴a＋3＝8，∴a＝5，故选B.]
5．下列解方程过程中，变形正确的是()
A．由5x－1＝3得5x＝3－1
B．由－75x＝76得x＝－
C．由x－3(x＋4)＝5得x－3x－4＝5
5．下列解方程过程中，变形正确的是()
A．由5x－1＝3得5x＝3－1
B．由－75x＝76得x＝－
C．由x－3(x＋4)＝5得x－3x－4＝5
D．由2x－(x－1)＝1得2x－x＝0
二、填空题
6．已知4m＋2n－5＝m＋5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m________n(填“＞”“＜”或“＝”)．
[解]∵ ＝3，
∴3(2x＋1)－2(2x－1)＝3，
去括号，得6x＋3－4x＋2＝3，
移项，得6x－4x＝3－3－2，
合并同类项，得2x＝－2，
系数化为1，得x＝－1.
10．已知关于x的方程6－x＝ 与a－2(x－4)＝5a有相同的解集，求a的值．
[解]6－x＝ ，去分母得12－2x＝x＋3，移项、合并得－3x＝－9，解得x＝3，把x＝3代入a－2(x－4)＝5a中，得a＋2＝5a，解得a＝ .
[等级过关练]
1．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是()
A．1B．2C．3D．4
2．下列各式从左到右的变形，是因式分解的为()
A．6ab＝2a·3b
B．(x＋5)(x－2)＝x2＋3x－10
C．x2－8x＋16＝(x－4)2
D．x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6x
3．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，则代数式(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)＝________.
4．已知x2－5xy－6y2＝0(y≠0且x≠0)，则 的值为________．
B项，去括号合并同类项得：5a－3b－3a＋6b＝5a－3a－3b＋6b＝2a＋3b，故本选项正确；
C项，去括号合并同类项得：2x－3y＋5x＋4y＝2x＋5x－3y＋4y＝7x＋y≠7x－y，故本选项错误；
D项，去括号合并同类项得：3m－2n－4m＋5n＝3m－4m－2n＋5n＝－m＋3n≠m＋3n，故本选项错误．故选B.]
D．由2x－(x－1)＝1得2x－x＝0
D[选项A，移项没有变号，故变形不正确；
选项B等号的左边除以了－75，而等号的右边除以了－76，故变形错误；
选项C去括号时，4没有乘－3，故变形错误；
选项D的变形正确．故选D.]
二、填空题
6．已知4m＋2n－5＝m＋5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m________n(填“＞”“＜”或“＝”)．
C．x＝ y＋3D．x＝3y＋2
3．下列计算正确的是()
A．8a＋2b＋(5a－b)＝13a＋3b
B．(5a－3b)－3(a－2b)＝2a＋3b
C．(2x－3y)＋(5x＋4y)＝7x－y
D．(3m－2n)－(4m－5n)＝m＋3n
4．若关于x的方程ax＋3x＝2的解是x＝ ，则a的值是()
A．－1B．5 C．1D．－5
3．下列计算正确的是()
A．8a＋2b＋(5a－b)＝13a＋3b
B．(5a－3b)－3(a－2b)＝2a＋3b
C．(2x－3y)＋(5x＋4y)＝7x－y
D．(3m－2n)－(4m－5n)＝m＋3n
B[A项，去括号合并同类项得：8a＋2b＋5a－b＝8a＋5a＋2b－b＝13a＋b≠13a＋3b，故本选项错误；
8．若A＝x2－3x－1，B＝x2－2x＋1，则2A－3B＝________.
－x2－5[∵A＝x2－3x－1，B＝x2－2x＋1，
∴2A－3B＝2x2－6x－2－3x2＋6x－3＝－x2－5.]
三、解答题
9．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定 ＝ad－bc，如 ＝1×4－2×3.若 ＝3，求x的值．
＞[等式的两边都减去(m＋5n－5)，得3m－3n＝5，
等式的两边都除以3，得m－n＝ ，∴m＞n.]
7．已知x＝2是关于x的方程 x2－2a＝0的一个解，则2a－1的值是________．
5[∵x＝2是关于x的方程 x2－2a＝0的一个解，
∴ ×22－2a＝0，即6－2a＝0，则2a＝6，∴2a－1＝6－1＝5.]