复合函数求导法则
复合函数的求导法则推导过程
复合函数的求导法则推导过程1.常数规则：如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
2. 变量规则：如果f(x) = x^n是一个幂函数，那么它的导数可以通过幂函数的微分公式计算得到，即f'(x) = nx^(n-1)。
3.和差规则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的和与差的导数可以通过和差的基本性质得到，即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
4. 乘积规则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的乘积的导数可以通过乘积法则得到，即(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
在掌握了基本的导数规则后，我们开始推导复合函数的求导法则。
设有两个函数f(x)和g(x)，并且它们都是可导的。
我们定义一个新的函数h(x)=f(g(x))，即将g(x)作为输入，代入f(x)中得到输出。
我们希望求解h(x)的导数h'(x)。
为了推导复合函数的求导法则，我们采用数学归纳法的思想，从简单的情况开始考虑，逐步推导更一般的情况。
首先考虑最简单的情况，即g(x)=x。
我们将x作为输入代入f(x)中得到f(x)的导数f'(x)，同时，由于g(x)=x，所以g'(x)=1、根据乘积规则，可以得到h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f'(x)。
接下来，考虑g(x) = a（a为常数）。
由于g(x)是常数，所以g'(x) = 0。
根据乘积规则，可以得到h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) =f'(x)a = af'(x)。
考虑一般情况，即g(x)不再是一个常数。
我们假设g(x)的导数g'(x)存在，并且f(x)的导数f'(x)也存在。
复合函数的求导法则,反函数的求导法则
数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设 ，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x
g[ f ( x )] g[ f ( x )]
f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x
e
x ln x
e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
复合函数的求导法则.
复合函数的求导法则是指对于一个复合函数而言，求导时
需要将自变量和函数进行分离，分别对自变量和函数求导，
再求和。
具体来说，复合函数的求导法则可以分为两种情况:
1. 直接求导法则
如果复合函数的内层函数是简单函数(即只包含一个自变
量的函数)，那么可以直接按照求导法则对内层函数进行求导，然后利用链式法则对外层函数进行求导。
例如，对于函数
f(x)=x^2+2x,求f(x)的导数，可以按照以下步骤进行:
f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + 2(x^2)'x = x^2 + 4x
其中，x^2的导数为2x,2x的导数为2,x的导数为1。
2. 间接求导法则
如果复合函数的内层函数是复合函数，那么需要先将内层
函数转化为简单函数，然后再按照求导法则对简单函数进行
求导。
例如，对于函数f(x)=sin(wx+b),求f(x)的导数，可
以按照以下步骤进行:
f'(x) = (sin(wx+b))' = (sin(wx+b))'w·cos(wx+b) + (sin(wx+b))'b·sin(wx+b) = w·cos(wx+b) + b·sin(wx+b)
其中，w为常数，表示角速度，cos(wx+b)为在wx+b方向
上的余弦函数，sin(wx+b)为在wx+b方向上的正弦函数。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数的导数求解方法是通过链式法则来完成的，链式法则是微分学中的一条重要定理，用于计算复合函数的导数。
链式法则的公式如下：设函数y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，且y=f(u)及u=g(x)都是定义在实数集上的函数，则复合函数y=f(g(x))是可导的，其导数为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/dx表示复合函数y = f(g(x))的导数，dy/du表示函数y = f(u)关于u的导数，即f'(u)，du/dx表示函数u = g(x)关于x的导数，即g'(x)。
链式法则的理解可以形象地理解为：复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数的导数。
具体而言，链式法则可以分为两个步骤：1.外层函数对内层函数的导数：首先计算函数y=f(u)关于u的导数，即f'(u)。
这一步是对内层函数的导数进行计算。
2.内层函数对自变量的导数：然后计算函数u=g(x)关于x的导数，即g'(x)。
这一步是对自变量的导数进行计算。
最后，将两个步骤得到的导数相乘，即得到复合函数y = f(g(x))关于自变量x的导数dy/dx。
链式法则的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的复合函数的导数，包括多元函数、隐函数和参数方程等等。
下面将针对一些常见的函数类型，给出链式法则的具体应用示例：1.多项式函数：对于多项式函数y=f(u)=a_n*u^n+a_{n-1}*u^{n-1}+...+a_1*u+a_0，其中u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算得到。
例如，设y = (3x^2 + 2x + 1)^3，则u = g(x) = 3x^2 + 2x + 1，可以求出du/dx = 6x + 2、然后，求f(u)关于u的导数，有df/du =3u^2、最后，根据链式法则，复合函数y = (3x^2 + 2x + 1)^3关于x的导数dy/dx = df/du * du/dx = 3u^2 * (6x + 2) = 3(3x^2 + 2x +1)^2 * (6x + 2)。
复合函数求导法则证明
复合函数求导法则证明
复合函数求导法则是一种重要的数学求导法则，它可以帮助我们更加精确地求出复合函数
的导数。
复合函数求导法则的定义是：如果f(x)和g(x)是可微的函数，那么
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
这个定义表明，复合函数的导数等于复合函数中的每一个函数的
导数乘积。
为了证明复合函数求导法则，我们可以使用微积分中的基本定理，即如果f(x)和g(x)是可
微的函数，那么[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
我们可以使用这个定理来证明复合函数求导法则。
首先，我们假设f(x)和g(x)是可微的函数，那么[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
根据这个定理，
我们可以得出复合函数求导法则的结论：如果f(x)和g(x)是可微的函数，那么
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
因此，我们可以得出结论：复合函数求导法则是一种重要的数学求导法则，它可以帮助我们更加精确地求出复合函数的导数。
它的定义是：如果f(x)和g(x)是可微的函数，那么
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
通过使用微积分中的基本定理，我们可以证明复合函数求导法则
的正确性。
3.3 复合函数求导法则
解: y [ f ( e x ) ] e
x
f (x)
f ( e )[ e
xfBiblioteka (x) xf (x)]
f ( x )
f ( e ) e e
x
f ( e )e
f (x)
y f (sin
2
x ) f (cos
2
x ), 求 y .
2 2 key : y f (sin x )2 sin x cos x f (cos x )2 sin x cos x
sin 1 x
, 2） y arcsin
2
, 3） y arctan
x a
2
1 x
tan
6
2x
tan 3 x , 5） y
a arccos （ x 0 , a 0） x
作业：P71 1(1)(2)(4)(5);2(2)(3)(4)(7)(8) 选做：3；5
x x0
f ( u 0 ) g ( x 0 ) f [ g ( x 0 )] g ( x 0 )
(3 4)
写成导函数的形式为
dy dx
简写为
( f [ g ( x )] ) f [ g ( x )] g ( x ) dy dx dy du du dx
e
x
x
sin
2 x , 求 y
x
x
) sin
2x e
(sin
cos
2 x )
2x (
2
( x ) sin
sin
2x e
x
x
2 x )
e
e
复合函数的求导法则
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：
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导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y ， 求 z 和z . x y
即 z f[(x ,y )x ,y ],令 vx, wy,
v 1, w 0,
x
x
zf uf, x u x x
v 0, w 1.
y
y
区
z f uf . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数zf[(x,y),x,y]中 的 u 及 y 看 作 不
中 的y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 变 而 对 x 的 偏 导 数
同理有 f2, f11, f22.
w x
f u f v
u x v x
f1yfz2 ;
2w xz
( z
f1
yzf2)
fz1yf2yzfz2;
f 1 z
fu1uzfv1vz f1 1xf1 y ;2
f 2 z
f2uf2v u z v z
f2 1xf2 y ;2
于是
2w xz
f11xfy12 yf2 y(f z 2 1xf2 y )2
连续偏导数，求 w 和 2w . x xz
（3）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一 切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结 构图相同。
二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1设 zf(x2y2,x),f C (2),求 2z,2z.
y
x2 x y
例 2z y f(x y ,x 2 y ),f C (2 ),求 z, z, 2 z. x y x y
z t u z u t v z v t1 u t2 v t
当 t 0 时 ， u 0 ， v 0
u du, t dt
v dv, t dt
d zli m zzd u zd.v dt t 0 t udtvdt
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 d zzd uzd vzdw dtudtvdtwdt
第四节 复合函数的求导法则
------链式法则
情形一: 中间变量为多元函数
zf[(x,y) ,(x,y)]
如果u ( x, y) 及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
dzzduzdv． dt udt vdt
证 设t获得增t量 ，
则 u (t t)(t), v (t t)(t);
由 于 函 数 z f ( u ,v ) 在 点 ( u ,v ) 有 连 续 偏 导 数
z u z u v z v1 u 2 v ,
当 u 0， v 0时 ，1 0 ， 2 0
例 5z=f(x2,e2x),f可 微 ,求 dz. dx
情形三:中间变量既有一元函数,又有多元函数
z f( u ,v ) ,u u ( x ,y ) ,v v ( y ) ,则
z f u u u x z f u f dv v u y v dy
特别一: zf(u ,x,y) 其中 u(x,y)
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z y
z u
u y
z v
v y
z w
w y
.
z
ux v wy
情形二:中间变量为一元函数
定理 如果函数u(t)及v(t)都在点t 可
导，函数z f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏
导数，则复合函数z f[(t),(t)]在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
解 z z u z v x u x v x
eusivn yeuco v1 seu(ysivn co v)s, z z u z v y u y v y
e u sv ix n e u cv o 1 s eu(xsivncov)s.
例 2z(x2y2)sin(x3y),求 z和 z. x y
例 3zf(xy,x),f可 微 ,求 z和 z.
y
x y
类似地再推广，设u ( x, y) 、v ( x, y) 、
w w( x, y) 都在点( x, y) 具有对x 和y 的偏导数，复合
函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
特别二:z f (u),u(x, y),
则z df u x du x
例6 zsinx,求z和z. y x y
例 7 设w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z , vxy;z
记
f1
f(u,v), u
f122fu(uv,v),
u
zv
t
w
以上公式中的导数 dz
dt
称为全导数.
例 4 设 z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
解 d zzd uzd vz dtudtvdtt vte u sit n co t s e tcto e tsti n ctos
et(cto ssit)n co t. s
f 1 1 y ( x z ) f 1 2 x 2 z f 2 y 2 y f 2 .
小结：（多元复合函数求偏导数——链式 法则，应注意以下几点）
（1）先要搞清复合关系，哪些是自变量，哪些 是中间变量，要画结构图；
（2）对某个自变量求偏导数时，要经过一切与 其有关的中间变量，最后归结到该自变量。
例3 设uyf(x)xg(y),其中f、g具有二阶导数, yx
求x2u2,x2uy及xx2u2 yx2uy.
注意：对抽象f函 (u,v数 ), 其偏导 fu、 数 fv或f1、 f2 均仍然是多元 ,它 复们 合 f与 具 函有 数相同的 变量和相同.的自变量
例 4 设 w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶