最新人教版高中数学选修2-2第二章《推理与证明》本章小结

知识建构

1.合情推理与演绎推理

(1)归纳和类比都是__________,归纳是由__________到__________、__________到__________的推理,类比是由__________到__________的推理.

(2)从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为__________,它是由__________到__________的推理.

答案：(1)合情推理特殊一般部分整体特殊 特殊

(2)演绎推理一般特殊

2.直接证明与间接证明

(1)利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法是__________.

(2)从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止,这种证明方法是__________.

(3)假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法为__________.

答案：(1)综合法(2)分析法(3)反证法

3.数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题,常用数学归纳法,其步骤为:

(1);

(2).

答案：(1)证明当n取第一个值n0时命题成立

(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立结论成立则n=k+1时结论也成立

上述过程用框图表示为:

实践探究

1.下图中的三角形称为希尔宾斯基(S ierpi n s k i)三角形,在下图4个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式__________.

思路分析:如题图,这4个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.猜想这个数列的一个通项公式是a n =3n -1.

答案:a n =3n -1

温馨提示:(1)上面数列的递推关系为a n +1=3a n .

(2)通项公式可用数学归纳法证明

.

2.若数列{a n }是一个等差数列,则{n

a a a n 21+++ }是一个等差数列.类比这条性质,若数列{

b n }是一个等比数列,则有__________是一个等比数列.

思路分析:在等差数列{a n }与等比数列{b n } 中,有

{a n } {b n }

和 a 1+a 2+…+a n

积 b 1b 2…b n

算术平均数{n a a a n 21+++ }等差几何平均数{n n 21b b b }等比

证明:设数列{b n }的首项为b 1,公比为q, 则n 1)-(n 2111n n 211n 1n n

211

n 1

n 21q b q b b b b b b b ++++++++++= =

2

121

n 12n 1n 21)n(n n 11

n 21)n (n 1n 1q q b q b q b q b --+++=(常数),

∴数列{n n 21b b b }为等比数列. 答案:{ n n 21b b b }

3.已知O 是△A B C 内任意一点,连结A O 、BO 、C O 并延长交对边于A′、B ′、C′,则

1C C C O B B B O A A A O =''+''+''.

这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”: C C C O B B B O A A A O '

'+''+''

=ABC

ABC ABC OAB ABC OCA ABC OBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=1. 运用类比,猜想对于空间中的四面体A —B CD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明. 猜想:已知点O 为四面体A —B CD 内任意一点,连结A O 、BO 、C O 、D O 并延长交相对面于

A′、B ′、C′、D′,则有

OD D O OC C O OB B O OA A O '+'+'+'=1. 证明:设点A 、O 到平面B CD 的距离分别为h 、h′,则

OA A O h h '=', ∴OA A O h h h S 3

1h S 31V V BCD BCD BCD A BCD

O '='=⋅'⋅=∆∆--. 同理,ACD

B ACD O V V OB B O --=', ABD

C AB

D O V V OC C O --=', ,V V OD D O ABC

D ABC O --=' ∴OD D O OC C O OB B O OA A O '+'+'+'=BCD

A BCD A V V --=1.