高等数学：第七讲 反函数的导数
反三角函数求导公式的证明
反三角函数求导公式的证明§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单调、可导的，而且)(1)(y x f ϕ'=' (1)证明： ∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知0)()(≠-∆+=∆x f x x f y于是y xx y ∆∆=∆∆1因直接函数)(y x ϕ=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y)(11lim lim00y y x x y y x ϕ'=∆∆=∆∆→∆→∆即：)(1)(y x f ϕ'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 1112113122x x arctgx x a x a x '=-'=+'=证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数函数 y x sin =在)2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (=' 注意到，当)2,2(ππ-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -='证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,)tgy x = 在 I y 上单调、可导且0cos 12>='y x 故2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='='证3a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='='类似地，我们可以证明下列导数公式：(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=--'=-+'=1111122二、复合函数的求导法则如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00x u ϕ=可导，则复合函数])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==证明：因)(lim00u f x y u '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有 )0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y用0≠∆x 去除上式两边得：x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：00→∆⇔→∆u x ， 0lim lim 00==→∆→∆ααu x ])([lim lim 000x u x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆αx u x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim lim lim )(α)()(00x u f ϕ'⋅'=即)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：若u x =ϕ()在开区间I x 可导，y f u =()在开区间I u 可导，且∀∈x I x 时，对应的 u I u ∈，则复合函数])([x f y ϕ=在I x 内可导，且dx du du dy dx dy ⋅= (2) 复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。
反函数求导公式大全
反函数求导公式大全反函数的求导公式可通过链式法则来推导得到。
设有函数y=f(x)，其反函数为x=f^(-1)(y)，则有以下求导公式：1.如果函数y=f(x)在点x处可导，且f'(x)≠0，则反函数x=f^(-1)(y)在对应点y=f(x)处也可导，且有以下关系式：(f^(-1))'(y)=1/f'(x)2.若函数y=f(x)和反函数x=f^(-1)(y)在区间上均可导，且在该区间上f'(x)≠0，则有以下关系式：(f^(-1))'(y)=1/f'(f^(-1)(y))或(f^(-1))'(f(x))=1/f'(x)下面列举一些常见函数及其反函数的求导公式：1.幂函数y=x^n，其中n是常数，且n≠0反函数为x=y^(1/n)，则有：(y^(1/n))'=(1/n)*(y^(1/n-1))2.指数函数y=a^x，其中a是常数，且a>0且a≠1反函数为x = log_a(y)，则有：(log_a(y))' = 1 / (y * ln(a))3.对数函数y = log_a(x)，其中a是常数，且a>0且a≠1反函数为x=a^y，则有：(a^y)' = (a^y) * ln(a)4.三角函数(a)正弦函数y = sin(x)，其中-π/2 ≤ x ≤ π/2反函数为x = arcsin(y)，则有：(arcsin(y))' = 1 / √(1 - y^2)(b)余弦函数y = cos(x)，其中0 ≤ x ≤ π反函数为x = arccos(y)，则有：(arccos(y))' = -1 / √(1 - y^2)(c)正切函数y = tan(x)，其中-π/2 < x < π/2反函数为x = arctan(y)，则有：(arctan(y))' = 1 / (1 + y^2)5.双曲函数(a)双曲正弦函数y = sinh(x)反函数为x = arcsinh(y)，则有：(arcsinh(y))' = 1 / √(y^2 + 1) (b)双曲余弦函数y = cosh(x)反函数为x = arccosh(y)，则有：(arccosh(y))' = 1 / √(y^2 - 1) (c)双曲正切函数y = tanh(x)反函数为x = arctanh(y)，则有：(arctanh(y))' = 1 / (1 - y^2)。
反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数的求导法则当函数f(x)在一些区间上连续、单调且可导时，它在该区间上必存在反函数g(x)。
反函数的导数可以通过以下方法求得。
设函数f(x)的反函数为g(x)，则有f(g(x))=x和g(f(x))=x。
根据反函数的定义，可以得到以下关系：f(g(x))=x (1)g(f(x))=x (2)对方程(1)两边求导，可得：f'(g(x))*g'(x)=1所以g'(x)=1/f'(g(x))同理，对方程(2)两边求导，可得：g'(f(x))*f'(x)=1所以g'(x)=1/f'(f(x))综上所述，反函数的导数可由上述公式求得。
其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，f'(f(x))表示f(x)在x处的导数。
复合函数是由两个或多个函数嵌套而成的，求复合函数的导数需要使用链式法则或其他求导法则。
以下是复合函数求导的常见法则。
1.链式法则设函数y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)均可导。
则复合函数y的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = dy/du * du/dx其中 dy/du 表示函数 f(u) 对 u 的导数，du/dx 表示函数 g(x) 对x 的导数。
2.乘积法则设函数y=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)均可导。
则复合函数y的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = u(x) * dv/dx + v(x) * du/dx其中 du/dx 表示函数 u(x) 对 x 的导数，dv/dx 表示函数 v(x) 对x 的导数。
3.商法则设函数y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)均可导且v(x)≠0。
dy/dx = (v(x) * du/dx - u(x) * dv/dx) / v(x)^2其中 du/dx 表示函数 u(x) 对 x 的导数，dv/dx 表示函数 v(x) 对x 的导数。
常见反函数反函数导数(微分)公式
常见反函数反函数导数（微分）公式反函数：在数学中，一个函数的反函数（inverse function) 是这样一个函数，它与原函数的作用相反。
如果一个函数 f 的定义域为 X，值域为 Y，那么 f^-1 的定义域为 Y，值域为 X，且满足 f(f^(-1)(x)) = x 和 f^(-1)(f(x)) = x，其中 x 属于 X。
反函数是一种非常重要的数学概念，它可以帮助我们解决一系列复杂的数学问题。
通过使用反函数，我们可以在不知道函数的具体形式的情况下，求出方程的解，或者对函数的性质进行推导。
常见的反函数包括：1.幂函数的反函数：这里我们考虑具体的例子，比如f(x)=x^2，那么它的反函数可以表示为f^(-1)(x)=√x，其中x>=0。
可以看出，原函数是单调递增的，而反函数是单调递减的。
2. 指数函数的反函数：比如 f(x) = a^x，其中 a > 0 且a ≠ 1，那么其反函数为 f^(-1)(x) = log_a(x)，其中 x > 0。
这里的反函数就是对数函数。
3. 对数函数的反函数：比如 f(x) = log_a(x)，其中 a > 0 且 a≠ 1，那么其反函数为 f^(-1)(x) = a^x，其中 x 是实数。
反函数导数（微分）公式：反函数的导数也是一个重要的概念，在微积分中经常会用到。
为了计算反函数的导数，我们可以使用链式法则。
假设f和g是互为反函数的函数，如果f在x处可导，且f'(x)≠0，那么g在对应的y=f(x)处也可导，并且有以下公式：g'(y)=1/f'(x)，其中x属于X，y属于Y。
具体的例子如下：1.幂函数的反函数导数：如果f(x)=x^2，那么其反函数f^(-1)(x)=√x，那么有f'(x)=2x，所以反函数的导数为：(f^(-1))'(x)=1/(2√x)，其中x>=0。
2. 指数函数的反函数导数：如果 f(x) = a^x，那么其反函数 f^(-1)(x) = log_a(x)，那么有 f'(x) = a^x * ln(a)，所以反函数的导数为：(f^(-1))'(x) = 1 / (x * ln(a))。
反函数求导
反函数求导
反函数在数学中一般指满足某种关系的一类函数，它们的定义域和值域在某种变换下是完全对立的。
函数求导，是指给定函数的某个点，通过求出函数在该点的切线斜率，来研究整个函数在该点的极值以及函数的变化情况。
反函数求导，就是求取从反函数到另一函数的求导。
由于反函数是完全对立的，所以在反函数求导时，要注意反函数围绕原函数的对称性，即求取的导数的正负符号与原函数左右点的计算正负值相反。
例如，对于函数f(x) = x^2，反函数为f^-1(x) = sqrt(x)，则求取f^-1(x)的导数，在x = 8时，由于f(8)=-8，f(8)=-1，则f^-1(x)的导数应为1/2。
反函数求导的具体过程是：
1.先，将原函数按对称性改写为f(g(x))的形式；
2.后，用求导法则来进行求导，从而可以得到f(g(x))的导数；
3.后，用变量替换法将f(g(x))的导数展开为g(x)的导数。
反函数求导的应用非常广泛，它可以用来求解某种函数的极值点，可以用于求解微分方程，也可以用来求解复杂的函数的极值问题。
总的来说，反函数求导是一项数学理论，它通过求取反函数到另一函数的导数，可以让我们更好地理解函数，并得出更好的解决方案。
反函数求导技术的应用不仅仅可以帮助我们更加准确地求解函数及
其极值，而且还能够为更复杂函数的求解提供有效的帮助。
- 1 -。
反函数求导有什么法则？
反函数求导有什么法则？
反函数求导过程中应该遵循什么法则呢？想知道的考生看过来，下面由小编为你精心准备了“反函数求导有什么法则？”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
反函数求导有什么法则？
反三角函数的求导过程:利用dy/dx=1/(dx/dy)，然后进行相应的换元。
一、反函数求导方法
若F(X),G(X)互为反函数，
则:F'(X)*G'(X)=1
E.G.:y=arcsinx x=siny
y'*x'=1 (arcsinx)'*(siny)'=1
y'=1/(siny)'=1/(cosy)=1/根号(1-sin^2y)=1/根号(1-x^2)
其余依此类推。
二、反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。
它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。
三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。
反三角函数的图像与性质。
反函数的导数怎么求
反函数的导数怎么求
y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）
反函数的导数：
yarcsinx,
那么，siny=x,
求导得到，cosy *y'=1
即y'=1/cosy=1/√[1-(siny)^2]=1/√(1-x^2)
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。
例题：求y=arcsinx 的导函数。
首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy，因为x=siny，所以cosy=√1-x2，所以y‘=1/√1-x2。
1、反函数的导数就是原函数导数的倒数。
2、设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作
y=f^(-1)(x)。
反函数y=f^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
3、若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。
4、求导是数学计算中的一个计算方法。
5、导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商
的极限。
在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
6、除了在某几个原函数的导数为0的点以外，利用原函数的可导性就可以说明反函数可导了。
反函数高阶导数公式推导
反函数高阶导数公式推导一、反函数的导数反函数的定义为：x=f^{-1}(y) \tag{1}这里f^{-1}表示f的逆映射。
该反函数的导数和直接函数的导数关系十分简单：\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}} \\一种非正式但十分方便的说法是：反函数的导 (d\check{a} o) 数等于直接函数的倒(d \grave{a} o) 数。
教材中已经给出过严密的证明，这里不再赘述。
而另一种简单的理解方式则是直接将导数看作“商”来处理。
因为这里所有的“商”对应的极限都是存在的。
（在这篇回答里已经解释过：关于Leibniz记号)。
接下来讨论几个简单却又常在初学时容易犯晕的问题。
二、反函数的高阶导数同济习题2-3.4：设\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y^\prime}，试导出\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3}。
这里容易犯迷糊的问题：（1）\frac{d^2x}{dy^2} 不就已经是反函数的二阶导数了吗？（2）为什么\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3} 不能写成x^{\prime\prime},x^{\prime\prime\prime}？解析：（1）没错！\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3}本来就是反函数的二、三阶导数。
通常问这个问题的原因就是没有读清题意。
这道题的隐含的意思是，要我们包含y^\prime,y^{\prime\prime} 等符号的表达式来表示反函数的导数。
另外也要注意，y,y^\prime,y^{\prime\prime} 本质上都是关于 x 的函数，在它们有显式表达式时都是关于 x 的表达式。
（2）如果我们明确说明x=f^{-1}(y) 的话，用x^{\prime\prime},x^{\prime\prime\prime} 来表示\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本初等函数的导数公式
幂函数 指数函数 对数函数
互为反函数
y ex , dy ex , dx
x ln y,
dx dy
1 y
1 ex
.
三角函数 反三角函数
互为反函数
指数函数与对数函数的 导数互为倒数
隐反函数的导数
定定理义 设若y由=f方(x程)为Fx(=x, y(y))的0反可函确数定。y如是果xx的=函(y数)在,某则区称间此I函y内数 严为格隐单函调数、。可导且 (y) 0，则它的反函数y=f (x)也在对应的
区间Ix内可导，且有 f ( x) 1 ( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
例题：
求y=arcsinx，x(-1,1)的导数。
解 由于y=arcsinx，x(-1,1) 是x=siny，y (-/2, /2)的反函数， 当y (-/2, /2)时，x=siny单调递增、可导，且(siny)=cosy>0，
所以当x(-1,1)时，
(arcsin
x)
1 (sin y)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 .
1 x2
例题：
类似的可得
(arcsin x) 1 .
2
(arctan
x)
1
1 x2
;
(arc cot
x)
1
1 x2
.
谢谢