反函数的求导法则辨析
高等数学 2-3反函数的导数、复合函数求导法则
思考题
若 在 不可导， 在 可导，且 ，则 在 处（）．
（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（3）
例： 在 处不可导，
取 在 处可导，
在 处不可导，所以1错
在 处可导，
在 处可导，所以2错
证：
于是有
例1
解：
同理可得
例2
解：
特别地
二、复合函数的求导法则
定理
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证：
推广：
例3
解：
例4
解：例5解：Fra bibliotek例6解：
例7
解：
三、小结
反函数的求导法则（注意成立条件）;
复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;
章节题目
第三节反函数的导数、复合函数求导法则
内容提要
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
重点分析
复合函数的求导法则
难点分析
利用复合函数的求导法则时注意函数的复合过程、合理分解、正确使用链导法
抽象函数求导
习题布置
：1（单）、2（单）、3（单）、5
备注
教学内容
一、反函数的导数
定理
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
第二节 反函数与复合函数的导数(本科)
e x tan(e x )
13
例8 解：
求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
10( x 2 1)9 ( x 2 1) y
10( x 1) 2 x
2 9
20 x( x 1) .
2 9
14
例9 求函数 y ln x 1 ( x 2) 的导数. 3 x2 1 1 2 解： y ln( x 1) ln( x 2), 2 3 1 1 1 x 1 2 y 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2)
1. 常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
18
2. 函数的线性组合、积、商的求导法则
设u u( x ), v v( x ) 都可导, 则
( 1 ) ( u v ) u v , , R. ( 2) (u . v ) u v uv .
u u v uv ( 3) (v 0). 2 v v
6
二、复合函数的求导法则
复合函数 y f [ ( x)] 在 x0 处可导，且
链导法则
如果 u (x) 在 x0 处可导，而y f (u ) 在u0 ( x0 )点可导，则
dy dx
x x0
dy dy du f (u 0 ) ( x0 ) ， 简记为 dx du dx 。
反函数的求导法则
dx
dx du dx
例例1130．ylncos(e x) 求 dy dx
解解 dy [ln cos(ex)] 1 [cos(ex)]
dx
cos(ex)
1 [sin(ex)](ex)ex tan(ex) cos(ex)
例 例141．1
y
esin
1 x
求 dy
dx
解解
dy
(esin
1 x
)
esin 1x
(sin
1
)
esin
1 x
c
os
1
(
1
)
dx
x
xx
1 x2
esin
1 x
cos 1 x
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四、基本求导法则与导数公式
•基本初等函数的导数公式
(1) (C)0
(2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x
复合而成的
因因此此
ddyyddyydduu ccoossuu22((11xx22))((22xx))22 22((11xx22))ccooss 22xx
ddxx dduu ddxx
((11xx22))22 ((11xx22))22 11xx22
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复合函数的求导法则: dy f (u)g(x) 或 dy dy du
(16)
(arccotx) 1 1 x2
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四、基本求导法则与导数公式
•函数的和、差、积、商的求导法则
(1) (u v)u v (2) (Cu)Cu (C是常数)
大学高等数学 2-3反函数的导数 复合函数求导法
d dy dx = y ( x( y )) = dx dx dy
例3 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
dy dy du 1 cos x = cot x ∴ = ⋅ = ⋅ cos x = dx du dx u sin x
思考题 不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导 ， u = g ( x ) 在 x 0 可导 ， 且 u0 = g ( x 0 ) ， 则 f [ g ( x )]在 x 0 处 （ ）．
3
1 7、 8、 7、 ； 8、 . 2 2 (1 + x ) 2 x (1 − x ) 2 1 − x (arccos x ) 三、
π
f ( x ) f ′( x ) + g ( x ) g ′( x ) f ( x) + g ( x)
2 2
.
dy = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ ( x 2 + 1)′ dx = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ 2 x = 20 x ( x 2 + 1) 9 .
x 2 a2 x 2 a − x + arcsin 的导数 . 例5 求函数 y = 2 2 a ( a > 0) 2 x a x 解 y ′ = ( a 2 − x 2 )′ + ( arcsin )′
思考题 不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导 ， u = g ( x ) 在 x 0 可导 ， 且 u0 = g ( x 0 ) ， 则 f [ g ( x )]在 x 0 处 （ ）．
(1)必可导 （ 2） 必不可导 ；（ 3） 不一定可导 ； 必可导（ 必不可导；（ 不一定可导；
反函数的导数
练习题答案
2x 2、 3、 一、1、8( 2 x + 5) ； 2、sin 2 x ； 3、 ； 4 1+ x x tan 2 x ln 10(tan 2 x + 2 x sec 2 2 x ) ； 4、 5、 4、− tan x ； 5、10 1 2 tan k x k −1 2 2 xf ′( x ) ； 7、e 6、 7、 6、 ⋅ k tan x ⋅ sec x , . 2 x 2 x cos 2 x − sin 2 x 2、 二、1、 2 ； 2、 ； 2 2 x x x −1 1 4、 ； 4、csc x ； 3、 2 2 a +x x 2 arcsin e arctan x 2； 5、 6、 5、 6、 ； 2 2 x (1 + x ) 4− x
一、反函数的导数
定理 如果函数x = ϕ( y)在某区间I y内单调、可导 内单调、
且ϕ′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间 Ix内也可导, 且有 1 f ′( x) = . ϕ′( x)
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
思考题
不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导， u = g ( x ) 在 x 0 可导，且 u0 = g ( x0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x0 处（ ）． （1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导； ）必可导； ）必不可导； ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（ ） 正确地选择是（3） 例 f ( u) =| u | 在 u = 0 处不可导， 处不可导， 取 u = g ( x ) = sin x 在 x = 0 处可导， 处可导，
反函数、复合函数的求导法则
类似地有：(arccos x) = 1 。
1 x2
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例2．求(arctan x)及(arccot x)。
1 x2
1 x2
dy = dy du = cos u 2(1 x 2 ) (2x)2
dx du dx
(1 x 2 )2
2(1 x 2 )
=
cos
2x
。
(1 x 2 ) 2
1 x2
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
2 反函数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数 基本初等函数的导数公式小结
二、复合函数的求导法则 三、求导法则小结
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
dy dx
=
dy du
du dx
，或 y=yuux
。
例 7． y = 3 1 2x 2 ，求 dy 。 dx
解：
dy
= [(1
1
2x 2 ) 3 ]
二、反函数的求导法则
1 = 1 = 1 = 12. (tan y)′ sec2 y 1+ tan2 y 1+ x (arccot x)′=− 1 2 . 类似地有: 1+ x (arctanx)′ =
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三、复合函数的求导法则
定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y且其导数为
(1) (C)′=0, (2) (xµ)′=µ xµ−1, (3) (sin x)′=cos x, (4) (cos x)′=−sin x, (5) (tan x)′=sec2x, (6) (cot x)′=−csc2x, (7) (sec x)′=sec x⋅tan x, (8) (csc x)′=−csc x⋅cot x, (9) (a x)′=a x ln a, (10) (e x)′=ex,
(11) (loga x)′= 1 , xln a (12) (ln x)′= 1 , x (13) (arcsinx)′= 1 , (arcsinx 1−x2 (14) (arccosx)′=− 1 , 1−x2 (15) (arctanx)′= 1 2 , 1+x (16) (arccotx)′=− 1 2 . 1+x
详细证明 下页
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
dy 例7 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx
解
函数 y =sin
2x 2x 是由 y=sin u , u = 复合而成的, 2 2 1+ x 1+ x
sin1 例11 y =e x ．
dy , 求 . dx
1 dy sin1 sin 1)′=esin1 ⋅cos 1 ⋅(1)′ x 解 =(e x )′ =e x ⋅(sin x x dx x 1 ⋅esin1 ⋅cos 1 x =− 2 . x x
高中数学三角函数的反函数求导法则及应用
高中数学三角函数的反函数求导法则及应用一、引言在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，而其反函数则是求导法则中的一个关键内容。
本文将详细介绍三角函数的反函数求导法则，并结合具体题目进行分析和说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
二、三角函数的反函数求导法则三角函数的反函数求导法则是指，对于一个三角函数f(x)的反函数f^(-1)(x)，其导数可以通过f'(x)的倒数来表示。
具体而言，我们可以利用以下公式来求解：1. 对于正弦函数sin(x)的反函数arcsin(x)，其导数为：(arcsin(x))' = 1 / (sin'(arcsin(x))) = 1 / cos(arcsin(x)) = 1 / √(1 - x^2)2. 对于余弦函数cos(x)的反函数arccos(x)，其导数为：(arccos(x))' = 1 / (cos'(arccos(x))) = -1 / sin(arccos(x)) = -1 / √(1 - x^2)3. 对于正切函数tan(x)的反函数arctan(x)，其导数为：(arctan(x))' = 1 / (tan'(arctan(x))) = 1 / (1 + tan^2(arctan(x))) = 1 / (1 + x^2)三、应用举例下面通过具体的题目来说明三角函数的反函数求导法则的应用。
例题1：求函数y = arcsin(2x)在x = 1处的导数。
解析：根据反函数求导法则，我们知道(arcsin(2x))' = 1 / √(1 - (2x)^2)。
将x = 1代入，得到：y' = (arcsin(2x))'|x=1 = 1 / √(1 - (2*1)^2) = 1 / √(1 - 4) = 1 / √(-3) = 1 / (i√3) = -i / √3例题2：求函数y = arccos(3x)在x = 0处的导数。
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昨天的文章中提到过反函数的求导法则。
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。
这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊：
y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！
出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。
所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3，只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。
因此：
y=x1/3的导函数应该这样求y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)，
=1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则
所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。
我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。
例题：求y=arcsinx的导函数。
首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。
同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。
所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。
最后将y想法设法换成x即可。
相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。