选修2-2 第二章 推理与证明(B)

实用文档选修2-2 第二章 推理与证明(B)一、选择题1、某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1) 种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶 时的走法f (n )等于( )A ．f (n －1)＋1B ．f (n －2)＋2C ．f (n －2)＋1D ．f (n －1)＋f (n －2)2、已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面 积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr 2 D ．不可类比3、设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( )A ．n π B．(n －2)πC．π D．2π4、“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( ) A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形5、设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立实用文档实用文档 6、已知p ＝a ＋1a －2 (a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2)，则( )A ．p >qB ．p <qC ．p ≥qD ．p ≤q7、已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值() A ．一定是正数 B ．一定是负数C ．可能是零D ．正、负不能确定8、如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( )A.32 B ．23－2C ．1＋ 3D ．2－39、设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于()A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋210、下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应该是( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大11、三个实数a，b，c不全为0的充要条件是( )A．a，b，c都不是0B．a，b，c中至多有一个是0C．a，b，c中只有一个是0D．a，b，c中至少有一个不是012、平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加了一条直线后，它们的交点个数最多为( )A．f(k)＋k B．f(k)＋1实用文档实用文档C ．f (k )＋k ＋1D ．k ·f (k )二、填空题13、已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________.14、若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 ________．15、由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 __________________________________________________．16、从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…， 概括出第n 个式子为____________．三、解答题17、已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .实用文档(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n 与S n ＋1的大小，并说明理由．18、已知a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1， 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.19、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．20、函数列{f n(x)}满足f1(x)＝x1＋x2(x>0)，f n＋1(x)＝f1[f n(x)]．(1)求f2(x)、f3(x)；(2)猜想f n(x)的表达式，并证明．实用文档实用文档21、在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.22、 先解答(1)，再通过类比解答(2)．(1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ； (2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．以下是答案一、选择题1、D [到第n级台阶可分两类：从第n－2级一步到第n级有f(n－2)种走法，从第n－1级到第n级有f(n－1)种走法，共有f(n－1)＋f(n－2)种走法．]2、C [由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可知选C.]3、C [作凸(n＋1)边形的一条对角线，使之成为一个凸n边形和一个三角形．]4、B [从小前提和结论来看其大前提是矩形都是对角线相等的四边形．]5、D [由题设f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，实用文档实用文档 对于A 不一定有k ＝1,2时成立． 对于B 、C 显然错误．对于D ，∵f (4)＝25>42，因此对于任意的k ≥4， 有f (k )≥k 2成立．]6、A [∵p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥4，q ＝2－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＋2<4 (a >2)， ∴p >q .]7、B [∵(a ＋b ＋c )2＝0，∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0. 又abc >0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ac abc<0.]8、B [由x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则2－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x＋y≥23－2或x＋y≤－2－2 3.∵x>0，y>0，∴x＋y的最小值为23－2.]9、D [f(n＋1)－f(n)＝(1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2)－(1n＋1＋1n＋2＋…＋12n)＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.]10、A [由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即为白色．]11、D12、A [增加一条直线后，最多和原来的k条直线都相交，有k个交点，所以交点个数最多为f(k)＋k.]二、填空题13、3解析a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，归纳出每6项一个循环，则a33＝a3＝3.实用文档实用文档14、－2≤a <32解析 当n 为偶数时，a <2－1n， 而2－1n ≥2－12＝32，∴a <32. 当n 为奇数时，a >－2－1n， 而－2－1n<－2，∴a ≥－2. 综上可得－2≤a <32.15、正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．16、1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1·(1＋2＋…＋n )解析 式子左边是正、负相间，奇数项为正，偶数项为负，所以用(－1)n －1调节，左子 右边是前n 个正整数的和，奇数项为正，偶数项为负，用(－1)n ＋1调节．实用文档三、解答题17、解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9.所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1.因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23. 当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1， 所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12b n －1， 化简得b n ＝13b n －1. 所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列， 即b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .实用文档所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . (2)因为S n ＝1＋(2n －1)2×n ＝n 2， 所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n 2. 下面比较1b n 与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2， 当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3， 当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4， 当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5， 猜想：n ≥4时，1b n >S n ＋1.下面用数学归纳法证明：①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，实用文档1b k >S k ＋1，即3k 2>(k ＋1)2， 那么，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2 >3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，1b n >S n ＋1也成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1b n >S n ＋1都成立． 综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n <S n ＋1，当n ≥4时，1b n >S n ＋1.18、证明 ∵a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab实用文档<1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 故a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.19、解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误 的，这两个平面也可能相交．20、(1)解 f 1(x )＝x1＋x 2 (x >0)，f2(x)＝x1＋x21＋x21＋x2＝x1＋2x2，f3(x)＝x1＋2x21＋x21＋2x2＝x1＋2x2＋x2＝x1＋3x2.(2)猜想f n(x)＝x1＋nx2，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，命题显然成立．②假设当n＝k时，f k(x)＝x1＋kx2，那么f k＋1(x)＝x1＋kx2 1＋x21＋kx2＝x1＋kx2＋x2＝x1＋(k＋1)x2.这就是说，当n＝k＋1时命题成立．实用文档实用文档 由①②，可知f n (x )＝x1＋nx 2对所有n ∈N *均成立．21、证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)， ∵B >A ≥60°，C >A ≥60°，∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A <60°.22、(1)证明 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋tan x 1－tan x； (2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下：∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f(x)是周期函数．实用文档。