解答排列与组合问题的四种策略
排列组合解题策略大全(十九种模型)
先在正副班长中选 1 人：C12
，再在剩余
4
名战士中选 3 人：C34
，最后对选出的 4
人进行全排列：A44
，总共 C12
C34
A
4 4=192Fra bibliotek四、相邻元素捆绑法
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再 与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余 4 人共 5 个元作全排列，有 A55 种排法，而甲乙、丙、之间又有 A33
种排法，故共有 A55 A33 = 720 种排法。
3、7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？ 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 1、（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数有多少？
3
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共 A66 = 720 种，选 C .
（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种 不同排法？
先排末位： C13 ，再排首位： C14 ，最后排中间三位： A34 共有： C13 C14 A34 =288
2、7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的 3 个位置：A24 ;再在其余 5 个位置种剩余的 5 种花：A55 ；总共：A24 A55 =1440
排列组合的常见模型(1)
4 n 4 3 34 排列组合的常见模型（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求 的元素。
例如：用0,1, 2,3, 4 组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是 0，所以先处理首位，共有 4 种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为 N = 4 ⨯ A 4= 96种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再 用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如：在 10 件产品中，有 7 件合格品，3 件次品。
从这 10 件产品中任意抽出 3 件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少 1 件次品”包含 1 件，2 件，3 件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。
N = C 3 - C 3 = 85 （种）1073、先取再排（先分组再排列）：排列数 A m是指从 n 个元素中取出 m 个元素，再将这 m 个元素进行排列。
但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。
例如：从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，分别从事 3 项不同的工作，若这 3 人中只有一名女生，则选派方案有多少种。
解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生， 共有 C 2C 1 种可能， 然后将选出的三个人进行排列： A 34 33C 2C 1 A 3 = 108 种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如：5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余 3 个元素排列，则共有 A 4种位置，第二步考虑。
排列组合解题方法
排列组合解题方法
排列组合是一个数学问题，也是一个常见的解题方法。
在解决排列组合问题时，可以
按照以下步骤进行操作：
1. 确定问题中的元素个数和要求的组合方式。
例如，给定一组数字，要求按照一定的
规则进行排列或组合。
2. 确定排列或组合的顺序。
排列是指考虑元素的顺序，组合是指不考虑元素的顺序。
3. 根据题目要求确定进行排列或组合的元素个数。
例如，给定一组数字，要求从中选
取特定个数的数字进行排列或组合。
4. 根据排列或组合的特性，确定计算排列或组合的公式。
例如，排列可以使用阶乘来
计算，组合可以使用组合公式来计算。
5. 根据公式计算排列或组合的结果。
6. 根据题目要求，处理计算结果。
例如，将排列或组合的结果进行排序、筛选或统计。
在实际解题时，可以参考以上步骤进行操作。
根据具体的问题，选择合适的方法和公
式进行计算，最终得出满足题目要求的排列组合结果。
排列组合问题的解答策略
排列组合问题的解答策略一、排列组合综合应用的一般方法在解决实际问题中，要认真审题，分清是排列还是组合，有序排列，无序组合。
（1）直接法。
对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，从特殊入手，先满足特殊元素或特殊位置，再满足其他元素或位置。
（2）间接法（正难则反）。
对于某些排列组合问题，正面情况比较复杂，而反面情况比较简单，可先不考虑限制条件，计算出排列组合总数，再减去其反面情况的排列组合数。
例1．1名老师和4名学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，共有多少种排法？解法1：（特殊元素法）老师在中间的三个位置上任选一个位置的选法有13A 种，然后4名学生在剩余的位置上排列，排法有44A 种，所以共有13A ·44A =72种。
解法2：（特殊位置法）先安排两端站2名学生，有24A 种方法，其余位置的排法有33A 种方法，所以排法种数是24A 33A =72种。
解法3：（间接法）先把5人全排有55A 种，再减老师排在两端时的12C 44A 种，所以排法种数为55A -12C 44A =72种。
例2．从10种不同作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果要求甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同放法共有多少种？解：（特殊位置）从甲乙以外的8种种子中选1个放入第1号瓶，有18C 种方法，再从乘下9种种子中选5种放在其余5个瓶中有59A 种放法，所以有18C ·59A =120960种放法。
二、常见的排列问题1、含有特殊元素，特殊位置问题——特殊优先法对于带有特殊元素、特殊位置的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与位置，即特殊优先法。
2、相邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素捆绑在一起看作一个“元”，与其他元素排列，然后松绑对“元”内部元素排列。
例3．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种。
A 、720种 B 、360种 C 、240种 D 、120种解析：5252240A A = 选C3、“小团体”排列问题——捆绑法对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”捆绑看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。
如何有效解决初中数学中的排列与组合问题
如何有效解决初中数学中的排列与组合问题数学是一门精确的科学，其中的排列与组合问题是初中数学中的重要内容之一。
掌握排列与组合的解题方法，不仅可以提高数学成绩，还能培养逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍如何有效解决初中数学中的排列与组合问题。
一、排列与组合基础知识概述在解决排列与组合问题之前，首先需要了解排列与组合的基本概念。
1. 排列：从一组不同的元素中取出一部分进行排列的方式，称为排列。
若从n个元素中取出m个元素进行排列，记作A(m,n)或P(m,n)，则有：A(m,n) = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-m+1) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘。
2. 组合：从一组不同的元素中取出一部分进行组合的方式，称为组合。
若从n个元素中取出m个元素进行组合，记作C(m,n)，则有：C(m,n) = A(m,n) / m! = n! / (m! × (n-m)!)其中，m!表示m的阶乘。
以上是排列与组合的基础概念和公式，接下来将介绍如何利用这些知识解决数学题目。
二、排列与组合问题的解题方法1. 利用公式解题：若题目给定了元素的个数和要求的排列或组合的个数，可以直接利用排列或组合的公式计算出结果。
例如，题目要求从8个不同的元素中取出3个元素进行排列，可以计算出A(3,8) = 8 × 7 × 6 = 336。
如果题目要求从8个不同的元素中取出3个元素进行组合，可以计算出C(3,8) = A(3,8) / 3! = 336 / (3 × 2 × 1) = 56。
2. 分类讨论解题：有些排列与组合问题需要进行分类讨论，根据不同的情况进行解答。
例如，题目要求某班有8位学生，其中4位男生和4位女生，从中选出3位学生组成科学小组。
首先可以将问题进行分类，分别讨论男生全部、女生全部和男女各一种情况下的排列或组合方法。
解排列组合问题的十七种常用策略
解排列组合问题的十七种常用策略排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。
同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。
根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置113344A A A注：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 2545A A 1440二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
522522A A A =480注：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多少种？ 20三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有46A 种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A =43200种注：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
高中数学排列与组合算法解题思路
高中数学排列与组合算法解题思路在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念，也是解题的常见考点之一。
掌握排列与组合的算法解题思路，对于高中学生来说是非常重要的。
本文将以具体的题目为例，分析和说明排列与组合的考点和解题技巧，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、排列问题排列问题是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的问题。
常见的排列问题有全排列、循环排列等。
1. 全排列问题全排列问题是指从给定的元素中选取所有的元素按照一定的顺序排列的问题。
下面以一个具体的例题来说明全排列的解题思路。
例题：有三个不同的字母A、B、C，从中选取两个字母进行排列，列出所有可能的情况。
解题思路：根据排列的定义，我们知道在这个问题中，有3个元素，选取2个进行排列。
根据排列的计算公式，可以得到全排列的个数为3 × 2 = 6。
我们可以使用穷举法列出所有的情况：AB, AC, BA, BC, CA, CB通过这个例题，我们可以看到全排列问题的解题思路是通过穷举法列出所有的情况，根据排列的计算公式计算出全排列的个数。
2. 循环排列问题循环排列问题是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列，并且最后一个元素与第一个元素相连的问题。
下面以一个具体的例题来说明循环排列的解题思路。
例题：有三个不同的字母A、B、C，从中选取两个字母进行循环排列，列出所有可能的情况。
解题思路：根据循环排列的定义，我们知道在这个问题中，有3个元素，选取2个进行循环排列。
循环排列的个数等于全排列的个数除以元素个数，即6 ÷ 3 = 2。
我们可以使用穷举法列出所有的情况：AB, BC, CA通过这个例题，我们可以看到循环排列问题的解题思路是先计算出全排列的个数，然后除以元素个数得到循环排列的个数，最后使用穷举法列出所有的情况。
二、组合问题组合问题是指从给定的元素中选取若干个元素进行组合的问题。
常见的组合问题有从n个元素中选取m个元素的组合、有重复元素的组合等。
解排列组合问题的十六种常用策略
$number {01}
目 录
• 排列问题 • 组合问题 • 排列与组合的关联 • 解题策略 • 实际应用
01 排列问题
定义与公式
定义
从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n），按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
公式
A(n,m) = n! / (n-m)!
合问题常常涉及到如何合理地分组、分类和整理数据。
统计模型
在建立统计模型时，例如回归分析和生存分析，排列组合问 题涉及到如何选择合适的模型和变量。
金融数学
投资组合优化
在金融数学中，排列组合问题常用于投资组合优化，例如如何合理地分配资产以最小化风险并最 大化收益。
风险管理
在风险管理方面，排列组合问题涉及到如何评估和管理金融风险，例如市场风险和信用风险。
排除法需要准确判断哪些情况需要排除，并正确计算 剩余情况。
分步法
分步法适用于多步骤、多阶段的问题，将问 题分解为多个小步骤或小阶段进行计算。
分步法需要明确每一步骤或阶段的计算方法 和相互之间的关系。
分类法
分类法适用于多种不同类型的问题，将问题按照不同 的类型进行分类，然后分别进行计算。
分类法需要准确判断问题的类型，并正确计算每种类型 的情况。
04 解题策略
直接法
直接法适用于简单问题，可以通过直 接计算得出结果。
直接法需要熟练掌握排列组合的基本 公式和原理。
间接法
间接法适用于不易直接计算的问题， 通过排除或减去不满足条件的情况来 得出结果。
VS
间接法需要准确判断哪些情况需要排 除，并正确计算剩余情况。
排除法
排除法适用于存在多种限制条件的问题，通过排除不 满足条件的情况来得出结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四种 策略 。
晶 －
省
一、捆” “ 的策略
种放 法 ， 想分 成 四部 分 ， 须 用 ３个 隔 板 将 它们 隔 开 。 中 要 只 其
个 选 则 ３２ 种 “ ” 捆 的策略就是对元 素进 ７ 球 ６个 空 ， ３个 空放 隔板 ， 有 Ｃ ＝ ０ 放 法 。
例 ６将２ ． ０个相 同的 小球 放入 编 号 分 别为 １ ２３ ４的 四个 ，， ， 沓 行整体处理的形象化描述 ， 体 ！ 现数学的整体思想，在解决对 盒子 中， 求每 个盒子 中的 球数 不少于 它的编号 数 ， 法总数 。 要 求放
例 ４ 马 路 上 有 编 号 为 １ ２３ … 、０的 十 只路 灯 ， 节 约 ： 、 、、 １ 为 用 电而 不 影 响照 明 ， 以把 其 中的三 只 路 灯 熄 灭 掉 ， 不 能 同 可 但 时熄 灭掉 相 邻 的 两只 或 三 只 灯 ， 问满 足 条件 的 熄灭 三 只 路 灯
与 组 合 问题 的 “ 、 、 、 ” 捆 插 隔 化
１ ．
例 ５ 个相 同的球放入 四个不同的盒子 中， 盒不空有 ：７ 每
多少种 方 法？
解： ７个球 放 入 四 个 不 同的 盒 ，即把 ７个 球 分 成 四 组 ， 不 妨将 ７个 球摆 放 成 一 列 ， 法 分 成 四 部 分 ， 一 种 分 法对 应 一 设 每
迷 津 点 拨
ＷＥ Ｉ Ａ Ａ Ｇ Ｎ Ｌ Ｄ ０Ｈ Ｎ
解答排列 与组合 问题 的 四种策略
（ 只要求写 出式子 ， 不必计算） 解： 先将 ６个歌唱节 目排好 ， 其不同的排 法有 Ａ ６ ， ６ ６种 这 个歌唱节 目的空隙及 两端共七个位置 中再排 ４个舞蹈节 目有 Ａ７ ４ 种排法 ， 则任何 两个舞蹈 节 目不得相邻 的排法有 Ａ６ ４ ７ Ａ 种。
’ 之 间进 行 排 列 。
四 、化 ” “ 的策 略 “ ” 策略体 现 转 化 的 数 学 思 想 ， 求 由此及 彼 、 化 的 寻 由近及
例 １ ：６名 同 学排 成 一排 ， 远 、 易及 难 的 解 题 途 径 ． 转 化 途 径 多种 多样 ， 通 过 以 一 由 其 如 其 中 甲 、 乙 两人 必 须排 在 一 起 物 换成 另一 物 ， 过 构 造 模 型 ， 问题 直观 化 、 象化 ； 通 使 形 的 不 同排 法 有 （ ） 。 种 例 ７求 （ ｂ ｃ ． ａ ＋ ） 的展 开式 有 多少项 ？ ＋
解 ： 甲、 丙 捆 绑 起 来 看 作 一 个 元 素 ， 其 余 ４个 共 ５ 项 。 把 乙、 与
个元素作全排 列， Ａ 种排 法， 有 而甲、 丙三人之间又有 Ａ 乙、
也是进 一步 学 习概 率的基 础 ， 决诸如 名额分配、 方程解组数这类 问题题 上有 独特 的作 用， 此 同 时 也 是 高考 的 必考 内容 。 其 法也 称 为 “ 隔板 法 ”
解 题 的 方 法 和 技 ， 多 种 多样 ， ｊ 限 于 篇 幅 ，本 文 介 绍 解 答排 列
由
于 某 几 个 元 素 要 求 相 邻 Ｊ题 ＇ － － Ｉ
解 ：先 在 编 号 １２ ３ ４的 四个 盒 子 内分 别 放 ０ １ ２３个 ，，， ，，，
时 ， 可整 体 考 虑 将 相 邻 元 素视 球 ， 下 １ 球 ， １种 方 法 ； 把 剩 下 的球 分 成 ４组 ， 组 剩 ４个 有 再 每 作 一 个 “ ” 素 ， 其 他 元 素 至 少 １个 ， ｃ ３ ６ 种 ） 大 元 与 有 ３ ８（ 。 ＝ 排 列 ，然 后 再 对相 邻 元 素 内部
的 方 法 有 多少种 ？ 解 析 ： 能 同 时 熄 灭掉 相 邻 的 两只 或 三 只 灯 ， 不 实质 就 是 熄
灭 掉 的任 意 两 只灯 不 能 相 邻 。 宜用 “ ” 。 插 法
解 ： 着的 ７只灯 是 不加 区别的 ， 亮 其排 列情 况只有 １ ． ７ 种这 只 灯之 间有 ８ 间 隙 ， ３只熄 灭 的灯 “ 个 将 插入 ” 隙 ， 间 共有 ｃ 种
排 列 组 合 问 题 历 来是 高 中 数 学教 学 的 重 点 和 难 点 之 一 ，
・
“ 法． ， 条件 的熄 灭三 只路 灯的 方法有 １ ６种 。 插” 因此 满足 Ｘｃ ＝５ 三 、隔 ” “ 的策 略 “ 的 策 略是 排 列 与 组 合 中一 种 较 典 型 的 方 法 ， 隔” 它在 解
（ ７０ （ ３０ Ａ）２ Ｂ） ６
（ ２０ Ｃ） ４ （ ）２ Ｄ １０
解： 易知展 开 式 的 每 一 项 都 形如 ｍａｂ ｃ， ｘ ｙ ｚ ５其 ｘｙｚ 且 ＋ ＋ ＝ （ 中 ｘＹ 都 是 非 负整数 ） ，ｚ ， 。
解 ：因 甲、 乙两人要排 在 一 起。 故将 甲、 ，
排法， 由乘法原理可知， 共有 Ａ－２ ２ ０ ２ ４ 种不同排法， ｃ） ， ＝ Ａ 选（
例２ ：７名 同学 排 成 一排 ， 中 甲 、 、 三 人 一 定 相邻 ， 其 乙 丙 问有 多 少种 不 同的排 列 方 法？
。 ．
即 Ｘ＋ ｚ ８有多 少组不同的正整数解 ｙ＋ ＝ 利用隔板 法可 求的 Ｃ２ Ｃ ８１８ ＝ １ ３ｍ ３ ０ ４ ２ ，即展开式共有 ２ １ ＝ ｑ １
一
该 问题转化为 求这一方程有多少组不 同的非负整数解
．
’ ＋ ＋ ＝ ，．ｘ １ ＋ ｙ １ ＋ ｚ １＝ ｘ ｙ ｚ ５ ．（ ＋ ） （ ＋ ） （ ＋ ） ８ ‘
人， 与其 余 四人进 行全 排列 有 种排 法 ， 甲、 又 乙两人之 间有 种
．
．
ｘ ０ｙ≥０ ｚ ０设 ×＝＋１ Ｙ＝ ， ≥ ， ，≥ ， ＋１ Ｚ＝＋１