选修2-2 第二章 推理与证明(A)

实用文档选修2-2 第二章 推理与证明(A)一、选择题1、数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 011的值为( ) A ．－1 B.12C ．1D ．22、下列说法中正确的是( )A ．合情推理就是正确的推理B ．合情推理就是归纳推理C ．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D ．类比推理是从特殊到特殊的推理过程3、下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④4、观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)5、有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；实用文档②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为( )A．①②③B．②③①C．③①②D．③②①7、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③8、用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )实用文档A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋49、若函数f(x)＝x2－2x＋m (x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围为( )A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1]10、求证：1＋5<2 3.证明：因为1＋5和23都是正数，所以为了证明1＋5<23，只需证明(1＋5)2<(23)2，展开得6＋25<12，即5<3，只需证明5<9.因为5<9成立．所以不等式1＋5<23成立．上述证明过程应用了( )实用文档A．综合法B．分析法C．反证法D．间接证法11、若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；④若ab＝0，则a＝0或b＝0.对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③若a·b＝b·c，b≠0，则a＝c；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中结论正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个12、用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是( )A.3a＝3b B.3a<3b实用文档实用文档 C.3a ＝3b ，且3a <3b D.3a ＝3b 或3a <3b二、填空题13、已知x >0，由不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，启发我们可以得到推广结 论：x ＋mx n ≥n ＋1 (n ∈N *)，则m ＝________.14、已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5分别为______________，猜 想a n ＝______.15、在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在 空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为______．16、观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律， 第五个等式为________．实用文档三、解答题17、 设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.18、已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n (n ∈N *)且点P 1的坐标为 (1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．实用文档19、 在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．20、已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.21、 已知正数数列{a n }的前n 项和S n ＝12(a n ＋1a n)，实用文档(1)求a 1，a 2，a 3；(2)归纳猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．22、 用反证法证明：已知a 与b 均为有理数，且a 与b 都是无理数， 证明：a ＋b 是无理数．以下是答案一、选择题1、B [∵a 1＝12，a n ＝11－a n －1，∴a 2＝11－12＝2，a3＝11－2＝－1，a4＝11－(－1)＝12.∴a n＋3＝a n，即周期为3.∴a2 011＝a670×3＋1＝a1＝1 2 .]2、D3、C [①是类比，②④是归纳推理．]4、D [由观察知，若f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数．]5、C6、C7、C [因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的二面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以①②③都恰当．]8、D [n＝1时，n＋3＝4，∴左边＝1＋2＋3＋4.]9、B [∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点，实用文档实用文档∴Δ＝4－4m >0，∴m <1，又f (1－x )＝(1－x )2－2(1－x )＋m ＝x 2＋m －1≥m －1.而f (1－x )≥－1恒成立，∴m －1≥－1，∴m ≥0，∴0≤m <1.]10、B [本题中的证明执果索因，是分析法．]11、B [①正确，其余错误．]12、D二、填空题13、n n14、37，38，13，310 3n ＋515、1∶8解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.实用文档16、13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数 的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前 一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.三、解答题17、证明 假设|f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12， 于是有－12<1＋a ＋b <12，① －12<4＋2a ＋b <12，② －12<9＋3a ＋b <12.③ ①＋③，得－1<10＋4a ＋2b <1，所以－3<8＋4a ＋2b <－1，所以－32<4＋2a ＋b <－12. 由②知－12<4＋2a ＋b <12，矛盾，实用文档所以假设不成立，即|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.18、(1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13. ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k (2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k ＝1. ∴n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．19、①解如图①所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.所以1AD2＝1AB2＋1AC2.类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，实用文档AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.②如图②，连接BE交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．实用文档实用文档20、证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2 只须证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋2，∵a >0，故只要证(a 2＋1a 2＋2)2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22. 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2. 从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a . 只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2 即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．21、解 (1)a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1.证明：①当n ＝1时，由a 1＝1＝1得结论成立；实用文档②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即a k ＝k －k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k) ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1k －k －1)，从而有a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，又由a k ＋1>0，解得a k ＋1＝－2k ＋4k ＋42＝k ＋1－k ，这说明当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，a n ＝n －n －1对任意正整数n 都成立．22、证明 假设a ＋b 为有理数，则(a ＋b )(a －b )＝a －b ，由a >0，b >0，得a ＋b >0.∴a－b＝a－b a＋b∵a、b为有理数且a＋b为有理数．∴a－ba＋b，即a－b为有理数．∴(a＋b)＋(a－b)，即2a为有理数．从而a也就为有理数，这与已知a为无理数矛盾，∴a＋b一定为无理数．实用文档。