第二章 推理与证明(B)

第二章推理与证明(B)一、选择题1、下列有关三段论推理“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是( )A．推理正确B．推理形式不正确C．大前提错误D．小前提错误2、下列推理过程是类比推理的是( )A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为1 2B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C．通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D．由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数3、已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )A．一定大于零B．一定等于零C．一定小于零D．正负都有可能实用文档4、勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2＋b2＝c2.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d的长方体中，有( )A．p＋q＋r＝dB．p2＋q2＋r2＝d2C．p3＋q3＋r3＝d3D．p2＋q2＋r2＋pq＋pr＋qr＝d25、观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出一般式子为( )A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1(n≥2)B．1＋122＋132＋…＋1n2<2n＋1n(n≥2)C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n(n≥2)D．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋1(n≥2)6、若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：实用文档①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；④若ab＝0，则a＝0或b＝0.对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③若a·b＝b·c，b≠0，则a＝c；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中结论正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个7、已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，则a2 010等于( )A．0 B．－ 3 C． 3 D．3 28、由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A．各正三角形内任一点实用文档实用文档 B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点9、已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么()A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c10、下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )①2 006能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 006是偶数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①11、有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确二、填空题12、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,55，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则三角形数的一般表达式f(n)＝__________.13、对于“求证函数f(x)＝－x3在R上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是“对于定义域为D的函数f(x)，若对任意x1，x2∈D且x2－x1>0，有f(x2)－f(x1)<0，则函数f(x)在D上是减函数”，小前提是“__________________________”，结论是“f(x)＝－x3在R上是减函数”．实用文档实用文档14、在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则＝12(＋)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：________________________________.15、下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③a b ＋b a≥2； ④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中不成立的有________个．三、解答题16、设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.17、观察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，…问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 008是第几行的第几个数？18、设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)中的a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：实用文档方程f(x)＝0无整数根．19、如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F 是BE的中点．(1)求证：DF∥平面ABC；(2)求证：AF⊥BD.20、已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：a＋12＋b＋12≤2.实用文档实用文档21、已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.以下是答案一、选择题1、A [三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确．]2、B实用文档3、A [f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数，由a ＋b >0得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0，同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.]4、B5、C [由合情推理可归纳出1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)．]6、B [利用类比思想结合向量的定义及性质，特别是向量的数量积的定义可知①正确，②③④不正确．]7、C [a 2＝0－30＋1＝－3，a 3＝－3－3－3·3＋1＝3，a 4＝0，所以此数列具有周期性，0，－3，3依次重复出现．因为2 010＝3×670，所以a 2 010＝ 3.]8、C [正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.]实用文档9、A [分别令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.]10、C11、D [用反证法证题时一定要将对立面找全．在(1)中应假设p ＋q >2.故(1)的假设是错误的，而(2)的假设是正确的，故选D.]二、填空题12、n (n ＋1)2解析 当n ＝1时，1＝1×22；当n ＝2时，3＝2×32；当n ＝3时，6＝3×42；当n ＝4时，10＝4×52；…，猜想：f (n )＝n (n ＋1)2.13、对于任意x 1，x 2∈R 且x 2－x 1>0，有f (x 2)－f (x 1)＝－x 32＋x 31＝－(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 21)＝－实用文档(x 2－x 1)·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 122＋34x 21<014、在四面体A —BCD 中，G 为△BCD 的重心，则＝13(＋＋)15、1解析 由a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca ] ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 故①正确．由14－a (1－a )＝14－a ＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≥0， 故②正确．(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－a 2c 2－2acbd －b 2d 2＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc )2≥0，故④正确．实用文档∵a b ＋b a ≥2或a b ＋b a≤－2，∴③不正确．三、解答题16、证明 假设|f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12， 于是有－12<1＋a ＋b <12 ①－12<4＋2a ＋b <12 ②－12<9＋3a ＋b <12 ③①＋③，得－1<10＋4a ＋2b <1，所以－3<8＋4a ＋2b <－1，所以－32<4＋2a ＋b <－12. 由②知－12<4＋2a ＋b <12，矛盾， 所以假设不成立，即|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.17、解 (1)由表知，第二行起，每行的第一个数为偶数，所以第n ＋1行的第一个数为2n ，所实用文档以第n 行的最后一个数为2n －1.(2)由(1)知第n －1行的最后一个数为2n －1－1，第n 行的第一个数为2n －1，第n 行的最后一个数为2n －1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，S n ＝2n －1(2n －1＋2n －1)2＝22n －3＋22n －2－2n －2. (3)因为210＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一个数为211－1＝2 047，所以2 008是在第11行中，由等差数列的通项公式得，2 008＝1 024＋(n －1)·1，所以n ＝985，所以2 008是第11行的第985个数．18、证明 假设方程f (x )＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＋c ＝0.①因为f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，所以a ＋b 必为偶数，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，则ak 2＋bk ＋c ＝4n 2a ＋2nb ＋c ＝2n (2na ＋b )＋c 必为奇数，与①式矛盾；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，实用文档则ak 2＋bk ＋c ＝(2n ＋1)(2na ＋a ＋b )＋c 为一奇数与一偶数乘积加上一个奇数，必为奇数，也与①式矛盾，故假设不成立．综上可知方程f (x )＝0无整数根．19、证明 (1)取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，可得FG ∥AE ，FG＝12AE ， 又CD ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，∴CD ∥AE ，CD ＝12AE ， ∴FG ∥CD ，FG ＝CD .又∵FG ⊥平面ABC ，∴四边形CDFG 是矩形，DF ∥CG ，CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .实用文档 (2)Rt △ABE 中，AE ＝2a ，AB ＝2a ，F 为BE 的中点， ∴AF ⊥BE ，∵△ABC 是正三角形，∴CG ⊥AB ，∴DF ⊥AB ，又DF ⊥FG ，FG ∩AB ＝G ，∴DF ⊥平面ABE ，DF ⊥AF ， 又∵DF ∩BE ＝F ，∴AF ⊥平面BDF ，又BD ⊂平面BDF ，∴AF ⊥BD .20、证明 ∵1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14. ∴12(a ＋b )＋ab ＋14≤1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1. 从而有2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4. ∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋12＋b ＋122≤4.实用文档 ∴a ＋12＋b ＋12≤2.21、证明 要证原不等式成立，只需证明 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－12， 事实上，∵0<x 1，x 2<12，x 1≠x 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－12 ＝1x 1x 2－1x 1－1x 2－4(x 1＋x 2)2＋4x 1＋x 2 ＝(x 1－x 2)2(1－x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)2>0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－12， 即有lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1>lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－12， 故12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.。