【最新】2020中考数学考点举一反三讲练第2讲 代数式及整式的运算 (学生版)
2020年中考数学考点讲与练：整式及其运算(含答案)
2020年中考数学考点讲与练：整式及其运算【中考真题】【2019山东】下列运算正确的是A．(−2a)2＝−4a2B．(a+b)2＝a2+b2C．(a5)2＝a7D．(−a+2)(−a−2)＝a2−4透析考纲在中考中整式及整式运算的考查属于高频考点，基本概念如同类项、幂的运算等考查题型以选择题、填空题居多，而整式的运算及乘法公式为历年重点考查内容，选择、填空、解答的题型均会涉及，属于必考知识点.基础知识过关1．由_________或_________的乘积组成的代数式叫做单项式，特别地，单独一个数或字母也是也是_________；_________的和叫做多项式；_________和_________统称为整式.2．每个单项式叫做这个多项式的___________.多项式中不含字母的项叫做___________.多项式中___________项的次数，叫做这个多项式的次数.3．3x2y的系数是_________，次数是_________；3x2y+2xy−1的常数项是_________，是_________次_________项式.4．−3x2y+5x2y=_________5．去括号：a+(b+c)=_________;a−(b+c)=_________.精选好题【考向01】整式的概念 【试题】在式子：−35ab ，2x 2y 5，x+y 2，−a 2bc ，1，x 2−2x +3，3a ，1x +1中，单项式个数为A ．2B ．3C ．4D ．5【好题变式练】 1．下列判断正确的是 A ．3a 2b 与ba 2不是同类项B ．单项式−x 3y 2的系数是−1解题关键用基本的运算符号（指加，减，乘，除，乘方及开方）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．由数字与字母或字母与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，特别地，单独的一个数字或字母也是单项式．C ．m 2n 5不是整式D ．3x 2−y +5xy 2是二次三项式2．对于单项式−3πa 3b 24，下列结论正确的是A ．它的系数是−3π4，次数是5 B ．它的系数是−34，次数是5 C ．它的系数是−34，次数是6D ．它的系数是34，次数是5【考向02】整式的运算【试题】如图，有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到得卡片上算式正确的概率是A ．14B ．12C ．34D ．1【好题变式练】1．下列各式从左到右的变形，正确的是 A ．−x −y =−(x −y)B ．−a +b =−(a +b)C ．(y −x)2=(x −y)2D ．(a −b)3=(b −a)3解题技巧整式的运算属于中考重点考查的知识点，解题的关键是准确掌握运算法则，灵活运用运算律．加减运算中注意去括号及合并同类项，混合运算中还要注意运算顺序．要点归纳整式相关概念（1）由数字与字母或字母与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，特别地，单独一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式．（2）同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也是同类2．化简2xy−(x+3xy)的结果是________．【考向03】乘法公式【试题】下列运算正确的是A．(x+3y)(x−3y)=x2−3y2B．(x−3y)(x−3y)=x2−9y2C．(−x+3y)(x−3y)=−x2−9y2D．(−x+3y)(−x−3y)=x2−9y2【好题变式练】1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为A．a2−b2＝(a−b)2B．a2−b2＝(a+b)(a−b)C．(a−b)2＝a2−2ab+b2D．(a+b)2＝a2+2ab+b22．先化简，再求值：(a−2b)(a+2b)−(a+2b)2，其中a=−2，b=12．解题技巧乘法公式的考查属于高频考点．关键在于准确掌握两个重要公式：平方差公式和完全平方公式，了解公式的几何背景，熟悉公式的形式和结果，并能灵活运用．要点归纳整式的运算：（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项；（2）乘法：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式；过关斩将1．下列计算正确的是A．5ab−3a＝2b B．(−3a2b)2＝6a4b2C．(a−1)2＝a2−1D．2a2b÷b＝2a22．下列各式中，去括号正确的是A．a+(b−c)=a−b−c B．a−(b+c)=a−b+cC．a+2(b+c)=a+2b+c D．a−2(b−c)=a−2b+2c3．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y)．则①x−y ＝n；②xy=m2−n24；③x2−y2＝mn；④x2+y2=m2−n22中，正确是A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④4．请写出单项式−12a3b的系数为________，次数为________．5．多项式3x|m|y2+(m+2)x2y−1是四次三项式，则m的值为________．6．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如(a+b)2＝a2+2ab+b2就可以用图(1)的面积表示，请你仿照图(1)写出图(2)表示的一个等式________．要点归纳乘法公式：（1）平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2．（2）完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．7．已知多项式2x2+my−12与多项式nx2−3y+6的差中不含有x，y，求m+n+mn的值．8．先化简下式，再求值：2x2−[3×(−13x2+23xy)−2y2]−2(x2−xy+2y2)，其中x=12，y＝−1．参考答案过关斩将。
2020年中考数学考点02 整式及因式分解-数学考点一遍过
考点02整式及因式分解一、代数式代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.二、整式1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.3．整式：单项式和多项式统称为整式.4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6．幂的运算：a m·a n=a m+n；（a m）n=a mn；（ab）n=a n b n；a m÷a n=m na .7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.8．乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-.（2）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+.9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加. 三、因式分解1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++. （2）公式法：运用平方差公式：²²()()a b a b a b -=+-. 运用完全平方公式：22²2()a ab b a b ±+=±. 3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式； 为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.考向一代数式及相关问题1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.典例1某商品进价为每件x 元，销售商先以高出进价50%销售，因库存积压又降价20%出售，则现在的售价为元.A ．()()150%120%x ++B ．()150%20%x +⋅C ．()()150%120%x +-D ．()150%20%x +-【答案】C【解析】根据题意：销售商先以高出进价50%销售后的售价为：()150%x +，然后又降价20%出售，此时的售价为：()()150%120%x +-.故选C.【名师点睛】此题考查的是列代数式，解决此题的关键是找到各个量之间的关系，列代数式.1．（2019•海南）当m =–1时，代数式2m +3的值是 A ．–1 B ．0C ．1D ．22．下列式子中，符合代数式书写格式的是 A ．a c ÷ B ．5a ⨯C ．2n mD ．112x考向二整式及其相关概念单项式与多项式统称整式.观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.典例2下列说法中正确的是A ．25xy -的系数是–5 B ．单项式x 的系数为1，次数为0C ．222xyz -的次数是6D ．xy ＋x –1是二次三项式 【答案】D【解析】A.25xy -的系数是–15，则A 错误；B.单项式x 的系数为1，次数为1，则B 错误；C.222xyz -的次数是1+1+2=4，则C 错误；D.xy ＋x –1是二次三项式，正确，故选D.3．按某种标准把多项式分类，334x -与2221a b ab +-属于同一类，则下列多项式中也属于这一类的是 A ．1abc - B ．53x y -+ C ．22x x +D ．222a ab b -+4．下列说法正确的是 A ．2a 2b 与﹣2b 2a 的和为0B ．223a πb 的系数是23π，次数是4次 C ．2x 2y ﹣3y 2﹣1是三次三项式 D ．3x 2y 3与﹣3213x y 是同类项 考向三规律探索题解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.典例3（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：11212312341213214321，，，，，，，，，，…，若第n 个数为57，则n = A ．50 B ．60 C ．62D ．71【答案】B【解析】11212312341213214321，，，，，，，，，，…，可写为：1121231234()()()1213214321，，，，，，，，，，…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为1234566789101111109877554321，，，，，，，，，，，，∴第n 个数为57，则n =1+2+3+4+…+10+5=60，故选B ．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．5．（2019•武汉）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a ，用含a 的式子表示这组数的和是 A ．2a 2-2a B ．2a 2-2a -2 C ．2a 2-aD ．2a 2+a6．（2019•滨州）观察下列一组数：a 1=13，a 2=35，a 3=69，a 4=1017，a 5=1533，…， 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n =__________．（用含n 的式子表示）典例4如图，用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： （1）第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子． （2）第n 个“上”字需用 枚棋子．（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？【答案】（1）18，22；（2）4n+2；（3）102.【解析】（1）∵第一个“上”字需用棋子4×1+2=6枚；第二个“上”字需用棋子4×2+2=10枚；第三个“上”字需用棋子4×3+2=14枚；∴第四个“上”字需用棋子4×4+2=18枚，第五个“上”字需用棋子4×5+2=22枚，故答案为：18，22；（2）由（1）中规律可知，第n个“上”字需用棋子4n+2枚，故答案为：4n+2；（3）根据题意，得：4n+2=102，解得n=25，答：第25个“上”字共有102枚棋子．7．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为A．672 B．673C．674 D．6758．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼搭而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案需小木棒的根数是A．54 B．63C．74 D．84考向四幂的运算幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．典例5下列运算错误的是 A ．（m 2）3=m 6 B ．a 10÷a 9=aC ．x 3·x 5=x 8D ．a 4+a 3=a 7【答案】D【解析】A 、（m 2）3=m 6，故此选项正确，不符合题意； B 、a 10÷a 9=a ，故此选项正确，不符合题意； C 、x 3·x 5=x 8，故此选项正确，不符合题意；D 、a 4和a 3不是同类项不能合并，故此选项错误，符合题意． 故选D ．【名师点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则，熟记法则是解决此题的关键，注意此题是选择错误的，不用误选．9．下列计算中，结果是a 7的是 A ．a 3–a 4 B ．a 3·a 4C ．a 3+a 4D ．a 3÷a 410．阅读下面的材料，并回答后面的问题材料：由乘方的意义，我们可以得到2351010(1010)(101010)101010101010⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 347(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)-⨯-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-．于是，就得到同底数幂乘法的运算性质：问题：（1）计算：①4611()()22-⨯-；②233(3)⨯-．（2）将33332222+++写成底数是2的幂的形式；（3）若252018()()()()p x y x y x y x y -•-•-=-，求p 的值.考向五整式的运算整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．典例6 已知a ﹣b =5，c +d =﹣3，则（b +c ）﹣（a ﹣d ）的值为 A ．2 B ．﹣2 C ．8D ．﹣8【答案】D【解析】根据题意可得：（b +c ）﹣（a ﹣d ）=（c +d ）﹣（a ﹣b ）=﹣3﹣5=﹣8，故选D ．11．一个长方形的周长为68a b +，相邻的两边中一边长为23a b +，则另一边长为A ． 45a b +B ．a b +C ． 2a b +D ．7a b +12．已知213x a b 与15y ab 的和是815x y a b ，则x y -等于 A ．–1 B ．1 C ．–2D ．2典例7 若（x +2）（x –1）=x 2+mx –2，则m 的值为A．3 B．–3C．1 D．–1【答案】C【解析】因为（x+2）（x–1）=x2–x+2x–2=x2+x–2=x2+mx–2，所以m=1，故选C．13．已知（x+3）（x2+ax+b）的积中不含有x的二次项和一次项，求a，b的值．考向六因式分解因式分解的概念与方法步骤①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.典例8下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是A．（x+1）（x–1）=x2–1 B．x2–2x+1=x（x–2）+1C．x2–4y2=（x–2y）2D．x2+2x+1=（x+1）2【答案】D【解析】A、右边不是积的形式，故本选项错误；B、右边不是积的形式，故本选项错误；C 、x 2–4y 2=（x +2y ）（x –2y ），故本项错误；D 、是因式分解，故本选项正确． 故选D ．14．下列因式分解正确的是A ．x 2–9=（x +9）（x –9）B ．9x 2–4y 2=（9x +4y ）（9x –4y ）C ．x 2–x +14=（x −14）2 D ．–x 2–4xy –4y 2=–（x +2y ）2典例9把多项式x 2﹣6x +9分解因式，结果正确的是 A ．（x ﹣3）2B ．(x ﹣9）2C ．（x +3）（x ﹣3）D ．（x +9）（x ﹣9）【答案】A【解析】x 2﹣6x +9=（x ﹣3）2，故选A ．15．分解因式：()2224a a +--=_________________．16．已知a ﹣b =1，则a 3﹣a 2b +b 2﹣2ab 的值为A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．21．已知长方形周长为20cm ，设长为x cm ，则宽为 A ．20x - B ．202x- C ．202x -D ．10x -2．已知3a ﹣2b =1，则代数式5﹣6a +4b 的值是 A ．4B ．3C ．﹣1D ．﹣33．在0，﹣1，﹣x ，13a ，3﹣x ，12x -，1x中，是单项式的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4．若多项式()2215134mx y m y -+-是三次三项式，则m 等于 A ．-1 B ．0 C ．1D ．25．如果2x 3m y 4与–3x 9y 2n 是同类项，那么m 、n 的值分别为 A ．m =–3，n =2 B ．m =3，n =2 C ．m =–2，n =3D ．m =2，n =36．下列算式的运算结果正确的是 A ．m 3•m 2=m 6B ．m 5÷m 3=m 2（m ≠0）C ．（m −2）3=m −5D ．m 4﹣m 2=m 27．计算（﹣ab 2）3的结果是 A ．﹣3ab 2 B ．a 3b 6 C ．﹣a 3b 5D ．﹣a 3b 68．已知x ＋y =–1，则代数式2019–x –y 的值是 A ．2018 B ．2019C ．2020D ．20219．三种不同类型的纸板的长宽如图所示，其中A 类和C 类是正方形，B 类是长方形，现A 类有1块，B 类有4块，C 类有5块.如果用这些纸板拼成一个正方形，发现多出其中1块纸板，那么拼成的正方形的边长是A ．m +nB ．2m +2nC ．2m +nD ．m +2n10．把多项式ax 3-2ax 2+ax 分解因式，结果正确的是A ．ax （x 2-2x ）B ．ax 2（x -2）C ．ax （x +1）（x -1）D ．ax （x -1）211．观察下图“”形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n 的值为A ．241B ．113C ．143D ．27112．如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前m 个格子中所填整数之和是1684，则m 的值可以是9a bc—51…A ．1015B ．1010C ．1012D ．101813．若229a kab b +-是完全平方式，则常数k 的值为 A ．±6 B ．12 C ．±2D ．614．若有理数a ，b 满足225a b +=，2()9a b +=，则4ab -的值为A ．2B ．–2C ．8D ．–815．下列说法中，正确的个数为①倒数等于它本身的数有0，±1；②绝对值等于它本身的数是正数；③–32a 2b 3c 是五次单项式；④2πr 的系数是2，次数是2；⑤a 2b 2–2a ＋3是四次三项式；⑥2ab 2与3ba 2是同类项． A ．4 B ．3 C ．2D ．116．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x 值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2017次得到的结果为A ．1B ．2C ．3D ．417．已知单项式1312a x y --与23b xy -是同类项，那么a b -的值是___________. 18．分解因式：3x 3﹣27x =__________．19．某种商品的票价为x 元，如果按标价的六折出售还可以盈利20元，那么这种商品的进价为__________元（用含x 的代数式表示）．20．下面是按一定规律排列的代数式：a 2、3a 4、5a 6、7a 8、…，则第10个代数式是__________． 21．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，那么n =__________．22．观察下列等式：第1个等式：a 1=11111323⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：a 2=111135235⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：a 3=111157257⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭； …请按以上规律解答下列问题：（1）列出第5个等式：a 5=_____________； （2）求a 1+a 2+a 3+…+a n =4999，那么n 的值为______________． 23．已知21a =+，求代数式223a a -+的值.24．已知2210x x +-=，求432441x x x ++-的值．25．如图，在一块长为a ，宽为2b 的长方形铁皮中，以2b 为直径分别剪掉两个半圆.（1）求剩下的铁皮的面积（用含a ，b 的式子表示）； （2）当a =4，b =1时，求剩下的铁皮的面积是多少（π取3）．26．已知：2277A B a ab -=-，且2467B a ab =-++．（1）求A 等于多少；（2）若21(2)0a b ++-=，求A 的值．27．定义新运算：对于任意数a，b，都有a⊕b=（a﹣b）（a2+ab+b2）+b3，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如5⊕2=（5﹣2）（52+5×2+22）+23=3×39+8=117+8=125．（1）求3⊕（﹣2）的值；（2）化简（a﹣b）（a2+ab+b2）+b3．28．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：a2﹣4a+4=__________．（2）若a2+2a+b2﹣6b+10=0，求a+b的值．（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．1．（2019•锦州）下列运算正确的是A．x6÷x3=x2B．（-x3）2=x6 C．4x3+3x3=7x6D．（x+y）2=x2+y2 2．（2019•上海）下列运算正确的是A．3x+2x=5x2B．3x-2x=xC．3x·2x=6x D．3x÷2x2 33．（2019•滨州）若8x m y与6x3y n的和是单项式，则（m+n）3的平方根为A．4 B．8C．±4 D．±8 4．（2019•毕节市）如果3ab2m-1与9ab m+1是同类项，那么m等于A．2 B．1C．-1 D．0 5．（2019•海南）当m=-1时，代数式2m+3的值是A．-1 B．0C．1 D．2 6．（2019•台州）计算2a-3a，结果正确的是A．-1 B．1C．-a D．a 7．（2019•怀化）单项式-5ab的系数是A．5 B．-5C．2 D．-28．（2019•黄石）化简13（9x-3）-2（x+1）的结果是A．2x-2 B．x+1C．5x+3 D．x-39．（2019•连云港）计算下列代数式，结果为x5的是A．x2+x3B．x·x5C．x6-x D．2x5-x510．（2019•眉山）下列运算正确的是A．2x2y+3xy=5x3y2B．（-2ab2）3=-6a3b6C．（3a+b）2=9a2+b2D．（3a+b）（3a-b）=9a2-b2 11．（2019•绥化）下列因式分解正确的是A．x2-x=x（x+1）B．a2-3a-4=（a+4）（a-1）C．a2+2ab-b2=（a-b）2D．x2-y2=（x+y）（x-y）12．（2019•湘西州）因式分解：ab-7a=__________．13．（2019•常德）若x2+x=1，则3x4+3x3+3x+1的值为__________．14．（2019•南京）分解因式（a-b）2+4ab的结果是__________．15．（2019•赤峰）因式分解：x3-2x2y+xy2=__________．16．（2019•绥化）计算：（-m3）2÷m4=__________．17．（2019•湘潭）若a+b=5，a-b=3，则a2-b2=__________．18．（2019•乐山）若3m=9n=2．则3m+2n=__________．19．（2019•怀化）合并同类项：4a2+6a2-a2=__________．20．（2019•绵阳）单项式x-|a-1|y与2x1b-y是同类项，则a b=__________．21．（2019•兰州）化简：a（1-2a）+2（a+1）（a-1）．22．（2019•凉山州）先化简，再求值：（a+3）2-（a+1）（a-1）-2（2a+4），其中a12 =-．23．（2019•安徽）观察以下等式：第1个等式：211 111 =+，第2个等式：211 326 =+，第3个等式：211 5315 =+，第4个等式：211 7428 =+，第5个等式：211 9545 =+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．24．（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，则2S=2+22+…+22018+22019②，②-①得2S-S=S=22019-1，∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．1．【答案】C【解析】把m =–1代入代数式2m +3中，得2m +3=2×（–1）+3=1．故选C ． 2．【答案】C【解析】A ．正确的格式为：ac，即A 项不合题意， B ．正确的格式为：5a ，即B 项不合题意， C ．符合代数式的书写格式，即C 项符合题意， D ．正确的格式为：32x ，即D 项不合题意， 故选C ．【名师点睛】本题考查了代数式，正确掌握代数式的书写格式是解题的关键． 3．【答案】A【解析】334x -与2221a b ab +-都是三次多项式，只有A 是三次多项式，故选A ． 4．【答案】C【解析】A 、2a 2b 与-2b 2a 不是同类项，不能合并，此选项错误； B 、23πa 2b 的系数是23π，次数是3次，此选项错误； C 、2x 2y -3y 2-1是三次三项式，此选项正确； D 、3x 2y 3与﹣3213x y 不是同类项，此选项错误； 故选C ． 5．【答案】C变式拓展【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；… ∴2+22+23+…+2n =2n +1-2，∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250， ∵250=a ，∴2101=（250）2·2=2a 2，∴原式=2a 2-a ．故选C ．【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n =2n +1-2． 6．【答案】1(1)22n n n +++【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n +1， 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为(1)2n n +， ∴a n =1(1)(1)22122n n n n n n +++=++，故答案为：1(1)22n n n +++． 【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 7．【答案】A【解析】当有1个黑色纸片时，有4个白色纸片； 当有2个黑色纸片时，有437+=个白色纸片； 当有3个黑色纸片时，有43310++=个白色纸片； 以此类推，当有n 个黑色纸片时，有()431n +-个白色纸片. 当()4312017n +-=时，化简得32016n =，解得672n =.故选A. 故选C ． 8．【答案】A【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒， 拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒， 拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒， 拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒， …拼搭第n 个图案需小木棒n (n +3)=n 2+3n 根. 当n =6时，n 2+3n =62+3×6=54. 故选A.【名师点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的关系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.9．【答案】B【解析】A 、不是同类项不能合并，故此选项错误；B 、a 3·a 4=a 3+4=a 7，故此选项正确；C 、不是同类项不能合并，故此选项错误；D 、a 3÷a 4=a 3–4=a –1=1a ，故此选项错误． 故选B ．【名师点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法法则，熟记法则是解决此题的关键． 10．【解析】（1）①4646101011111()()()()()22222+-⨯-=-=-=； ②23232353(3)3333+⨯-=-⨯=-=-；（2）33333325222224222+++=⨯=⨯=；（3）∵252018()()()()p x y x y x y x y -⋅-⋅-=-，∴2＋p ＋5＝2018，解得：p ＝2011．【名师点睛】本题主要考查的是同底数幂的乘法，正确理解材料中同底数幂乘法的运算性质是解题的关键．11．【答案】B【解析】∵长方形的周长为68a b +，∴相邻的两边的和是34a b +,∵一边长为23a b +，∴另一边长为342334()23a b a b a b a b a b +-+=+--=+，故选B.【名师点睛】由长方形的周长=（长+宽）×2，可求出相邻的两边的和是3a +4b ,再用3a +4b 减去2a ＋3b ，即可求出另一边的长.12．【答案】A 【解析】∵213x a b 与15y ab 的和是815x y a b ，∴213x a b 与15y ab 是同类项，∴1,2x y ==，∴121x y -=-=-.故选A.13．【解析】原式=x 3+ax 2+bx +3x 2+3ax +3b =x 3+ax 2+3x 2+3ax +bx +3b=x 3+（a +3）x 2+（3a +b ）x +3b ，由题意可知：a +3=0，3a +b =0，解得a =–3，b =9．14．【答案】D 【解析】A ．原式=（x +3）（x –3），选项错误；B ．原式=（3x +2y ）（3x –2y ），选项错误；C ．原式=（x –12）2，选项错误； D ．原式=–（x 2+4xy +4y 2）=–（x +2y ）2，选项正确．故选D ．15．【答案】(a +4)(a -2)【解析】()2224a a +--=228(4)2()a a a a +-=+-. 16．【答案】C【解析】a 3﹣a 2b +b 2﹣2ab =a 2（a ﹣b ）+b 2﹣2ab =a 2+b 2﹣2ab =（a ﹣b ）2=1．故选C ． 1．【答案】D【解析】∵矩形的宽=2矩形周长−长，∴宽为：（10-x ）cm ．故选D ． 2．【答案】B【解析】∵3a ﹣2b =1，∴5﹣6a +4b =5﹣2（3a ﹣2b ）=5﹣2×1=3， 故选：B ．3．【答案】D 【解析】根据单项式的定义可知，只有代数式0，﹣1，﹣x,13a,是单项式，一共有4个.故选D. 考点冲关4．【答案】C 【解析】由题意可得，()123,104m m +=-+≠，解得1m =±且1m ≠-． 则m 等于1，故选C ．5．【答案】B【解析】∵2x 3m y 4与–3x 9y 2n 是同类项，∴3m =9,4=2n ，∴m =3，n =2.故选：B.6．【答案】B【解析】A 、m 3•m 2=m 5，故此选项错误；B 、m 5÷m 3=m 2（m ≠0），故此选项正确；C 、（m −2）3=m −6，故此选项错误；D 、m 4-m 2，无法计算，故此选项错误；故选：B ．7．【答案】D【解析】（﹣ab 2）3=﹣a 3b 6，故选：D ．8．【答案】C【解析】∵–x –y =–（x +y ），∴2019–x –y =2019–（x +y ）=2019–（–1）=2020，故选C ．【名师点睛】此题考查代数式求值，难度不大．9．【答案】D【解析】∵所求的正方形的面积等于一张正方形A 类卡片、4张正方形B 类卡片和4张长方形C 类卡片的和，∴所求正方形的面积=m 2+4mn +4n 2=（m +2n ）2，∴所求正方形的边长为m +2n ．故选：D.10．【答案】D【解析】原式=ax （x 2﹣2x +1）=ax （x ﹣1）2，故选：D ．11．【答案】A【解析】∵15=2×8﹣1，∴m =28=256，则n =256﹣15=241，故选A ．【名师点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是得出第n 个图形中最上方的数字为2n ﹣1，左下数字为2n ，右下数字为2n ﹣（2n ﹣1）．12．【答案】B【解析】由题意可知：9+a +b =a +b +c ，∴c =9．∵9-5+1=5，1684÷5=336…4， 且9-5=4，∴m =336×3+2=1010．故选：B ． 13．【答案】A【解析】由完全平方公式可得：236kab a b k -=±⨯=±,.故选A.【名师点睛】做此类问题的重点在于判断完全平方式的结构特点.14．【答案】D【解析】由()²9a b +=，得²²29a b ab ++=，又²²5a b +=，则2954ab =-=，所以(2)448ab -=⨯-=-.故选D.15．【答案】D【解析】①倒数等于它本身的数有±1，故①错误， ②绝对值等于它本身的数是非负数，故②错误， ③2332a b c -是六次单项式，故③错误， ④2πr 的系数是2π，次数是1，故④错误，⑤2223a b a -+是四次三项式，故⑤正确，⑥22ab 与23ba 不是同类项，故⑥错误.故选D.【名师点睛】单项式中的数字因数就是单项式的系数，所有字母的指数的和就是多项式的次数. 16．【答案】A【解析】当x =2时，第一次输出结果=12×2=1；第二次输出结果=1+3=4；第三次输出结果=4×12=2，； 第四次输出结果=12×2=1， …2017÷3=672…1．所以第2017次得到的结果为1．故选A ．17．【答案】3 【解析】∵1312a x y --与23b xy -是同类项， ∴1132a b-=⎧⎨=-⎩， 解得21a b =⎧⎨=-⎩， ∴a b -=3.故答案为3.18．【答案】3x （x +3）（x ﹣3）【解析】3x 3﹣27x =3x （x 2﹣9）=3x （x +3）（x ﹣3）．【名师点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 19．【答案】0.6x –20【解析】根据题意进价为：0.6x –20.故答案为0.6x –20.【名师点睛】此题考查列代数式，难度不大．20．【答案】19a 20【解析】∵a 2，3a 4，5a 6，7a 8，…∴单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数，∴第10个代数式是：（2×10﹣1）a 2×10=19a 20．故答案为：19a 20．【名师点睛】此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键． 21．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1=3个． 第3幅图中有2×3﹣1=5个． 第4幅图中有2×4﹣1=7个． …．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n 幅图中共有（2n ﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n ﹣1=2019，解得n =1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．22．【答案】11119112911⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭,49【解析】(1)观察等式,可得以下规律：()()1111212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴51111.9112911a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭（2）1231111111111112323525722121n a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1149122199n ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，解得：n =49.故答案为（1）11119112911⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭；（2）49.23．【解析】223a a -+=221a a -++2=（a −1）2+2当a =2+1时，原式=（2+11-）2+2=（2）2+2=2+2=4.24．【解析】由已知，得221x x +=，则432441x x x ++-=222241x x x x ++-（）=2241x x +-=2221x +-（）=2–1=1．【名师点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决证明问题．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．25．【解析】（1）长方形的面积为：a ×2b =2ab ，两个半圆的面积为：π×b 2=πb 2，∴阴影部分面积为：2ab –πb 2．（2）当a =4，b =1时，∴2ab –πb 2=2×4×1–3×1=5．【名师点睛】本题考查列代数式，涉及代入求值，有理数运算等知识，解题的关键是根据题意正确列出代数式.26．【解析】（1）∵2277A B a ab -=-，2 467B a ab =-++，∴()222246777A B A a ab a ab -=--++=-，∴()()22227724677781214A a ab a ab a ab a ab =-+-++=--++ 2514a ab =-++.（2）依题意得：10a +=，20b -=，∴1a =-，2b =．∴22514(1)5(1)2143A a ab =-++=--+⨯-⨯+=．【名师点睛】考查了整式的化简求值、非负数的性质、绝对值、平方根的知识．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项.27．【解析】（1）3⊕（﹣2）=（3+2）×[32+3×（﹣2）+（﹣2）2]+（﹣2）3=5×7﹣8=27．（2）（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）+b 3=a 3+a 2b +ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3+b 3=a 3．【名师点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．28．【解析】（1）2244(2)a a a -+=-Q ，故答案为：2(2)a -；（2）2226100a a b b ++-+=Q ，22(1)(3)0a b ∴++-=，1a ∴=-，3b =，2a b ∴+=；（3）ABC △为等边三角形．理由如下：222426240a b c ab b c ++---+=Q ，222()(1)3(1)0a b c b ∴-+-+-=，0a b ∴-=，10c -=，10b -=1a b c ∴===，ABC ∴△为等边三角形．【名师点睛】本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判定.解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．1．【答案】B【解析】∵x 6÷x 3=x 3，∴选项A 不符合题意； ∵（-x 3）2=x 6，∴选项B 符合题意；∵4x 3+3x 3=7x 3，∴选项C 不符合题意； ∵（x +y ）2=x 2+2xy +y 2，∴选项D 不符合题意．故选B ．【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，合并同类项的方法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．2．【答案】B【解析】A ．原式=5x ，故A 错误；C ．原式=6x 2，故C 错误；D ．原式32=，故D 错误，故选B ． 【名师点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 3．【答案】D【解析】由8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，得m =3，n =1．（m +n ）3=（3+1）3=64，64的平方根为±8．故选D ． 直通中考【名师点睛】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．4．【答案】A【解析】根据题意可得：2m-1=m+1，解得m=2，故选A．【名师点睛】此题考查同类项问题，关键是根据同类项的定义得出m的方程．5．【答案】C【解析】将m=-1代入2m+3=2×（-1）+3=1，故选C．【名师点睛】本题考查代数式求值；熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键．6．【答案】C【解析】2a-3a=-a，故选C．【名师点睛】本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关键．7．【答案】B【解析】单项式-5ab的系数是-5，故选B．【名师点睛】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．8．【答案】D【解析】原式=3x-1-2x-2=x-3，故选D．【名师点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．【答案】D【解析】A、x2与x3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意；B、x·x5=x6，故选项B不合题意；C、x6与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；D、2x5-x5=x5，故选项D符合题意．故选D．【名师点睛】本题主要考查了合并同类项的法则：系数下降减，字母以及其指数不变．10．【答案】D【解析】A．2x2y和3xy不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B．（-2ab2）3=-8a3b6，故选项B不合题意；C．（3a+b）2=9a2+6ab+b2，故选项C不合题意；D．（3a+b）（3a-b）=9a2-b2，故选项D符合题意．故选D．【名师点睛】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式是解答本题的关键．11．【答案】D【解析】A、原式=x（x-1），错误；B、原式=（a-4）（a+1），错误；C、a2+2ab-b2，不能分解因式，错误；D、原式=（x+y）（x-y），正确．故选D．【名师点睛】此题考查了提公因式法、十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．【答案】a（b-7）【解析】原式=a（b-7），故答案为：a（b-7）．【名师点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．13．【答案】4【解析】∵x2+x=1，∴3x4+3x3+3x+1=3x2（x2+x）+3x+1=3x2+3x+1=3（x2+x）+1=3+1=4，故答案为：4．【名师点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．14．【答案】（a+b）2【解析】（a-b）2+4ab=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=（a+b）2．故答案为：（a+b）2．【名师点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．15．【答案】x（x-y）2【解析】原式=x（x2-2xy+y2）=x（x-y）2，故答案为：x（x-y）2．【名师点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．【答案】m2【解析】（-m3）2÷m4=m6÷m4=m2．故答案为：m2．【名师点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．17．【答案】15【解析】∵a+b=5，a-b=3，∴a2-b2=（a+b）（a-b）=5×3=15，故答案为：15．【名师点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．18．【答案】4【解析】∵3m=32n=2，∴3m+2n=3m·32n=2×2=4，故答案为：4．【名师点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方与积的乘方解答．19．【答案】9a 2【解析】原式=a 2（4+6-1）=9a 2，故答案为：9a 2．【名师点睛】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．20．【答案】1【解析】由题意知-|a -1|1b =-≥0，∴a =1，b =1，则a b =（1）1=1，故答案为：1．【名师点睛】此题考查了同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．21．【解析】原式=a -2a 2+2（a 2-1）=a -2a 2+2a 2-2=a -2．【名师点睛】本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的关键．22．【解析】原式=a 2+6a +9-（a 2-1）-4a -8=2a +2．将a 12=-代入原式=2×（12-）+2=1． 【名师点睛】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变．23．【解析】（1）第6个等式为：21111666=+，故答案为：21111666=+． （2）21121(21)n n n n =+--， 证明：∵右边=112112(21)(21)21n n n n n n n -++==---=左边．∴等式成立， 故答案为：21121(21)n n n n =+--． 【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出21121(21)n n n n =+--的规律，并熟练加以运用． 24．【解析】（1）设S =1+2+22+…+29①，则2S =2+22+…+210②，②-①得2S -S =S =210-1，∴S =1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．（2）设S =3+3+32+33+34+…+310①，则3S =32+33+34+35+…+311②，②-①得2S =311-1，所以S =11312-， 即3+32+33+34+…+310=11312-， 故答案为：11312-． （3）设S =1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n ①，则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②，②-①得：（a -1）S =a n +1-1，a =1时，不能直接除以a -1，此时原式等于n +1，a 不等于1时，a -1才能做分母，所以S =111n a a +--， 即1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n =111n a a +--． 【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．。
2020年中考数学复习第2讲 代数式及整式的运算(讲练)(解析版)
第一单元数与式第2讲代数式及整式的运算1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念.2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算.3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式.1．（2018秋•吴兴区期末）﹣的系数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【思路点拨】根据单项式的概念即可求出答案．【答案】解：该单项式的系数为，故选：B．【点睛】本题考查单项式，解题的关键是熟练运用单项式的概念，本题属于基础题型．2．（2019•金华）计算a6÷a3，正确的结果是（）A．2 B．3a C．a2D．a3【思路点拨】根据同底数幂除法法则可解．【答案】解：由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减知，a6÷a3＝a6﹣3＝a3．故选：D．【点睛】本题是整式除法的基本运算，必须熟练掌握运算法则．本题属于简单题．3．（2018•西湖区一模）某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份增加了10%，3月份比2月份减少了20%，则3月份的产值是（）万元．A．（1+10%）（1﹣20%）x B．（1+10%+20%）xC．（x+10%）（x﹣20%）D．（1+10%﹣20%）x【思路点拨】根据题意可以先列出2月份的产量为（1+10%）x，再根据题意可列三月份的产量．【答案】解：根据题意可得2月份产量为x（1+10%）万元∵3月份比2月份减少了20%∴3月份的产量为（1+10%）（1﹣20%）x故选：A．【点睛】本题考查了列代数式，能根据题意正确列出代数式是本题关键4．（2019•衢州一模）下面是小林做的4道作业题：（1）2ab+3ab＝5ab；（2）2ab﹣3ab＝﹣ab；（3）2ab﹣3ab＝6ab；（4）2ab÷3ab＝．做对一题得2分，则他共得到（）A．2分B．4分C．6分D．8分【思路点拨】这几个式子的运算是合并同类项的问题，根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．【答案】解：（1）2ab+3ab＝5ab，正确；（2）2ab﹣3ab＝﹣ab，正确；（3）∵2ab﹣3ab＝﹣ab，∴2ab﹣3ab＝6ab错误；（4）2ab÷3ab＝，正确．3道正确，得到6分，故选：C．【点睛】本题主要考查合并同类项得法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．5．（2019•宁波）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3•a2＝a6C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a4【思路点拨】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．【答案】解：A、a3与a2不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、a3•a2＝a5故选项B不合题意；C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；D、a6÷a2＝a4，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．6．（2018•金华）化简（x﹣1）（x+1）的结果是x2﹣1．【思路点拨】原式利用平方差公式计算即可得到结果．【答案】解：原式＝x2﹣1，故答案为：x2﹣1【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．7．（2019•宁波）分解因式：x2+xy＝x（x+y）．【思路点拨】直接提取公因式x即可．【答案】解：x2+xy＝x（x+y）．【点睛】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．8．（2019•滨江区一模）先化简，再求值：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2，其中a＝4．【思路点拨】根据多项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【答案】解：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2＝6+2a﹣3a﹣a2+a2﹣10a+25＝﹣11a+31，当a＝4时，原式＝﹣11×4+31＝﹣44+31＝﹣13．【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．1.整式的概念及整式的加减（2）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．（3）整式：单项式和多项式统称为整式．（4）同类项以及合并同类项法则：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．2.整式的乘除（1）幂的运算性质：(1)同底数幂相乘：a m·a n＝a m＋n(m，n都是整数，a≠0)．(2)幂的乘方：(a m)n＝a mn(m，n都是整数，a≠0)．(3)积的乘方：(ab)n＝a n·b n(n是整数，a≠0，b≠0)．(4)同底数幂相除：a m÷a n＝a m－n(m，n都是整数，a≠0)．（2）整式乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb．多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．（3）乘法公式：①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．（4）整式除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3.因式分解（1）因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解与整式的乘法是互逆变形．（2）因式分解的基本方法：①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．（3）因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解．③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式．④意题中因式分解要求的范围，如在有理数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在实数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x＋3)(x－3)，题目不作说明的，一般是指在有理数范围内分解因式．【考点一整式及其加减运算】例1．（2019•乐清市一模）计算3x2+2x2的结果（）A．5 B．5x2C．5x4D．6x2【思路点拨】根据合并同类项法则进行计算即可得解．【答案】解：3x2+2x2，＝（3+2）x2，＝5x2．故选：B．【点睛】本题主要考查合并同类项的法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．【变式训练】1．（2019•台州）计算2a﹣3a，结果正确的是（）A．﹣1 B．1 C．﹣a D．a【思路点拨】根据合并同类项法则合并即可．【答案】解：2a﹣3a＝﹣a，故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关键．2．（2018•临安区）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（）分A．B．C．D．【思路点拨】整个组的平均成绩＝15名学生的总成绩÷15．【答案】解：先求出这15个人的总成绩10x+5×84＝10x+420，再除以15可求得平均值为分．故选：B．【点睛】此题考查了加权平均数的知识，解题的关键是求的15名学生的总成绩．3．（2018秋•黄岩区期末）已知x2+3x+5的值是7，则式子﹣3x2﹣9x+2的值是（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6【思路点拨】首先根据x2+3x+5的值是7，求出x2+3x的值是多少；然后代入式子﹣3x2﹣9x+2，求出算式的值是多少即可．【答案】解：∵x2+3x+5＝7，∴x2+3x＝7﹣5＝2，∴﹣3x2﹣9x+2＝﹣3（x2+3x）+2＝﹣3×2+2＝﹣6+2＝﹣4故选：C．【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．4．（2019•富阳区一模）化简：﹣3（x﹣2y）+4（x﹣2y）＝x﹣2y．【思路点拨】先去括号，再合并同类项即可．【答案】解：原式＝﹣3x+6y+4x﹣8y＝x﹣2y，故答案为x﹣2y．【点睛】本题考查了整式的加减，掌握去括号的法则和合并同类项的法则是解题的关键．5．（2017•杭州）某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉30﹣千克．（用含t的代数式表示．）【思路点拨】设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据三天的销售额为270元列出方程，求出x即可．【答案】解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据题意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x＝270，则x＝＝30﹣，故答案为：30﹣．【点睛】本题主要考查列代数式的能力，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数．【考点二整式的乘除运算】例2．（2018•宁波）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x＝﹣．【思路点拨】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．【答案】解：原式＝x2﹣2x+1+3x﹣x2＝x+1，当x＝﹣时，原式＝﹣+1＝．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．【变式训练】1．（2019•瑞安市三模）计算x6÷x2的结果是（）A．x12 B．x8C．x4D．x3【思路点拨】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．【答案】解：原式＝x4，故选：C．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法，关键是掌握计算法则．2．（2018•湖州）计算﹣3a•（2b），正确的结果是（）A．﹣6ab B．6ab C．﹣ab D．ab【思路点拨】根据单项式的乘法解答即可．【答案】解：﹣3a•（2b）＝﹣6ab，故选：A．【点睛】此题考查单项式的除法，关键是根据法则计算．3．（2018•宁波）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝2a3B．a3•a2＝a6C．a6÷a2＝a3D．（a3）2＝a5【思路点拨】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．【答案】解：∵a3+a3＝2a3，∴选项A符合题意；∵a3•a2＝a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2＝a4，∴选项C不符合题意；∵（a3）2＝a6，∴选项D不符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（2019•富阳区一模）化简：﹣3（x﹣2y）+4（x﹣2y）＝x﹣2y．【思路点拨】先去括号，再合并同类项即可．【答案】解：原式＝﹣3x+6y+4x﹣8y＝x﹣2y，故答案为x﹣2y．【点睛】本题考查了整式的加减，掌握去括号的法则和合并同类项的法则是解题的关键．5．（2018•宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b【思路点拨】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【答案】解：S1＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），S2＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）＝b•AD﹣ab﹣b•AB+ab＝b（AD﹣AB）＝2b．故选：B．【点睛】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．【考点三因式分解】例3．（2019•婺城区模拟）分解因式：a3﹣4a2＝a2（a﹣4）．【思路点拨】直接找出公因式进而提取得出答案．【答案】解：a3﹣4a2＝a2（a﹣4）．故答案为：a2（a﹣4）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【变式训练】1．（2019•舟山）分解因式：x2﹣5x＝x（x﹣5）．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【思路点拨】直接提取公因式x分解因式即可．【答案】解：x2﹣5x＝x（x﹣5）．故答案为：x（x﹣5）．【点睛】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．2．（2019•温州）分解因式：m2+4m+4＝（m+2）2．【思路点拨】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【答案】解：原式＝（m+2）2．故答案为：（m+2）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．3．（2019•杭州）因式分解：1﹣x2＝（1﹣x）（1+x）．【思路点拨】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．【答案】解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），故答案为：（1﹣x）（1+x）．【点睛】本题考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．4．（2019•鹿城区校级二模）因式分解：a2x2﹣4a2y2＝a2（x+2y）（x﹣2y）．【思路点拨】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【答案】解：原式＝a2（x2﹣4y2）＝a2（x+2y）（x﹣2y），故答案为：a2（x+2y）（x﹣2y）【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【考点四乘法公式及其应用】例4．（2018•衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【思路点拨】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．【答案】解：由题意可得，方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．【变式训练】1．（2019•柯城区校级一模）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2），其中x＝1．【思路点拨】根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x＝1代入化简后的式子即可解答本题．【答案】解：（x﹣1）2﹣x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2x+1﹣x2+4x+x2﹣4＝x2+2x﹣3，当x＝1时，原式＝12+2×1﹣3＝0．【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．2．（2019•南浔区二模）先化简，再求值：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝﹣2，b ＝．【思路点拨】原式利用提取公因式，化简得到结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【答案】解：原式＝（a+b）（a+b﹣a+b）＝2b（a+b）＝2ab+2b2，当a＝﹣2，b ＝时，原式＝﹣2+＝﹣1．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11。
第2讲 代数式及整式的运算(讲练)(原卷版)
备战2021年中考数学总复习一轮讲练测第一单元数与式第2讲代数式及整式的运算1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念.2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算.3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式.1．（2019•怀化）单项式﹣5ab的系数是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2【思路点拨】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案．【答案】解：单项式﹣5ab的系数是﹣5，故选：B．【点睛】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．2．（2020•宁波模拟）下列单项式，是2次单项式的是（）A．xy B．2x C．x2y D．x2y2【思路点拨】一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此求解可得．【答案】解：A、xy的次数为2，是2次单项式；B、2x的次数为1，不是2次单项式；C、x2y的次数为3，不是2次单项式；D．x2y2的次数是4，不是2次单项式；故选：A．【点睛】本题主要考查单项式，解题的关键是掌握单项式次数的概念：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．3．（2020•河北）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A．+ B．﹣C．×D．÷【思路点拨】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【答案】解：∵x3x＝x2（x≠0），∴覆盖的是：÷．故选：D．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（2020•滨城区二模）下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．ma+mb﹣c＝m（a+b）﹣cB．﹣a2+3ab﹣a＝﹣a（a+3b﹣1）C．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3D．4x2﹣25y2＝（2x+5y）（2x﹣5y）【思路点拨】因式分解是指将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，本题按照因式分解的定义及其分解方法，逐个选项分析即可．【答案】解：A、没将一个多项式化成几个整式的乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、提公因式变号错误，不是正确的因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，是整式的乘法，故本选项不符合题意；D、符合因式分解定义，是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的定义及其分解方法，明白因式分解的定义及其分解方法，是解题的关键．5．（2020•长兴县一模）分解因式a3﹣4a的结果正确的是（）A．a（a2﹣4）B．a（a﹣2）（a+2）C．a（a﹣2）2D．a（a+2）2【思路点拨】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【答案】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故选：B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．6．（2020•石家庄二模）数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学各做了一道数学题，甲：（3a2）3＝9a6；乙：a12÷a3＝a9；丙：（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2；丁：（a﹣2）2＝a2﹣4．其中做对的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【思路点拨】根据甲乙丙丁中的式子，可以计算出正确的结果，即可解答本题．【答案】解：（3a2）3＝27a6，故甲做的错误；a12÷a3＝a9，故乙做的正确；（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故丙做的错误；（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故丁做的错误；故选：B．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．7．（2020•青海）下面是某同学在一次测试中的计算：①3m2n﹣5mn2＝﹣2mn；②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a6b；③（a3）2＝a5；④（﹣a3）÷（﹣a）＝a2．其中运算正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【思路点拨】根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则计算，判断即可．【答案】解：①3m2n与5mn2不是同类项，不能合并，计算错误；②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a5b2，计算错误；③（a3）2＝a3×2＝a6，计算错误；④（﹣a3）÷（﹣a）＝（﹣a）3﹣1＝a2，计算正确；故选：D．【点睛】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，掌握它们的运算法则是解题的关键．8．（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）【思路点拨】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．【答案】解：由图可知，图1的面积为：x2﹣12，图2的面积为：（x+1）（x﹣1），所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故选：B．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．9．（2019•河北）小明总结了以下结论：①a（b+c）＝ab+ac；②a（b﹣c）＝ab﹣ac；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案．【答案】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确；②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．故选：C．【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．（2020•绵阳）若多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝0或8．【思路点拨】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．【答案】解：∵多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，∴n﹣2＝0，1+|m﹣n|＝3，∴n＝2，|m﹣n|＝2，∴m﹣n＝2或n﹣m＝2，∴m＝4或m＝0，∴mn＝0或8．故答案为：0或8．【点睛】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．11．（2018•达州）已知a m＝3，a n＝2，则a2m﹣n的值为 4.5．【思路点拨】首先根据幂的乘方的运算方法，求出a2m的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出a2m﹣n的值为多少即可．【答案】解：∵a m＝3，∴a2m＝32＝9，∴a2m﹣n＝＝＝4.5．故答案为：4.5．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．12．（2019•翔安区模拟）如果a2﹣b2＝8，且a+b＝4，那么a﹣b的值是2．【思路点拨】根据a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可得（a+b）（a﹣b）＝8，再代入a+b＝4可得答案．【答案】解：∵a2﹣b2＝8，∴（a+b）（a﹣b）＝8，∵a+b＝4，∴a﹣b＝2，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了平方差，关键是掌握a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．13．（2020•临沂）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝﹣1．【思路点拨】由于a+b＝1，将a2﹣b2+2b﹣2变形为含有a+b的形式，整体代入计算即可求解．【答案】解：∵a+b＝1，∴a2﹣b2+2b﹣2＝（a+b）（a﹣b）+2b﹣2＝a﹣b+2b﹣2＝a+b﹣2＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】考查了平方差公式，注意整体思想的应用．14．（2020•硚口区模拟）计算：2a2•a4﹣6a9÷3a3+（﹣2a3）2．【思路点拨】根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题．【答案】解：2a2•a4﹣6a9÷3a3+（﹣2a3）2＝2a6﹣2a6+4a6＝4a6．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．15．（2020•蒙山县模拟）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2019，y＝2020．【思路点拨】原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【答案】解：原式＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2，当x＝2019，y＝2020时，原式＝（x﹣y）2＝（2019﹣2020）2＝（﹣1）2＝1．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1.整式的概念及整式的加减（2）单项式：由或相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的，单项式中的数字因数叫做这个单项式的．（2）多项式：由几个组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的，不含字母的项叫做．（3）整式：．（4）同类项以及合并同类项法则：多项式中，所含相同，并且也相同的项，叫做同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．2.整式的乘除（1）幂的运算性质：(1)同底数幂相乘：a m·a n＝(m，n都是整数，a≠0)．(2)幂的乘方：(a m)n＝(m，n都是整数，a≠0)．(3)积的乘方：(ab)n＝(n是整数，a≠0，b≠0)．(4)同底数幂相除：a m÷a n＝(m，n都是整数，a≠0)．（2）整式乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．单项式乘多项式：m(a＋b)＝．多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝．（3）乘法公式：①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝．②完全平方公式：(a±b)2＝．（4）整式除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个多项式的除以这个单项式，再把所得的商相加．3.因式分解（1）因式分解的概念：把一个多项式化成几个的形式，叫做因式分解．因式分解与是互逆变形．（2）因式分解的基本方法：①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝．②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝．运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝．（3）因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解．③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式．④意题中因式分解要求的范围，如在有理数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在实数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x＋3)(x－3)，题目不作说明的，一般是指在有理数范围内分解因式．【考点一整式及其加减运算】例1．（2019•广西一模）下列各式中运算正确的是（）A．4m﹣m＝3 B．a2b﹣ab2＝0C．2a3﹣3a3＝﹣a3 D．xy﹣2xy＝3xy【变式训练】1．（2020•义乌市模拟）计算3a2﹣2a2正确的是（）A．1 B．a C．a2D．﹣a2 2．（2020•宁波模拟）小文在计算某多项式减去2a2+3a﹣5的差时，误认为是加上2a2+3a﹣5，求得答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（）A．﹣a2﹣2a+1 B．﹣3a2﹣5a+6 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2+a﹣4 3．（2020•隆化县二模）数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”．甲、乙、丙、丁四位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙、丁四位同学的对话：请根据对话解答下列问题：（1）判断甲、乙、丙三位同学的多项式是否为“友好多项式”，并说明理由．（2）丁的多项式是什么？（请直接写出所有答案）．4.（2019•慈溪市模拟）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为l1，图③中两个阴影部分图形的周长和为l2，若，则m，n满足（）A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n【考点二整式的乘除运算】例2．（2020•柯桥区模拟）下面是一位同学做的四道题①（a+b）2＝a2+b2，②（2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3•a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【变式训练】1．（2020•启东市三模）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（）A．a7B．﹣a7C．a10D．﹣a10 2．（2020•杭州）（1+y）（1﹣y）＝（）A．1+y2B．﹣1﹣y2C．1﹣y2D．﹣1+y2 3．（2019•邵阳）以下计算正确的是（）A．（﹣2ab2）3＝8a3b6B．3ab+2b＝5abC．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m34．（2020•黄石模拟）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．0 5．（2019•滨海县二模）已知a m＝3，a n＝2，则a3m﹣2n＝．6.（2020•宁波模拟）已知实数x，y满足x﹣y＝4，xy＝1，则x2+y2＝．7.（2020•沙河市模拟）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关．（1）求m、n的值；（2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值．【考点三因式分解】例3．(1)（2020•凤山县一模）分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3．(2)（2020•青州市一模）因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9＝．【变式训练】1．（2020•河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解2．（2020•郓城县模拟）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3 3．（2020•霍邱县一模）因式分解m3﹣4m＝．4．（2020•黄石模拟）在实数范围内分解因式：x4﹣9＝．5.（2019•江北区模拟）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【考点四乘法公式及其应用】例4．（2020•邯山区一模）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图①和图②可以得到的等式为（用含a，b的代数式表示）；并验证你得到的等式；（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．【变式训练】1．（2020•浦口区模拟）计算（2a﹣b+1）（2a﹣1﹣b）．2．（2018•河北模拟）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式简便计算；（1）6992（2）20192﹣2017×20213.（2020•洛阳二模）先化简，再求值：（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）﹣2x（x+y），其中x、y满足方程组．4.（2020•雨花区校级二模）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2．5.（2019•芜湖三模）观察以下等式：第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝；（2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝；（3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？。
第二讲 代数式及整式的运算(讲练)(解析版)
备战2020年中考数学总复习一轮讲练测第一单元数与式第二讲代数式及整式的运算1、了解：因式分解的概念，感受因式分解与整式乘法的互逆运算过程.2、理解：单项式、多项式、整式等概念，及它们之间的区别与联系；理解同类项概念；理解因式分解的意义.3、会：推导幂的运算公式及乘方公式（平方差、完全平方）.4、掌握：正整数幂的乘、除运算性质；整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算；掌握提公因式法和公式法这两种分解因式的基本方法.5、能：利用乘法公式进行乘法运算；灵活运算运算律与乘法公式化简求值.1．（2019•石景山区二模）下列各式计算正确的是( )A ．235x x x =gB ．22434x x x +=C ．824x x x ÷=D ．2242(3)6x y x y = 【解答】解：A 、235x x x =g ，正确； B 、22234x x x +=，故此选项错误；C 、826x x x ÷=，故此选项错误；D 、2242(3)9x y x y =，故此选项错误．故选：A ．2．（2018秋•东城区期末）已知2m a =，3n a =，则32m n a +的值是( )A ．6B ．24C ．36D ．72【解答】解：2m a =Q ，3n a =，3232()()m n m n a a a +∴=⨯3223=⨯72=．故选：D ．3．（2018秋•海淀区期末）在下列运算中，正确的是( )A ．222()x y x y -=-B ．2(2)(3)6a a a +-=-C ．222(2)44a b a ab b +=++D ．22(2)(2)2x y x y x y -+=-【解答】解：A 、222()2x y x xy y -=-+，故本选项错误；B 、2(2)(3)6a a a a +-=--，故本选项错误；C 、222(2)44a b a ab b +=++，故本选项正确；D 、22(2)(2)4x y x y x y -+=-，故本选项错误；故选：C ．4．（2019•朝阳区校级一模）如果2210a a --=，那么代数式(3)(1)a a -+的值是( )A ．2B ．2-C ．4D ．4-【解答】解：2210a a --=Q ，221a a ∴-=，2(3)(1)232a a a a ∴-+=--=-，故选：B ．5．（2018秋•房山区期中）将一列有理数1-，2，3-，4，5-，6，⋯⋯，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C 的位置）是有理数4．那么，“峰4”中C 的位置是有理数 ，有理数2018应排在A ，B ，C ，D ，E 中 的位置．【解答】解：Q 每个峰需要5个数，5315∴⨯=，151319++=，∴“峰4”中C 位置的数的是19-，(20181)5201654032-÷=÷=⋯，2017∴应排在A 、B 、C 、D 、E 中B 的位置，故答案为：19-；B ．6．（2019•石景山区二模）分解因式：3269a a a -+= ．【解答】解：322269(69)(3)a a a a a a a a -+=-+=-，故答案为2(3)a a -7．（2018秋•海淀区期末）若221x x +=，则2243x x ++的值是 ．【解答】解：221x x +=Q ，∴原式22(2)3235x x =++=+=．故答案为：58．（2019秋•北京十二中期中）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有 个五角星．【解答】解：第1个图形中小五角星的个数为3；第2个图形中小五角星的个数为8；第3个图形中小五角星的个数为15；第4个图形中小五角星的个数为24；则知第n 个图形中小五角星的个数为(1)n n n ++．故第10个图形中小五角星的个数为101110120⨯+=个．故答案为120．9．（2018秋•西城区期末）（1）分解因式()()x x a y a x -+-（2）分解因式321025x y x y xy -+【解答】（1）解：()()x x a y a x -+-(x =x a -)(y -x a -)(=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+(xy =21025)x x -+(xy =25)x -．10．（2018秋•朝阳区期末）已知x y -=，求代数式2(1)(2)21x y y x x ++---的值．【解答】解：原式2212221x x y xy x =+++---222x y xy =+-2()x y =-，当x y -22==．1．同底数幂乘法同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 ，即m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，2．同底数幂的除法同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 ，即m n m n a a a -÷=（m ，n 都是正整数，并且m n ＞）． 推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，3．幂的乘方幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 ，即()n mmn a a =（m ，n 都是正整数）． 推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，4．积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式 分别乘方 ，再把 所得的幂相乘 ，即()n n n ab a b =（n 为正整数） 推导过程：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，()()()m n m a n am n a m na a a a a a a a a a a a ++⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L L 1424314243L 14243个个个()()()m n m a n a m n a m n a a a a a a a a a a a a --÷=⋅⋅⋅÷⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L L 1424314243L 14243个个个()m n a n m m n m m m m m m mna a a a a a +++=⋅⋅⋅==L 644744864748L 个个()()()()n ab n n a n b n n ab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=644474448L 6474864748L L 个个个5．单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 同底数幂 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注：单项式与单项式的乘积仍是单项式．6．单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 每一项 ，再 把所得的积相加 ，即()m a b c am bm cm ++=++．7．多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项 ，再 把所得的积相加 ，即()()a b m n am an bm bn ++=+++．8．平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差 ，即：22()()a b a b a b +-=-．9．完全平方公式两个数的和的平方，等于它们的 平方和 ，加上它们的 积的2倍 ，即：222()2a b a ab b +=++．两个数的差的平方，等于它们的 平方和 ，减去它们的 积的2倍 ，即：222()2a b a ab b -=-+．10．因式分解的定义把一个多项式化成 几个整式的积的形式 ，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．11．因式分解（1）公因式：多项式各项都含有的 公共因式 ，叫做这个多项式的公因式．（2）提公因式法：一般地，如果多因式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式 ，这种分解因式的方法叫做提公因式法．（3）平方差公式：()()22a b a b a b -=+-（4）完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±考点一 整式例1．（2018秋•朝阳区期末）计算(3)(2)x x +-= ．【解答】解：原式222366x x x x x =-+-=+-．故答案为：26x x +-【变式训练】1．（2018•西城区一模）化简：(4)(2)(1)a a a a +--+= ．【解答】解：(4)(2)(1)a a a a +--+2228a a a a =+---8a =-．故答案为：8a -．2．（2018•东城八上期末）多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 项，则m = ． 【解答】解：(8)(23)mx x +-2231624mx mx x =-+-23(224)16mx m x =-+-+，Q 多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 项，2240m ∴-=，解得：12m =，故答案为：12．考点二 幂的运算例2．（2019•海淀区校级模拟）计算20192018(21)(21)-的结果是( )A 21B 21C 2D ．1 【解答】解：原式2018[(21)(21)](21)=2018(21)(21)=-21=．故选：A ．【变式训练】1．（2019•门头沟区二模）在下列运算中，正确的是( )A ．235a a a =gB ．235()a a =C ．623a a a ÷=D ．5510a a a +=【解答】解：A 、235a a a =g ，故原题计算正确；B 、236()a a =，故原题计算错误；C 、624a a a ÷=，故原题计算错误；D 、5552a a a +=，故原题计算错误；故选：A ．2．（2018秋•丰台区期末）计算3()2b a -的结果是( )A ．332b a - B ．336b a - C ．338b a - D ．338b a 【解答】解：333()28b b a a -=-，故选：C ．考点三 平方差公式例3．下列各式不能使用平方差公式的是( )A ．(2)(2)a b a b +-B ．(2)(2)a b b a --C ．(2)(2)a b a b -+--D ．(2)(2)a b a b ---【解答】解：各式不能使用平方差公式的是(2)(2)a b b a --，故选：B ．【专项训练】1．化简(23)(32)x x ---的结果是( )A ．249x -B ．294x -C ．249x --D ．2469x x -+【解答】解：2(23)(32)49x x x ---=-，故选：A ．考点四 完全平方公式例4．若1ab =，3a b +=，则2222a b +的值是( )A ．7B ．10C ．12D ．14【解答】解：222()2a b a ab b +=++Q ，2292a b ∴=++，227a b ∴+=，22222()2214a b a b ∴+=+=，故选：D ．【专项训练】1．（2018秋•海淀期末）若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是 ．【解答】解：216x mx ++Q 是一个完全平方式，2216(4)x mx x ∴++=±，2816x x =±+．8m ∴=±，故答案为：8±．2．（2018秋•朝阳区期末）已知26x x a -+是完全平方式，则a 的值为 ． 【解答】解：26()92a -==．故答案是：9．考点五 代数式化简求值——直接代入例5．当a =1b =时，代数式(2)(2)a b a b +-的值为( )A ．3B ．0C ．1-D ．2- 【解答】解：原式224a b =-，当a 1b =时，原式242=-=-，故选：D ．【专项训练】1．当1a =-时，代数式2(1)(3)a a a +++的值等于( )A ．4-B ．4C ．2-D ．2【解答】解：原式22213a a a a =++++2251a a =++，当1a =-时，原式2512=-+=-．故选：C ．考点六 代数式化简求值——整体代入例6．（2019•东城区二模）如果x y -2(2)4(2)x x y y x +-+-的值是 ．【解答】解：x y -=Q2(2)4(2)x x y y x ∴+-+-224442x x x y xy =++-+-2224x xy y =-++2()4x y =-+24=+24=+6=，故答案为：6．【专项训练】1．（2019•怀柔区二模）已知232a a -=，那么代数式2(2)2(1)a a -++的值为( )A ．9-B ．1-C ．1D ．9【解答】解：232a a -=Q ，即223a a -=，∴原式2244222369a a a a a =-+++=-=+=，故选：D ．2．（2018•通州区一模）已知213a a +=，则代数式1a a +的值为 ．【解答】解：213a a +=Q ，2211133a a a a a a a a a+∴+=+===． 故答案为：3．3．（2018秋•北京期末）已知223x x +=，则代数式22(1)(2)(2)x x x x +-+-+的值为 ．【解答】解：22(1)(2)(2)x x x x +-+-+，22221(4)x x x x =++--+，225x x =++，223x x +=Q∴原式358=+=．故答案为：8．考点七 因式分解例7．（2019•西城一模）分解因式：225ax a -=_____________．【分析】原式提取a ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(5)(5)a x x =+-，故答案为：(5)(5)a x x +-【专项训练】1．（2018秋•朝阳区期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是() A ．()ax ay a x y -=- B ．244(4)4x x x x -+=-+C ．298(3)(3)8x x x x x -+=+-+D ．2(32)(32)49a a a ---=-【解答】解：A 、是因式分解，正确；B 、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；C 、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；D 、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误．故选：A ．2．（2019•东城一模）分解因式：22ab ab a -+= ．【解答】解：22ab ab a -+，2(21)a b b =-+，2(1)a b =-．3．（2018•西城二模）将34b b -分解因式，所得结果正确的是( )A ．2(4)b b -B ．2(4)b b -C ．2(2)b b -D ．(2)(2)b b b +-【解答】解：324(4)(2)(2)b b b b b b b -=-=+-．故选：D ．考点八 规律探索例8．（2018秋•西城区校级期中）按一定规律排列的一列数为12-，2，92-，8，252-，18⋯，则第8个数为 ，第n 个数为 ．【解答】解：把整数化为分母是2的分数，可以发现该数列中的每一个数的绝对值的分母都为2，分子恰是自然数列的平方，前面的符号，第奇数个为负，第偶数个为正，可用(1)n -表示，故第n 个数为：2(1)2nn -⨯， 第8个数为：288(1)322-⨯=． 故答案为：32，2(1)2nn -⨯． 【专项训练】 1．（2019秋•通州区期中）观察以下等式：第1个等式：101011212++⨯=； 第2个等式：111112323++⨯=， 第3个等式：121213434++⨯=， 第4个等式：131314545++⨯=， 第5个等式：141415656++⨯=， ⋯⋯按照以上规律，写出第7个等式： ．【解答】解：观察可知：第7个等式为161617878++⨯=， 故答案为161617878++⨯=．2．（2018秋•西城区校级期中）如图1、2、3，⋯是由花盆摆成的图案，图1中有1盆花，图2中有7盆花，图3中有19盆花，⋯⋯根据图中花盆摆放的规律，图4中，应该有 盆花；第n 个图形中应该有 盆花．【解答】解：Q 图1中有1盆花，图2中有167+=盆花，图3中有166219++⨯=盆花，⋯∴第n 个图中有16(1231)3(1)1n n n +⨯+++⋯+-=-+盆花；∴图4中，应该有12(41)137⨯-+=盆花，故答案为：37，[3(1)1]n n -+．3．（2018秋•朝阳区期末）定义一种对正整数n 的“C 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2k n 为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，66n =时，其“C 运算”如下：若26n =，则第2019次“C 运算”的结果是( )A ．40B ．5C ．4D ．1【解答】解：若26n =，第一次结果为13，第2次结果为：3140n +=，第3次“C 运算”的结果是：34052=， 第4次结果为：3116n +=，第5次结果为：41612=， 第6次结果为：314n +=，第7次结果为：1，可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数是奇数时，结果是1，第2019次是奇数，结果是1，故选：D．。
2025年九年级中考数学一轮复习考点突破课件：第2讲代数式与整式
变式1 (2024广安)下列对代数式-3x的意义表述正确的是(
A.-3与x的和
B.-3与x的差
C.-3与x的积
D.-3与x的商
C )
变式2 甲、乙两个商贩去同一批发商场购买了两次白糖,两次白糖的价
格有变化,甲每次购买200 kg的白糖,乙每次购买1 000元钱的白糖,若两
次购买的白糖的价格分别为m元/kg和n元/kg(m,n均为正整数,且m≠n),
(2)同类项的判定与系数无关,与字母的排列顺序无关.
2 m-1
n 3
变式 3 若单项式 2x y 与- x y 是同类项,则 m+n 的值是
命题点3
6
.
幂的运算(易错点)
例4 (2024德阳)下列计算正确的是(Βιβλιοθήκη B )A.a2·a3=a6
B.-(a-b)=-a+b
C.a(a+1)=a2+1
D.(a+b)2=a2+b2
上解方程求m,n的值可得到结论.
5 3y-4
4x+1 2
例 3 如果单项式 3a b 与- a b 可以合并为一项,那么 x 与 y 的值应分
别为 1和2
.
思路点拨 由单项式可以合并得两个单项式为同类项,根据同类项的定
义可知相同字母的指数相等,从而列出方程组求解.
归律总结
(1)同类项中,相同字母的指数相等;
球数为m,下列代数式表示正方体棱上小球总数,则表达错误的是( A )
A.12(m-1)
B.4m+8(m-2)
C.12(m-2)+8
D.12m-16
思路点拨 正方体有12条棱,每条棱上的小球数为m,则有12m个小球,而
2023中考九年级数学分类讲解 - 第二讲 代数式(含答案)(全国通用版)
第二讲代数式专项一列代数式知识清单1.代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或__________连接起来的式子叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式:（1）关键是理解并找出问题中的数量关系及公式；（2）要掌握一些常见的数量关系，如:路程＝速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间，售价＝标价×折扣等；（3）要善于抓住一些关键词语，如:多、少、大、小、增长、下降等.特别地，探索规律列代数式这类考题是近几年中考的热点，这类题通常是通过对数字及图形关系分析，探索规律，并能用代数式反映这个规律.3. 代数式的值:用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式给出的运算计算出的结果，叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.考点例析例1 将x克含糖10％的糖水与y克含糖30％的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A．20％B．+100%2x y⨯C．+3100%20x y⨯D．+3100%10+10x yx y⨯分析：根据题意，可知混合后糖水中糖的质量为（10%x+30%y）克，糖水的质量为（x+y）克，则混合后的糖水含糖为混合后的糖的质量除以糖水的质量再乘100%．例2将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为．分析：先根据已知图形中黑色圆点的个数得到第n个图形中黑色圆点的个数为()12n n+；然后判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除；再计算出第33个能被3整除的数在原数列中的序数，代入计算即可．归纳：解决数、式或图形规律探索题，通常从给出的一列数、一列式子或一组图形入手去探索研究，通过观察、分析、类比、归纳、猜想，找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论，并用含字母的代数式进行表示.跟踪训练1.某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50％，再打六折C．先提价30％，再降价30％D．先提价25％，再降价25％2.（2021·达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出的y值为___________.第2题图3.一组按规律排列的式子：a+2b，a2-2b3，a3+2b5，a4-2b7，…，则第n个式子是___________．4.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形……依此规律，则第n个图形中三角形的个数是_______.第4题图专项二整式知识清单一、整式的加减1．相关概念：表示数或字母的_________的式子叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；________与______统称为整式.所含字母_________，并且相同字母的_________也相同的项叫做同类项.2. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的________，且字母连同它的指数________.3. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______.4. 整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就_______，然后再____________.二、幂的运算1. 同底数幂的乘法：a m·a n=________(m，n是整数).2. 同底数幂的除法：a m÷a n=________ (a≠0,m，n是整数).3. 幂的乘方：（a m）n=_______ (m，n是整数).4. 积的乘方：（ab）n=_______(n是整数).三、整式的乘法1. 单项式乘单项式：把它们的__________、__________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的___________作为积的一个因式.2. 单项式乘多项式：p(a+b+c)=pa+pb+pc.3. 多项式乘多项式：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.4. 乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=_________ ;②完全平方公式：(a±b)2 =a2±2ab+b2.四、整式的除法1. 单项式相除，把__________与__________分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的__________作为商的一个因式.2. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以___________，再把所得的商相加. 考点例析例1 下列运算正确的是（）A．2x2 +3x3=5x5B．(-2x)3=-6x3C．(x+y)2=x2+y2D．(3x+2)(2-3x)=4-9x2分析：依次根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断.例2已知10a=20，100b=50，则1322a b++的值是（）A．2B．52C．3D．92分析：将100b变形为102b，根据同底数幂的乘法，将已知的两个式子相乘可得a+2b=3，整体代入求值．例3已知单项式2a4b-2m+7与3a2m b n+2是同类项，则m+n=__________.分析：根据同类项的定义，分别列出关于m，n的方程，求出m，n的值，再代入代数式计算.例4（2021·金华）已知x=16，求(3x-1)2+(1+3x)(1-3x)的值.分析：直接运用完全平方公式、平方差公式将式子展开，然后合并同类项化简，再将x=16代入求值.解：归纳：整式化简求值的关键是把原式化简，然后代入题目中的已知条件求值，其大致步骤可以简记为：一化，二代，三计算．需注意：①无论题目是否指定解题步骤，都应先化简后代入求值；①代入求值时，若代入的是负数或求分数的乘方时要注意添加括号；①当条件给定字母之间的关系时，代入则需要运用整体代入法.跟踪训练1.下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2B．2a2b3C．a2b D．ab32.下列计算中，正确的是（ ） A ．a 5·a 3=a 15 B ．a 5÷a 3=a C ．()423812a b a b -=D ．()222a b a b +=+3.计算：()23a b -=（ ）A ．621a b B ．62a bC ．521a b D ．32a b -4.下列运算正确的是（ ）A ．3a+2b=5abB ．5a 2-2b 2=3C ．7a+a=7a 2D ．（x -1）2=x 2+1-2x 5.计算：（x+2y ）2+(x -2y)(x+2y)+x(x -4y).6.先化简，再求值：（x ﹣3）2+（x +3）（x ﹣3）+2x （2﹣x ），其中x ＝﹣12．专项三 因式分解知识清单1. 定义：把一个多项式化成几个整式的 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解.2. 因式分解的基本方法：（1）提公因式法：ma+mb+mc = _____________.:::⎧⎪⎨⎪⎩系数取各项系数的最大公约数公因式的确定字母取各项相同的字母指数取各项相同字母的最低次数 （2）公式法：①平方差公式：a 2-b 2=_____________; ②完全平方公式：a 2±2ab+b 2 =___________.3. 因式分解的一般步骤：一提（公因式）；二套（公式）；三检验（是否彻底分解）. 考点例析例1 因式分解：1-4y 2=（ ）A .（1-2y ）(1+2y)B . (2-y)(2+y)C . (1-2y)(2+y)D . (2-y)(1+2y) 分析：先将4y 2化为(2y)2，然后用平方差公式分解因式. 例2 已知xy =2，x -3y =3，则2x 3y -12x 2y 2+18xy 3= ______.分析：先提取多项式中的公因式2xy ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，最后将xy =2，x -3y =3代入其中求值.归纳：若一个多项式有公因式，应先提取公因式，多项式是二项式优先考虑用平方差公式继续分解，多项式是三项式优先考虑用完全平方公式继续分解，直到不能分解为止.跟踪训练1.因式分解：x3﹣4x＝（）A．x（x2﹣4x）B．x（x+4）（x﹣4）C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x2﹣4）2.多项式2x3-4x2+2x因式分解为（）A．2x（x-1）2 B．2x（x+1） 2 C．x（2x-1） 2 D．x（2x+1） 23.因式分解：m2﹣2m=________．4.计算：20212-20202=________．5.因式分解：24ax+ax+a= ___________．6.若m+2n=1，则3m2+6mn+6n的值为___________．7.先因式分解，再计算求值：2x3-8x，其中x=3．专项四分式知识清单一、分式的相关概念1. 定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有_________，那么式子AB叫做分式.分式AB中，A叫做分子，B叫做分母.2. 分式有意义和值为0的条件（1）分式AB有意义⇔_________;（2）分式AB的值为0⇔_________.二、分式的基本性质1. 基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个_____________，分式的值不变.2. 约分：把一个分式的分子与分母的____________约去，叫做分式的约分. 约分的结果必须是最简分式或整式，最简分式是分子、分母没有公因式的分式.3. 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的____________的分式，叫做分式的通分.通分的关键是确定各分式的____________.三、分式的运算1. 分式的加减同分母分式相加减:a bc c±=____________；异分母分式相加减:a c ad bcb d bd bd±=±=____________.2. 分式的乘除乘法法则：a c b d ⋅=___________；除法法则：a c a d b d b c÷=⋅=___________.3. 分式的乘方法则:把分子、分母分别乘方，如na b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=___________. 4. 分式的混合运算:先算___________，再算___________，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 考点例析例1 不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A ．x+1 B ．x 2-1C ．11x + D ．（x+1）2分析：选项A ，B ，D 中都能得到代数式的值为0时x 的值，而选项C 中，分式的分子是1，所以11x +不可能为0．归纳：分式值为0要关注两个条件:（1）分子为0；（2）分母不为0.例2 化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．a +1 B ．1a a+ C ．-1a aD ．21a a +分析：根据分式的混合运算法则，先将括号内的两项通分合并，同时将除式中多项式因式分解，再将除法转化为乘法约分化简即可．归纳：分式的化简中，应注意以下几点:（1）若分子、分母为多项式，则应先分解因式，能约分的先约分，再计算；（2）化简过程中要特别注意常见的符号变化，如ｘ-ｙ＝-(ｙ-ｘ)，-ｘ-ｙ＝-(ｘ+ｙ)等；ꎻ （3）在分式和整式加减运算中，通常把整式看成分母为“１”的“分式”，再进行计算； （4）分式运算的最终结果应是最简分式或整式．例3 先化简，再求值：22121121x x x x x x ++⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2-x-2=0．分析：先把原式化简，然后求出方程x 2-x-2=0的解，根据分式有意义的条件确定x 的值，代入计算即可． 解：跟踪训练 1.要使分式12x +有意义，则x 的取值应满足（ ） A ．x≠0B ．x≠-2C ．x ≥-2D ．x ＞-22.计算24541a a a a a --⎛⎫÷+- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．22a a +-B ．22a a -+C ．()()222a a a-+ D ．2a a+3.已知非零实数x ，y 满足1xy x =+，则3x y xy xy -+的值等于_________．4.已知()()261212ABx x x x x --=----，求A ，B 的值．5.先化简22111369a a a a a a ⎛⎫-+--÷ ⎪--+⎝⎭，然后从-1，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．专项五 二次根式知识清单一、二次根式的有关概念1. 二次根式：一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．2. 最简二次根式：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数中不含 的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 二、二次根式的性质 （1）2＝ （a ≥0） ；（2a＝（3= （a ≥0，b ≥0）； （4= （a ≥0，b ＞0）．三、二次根式的运算1. 二次根式的加减：先将二次根式化成 ，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2. 二次根式的乘除：（1＝ （a≥0，b≥0）． （2= （a≥0，b ＞0）． 考点例析 例1 函数()02y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥-1 B ．x ＞2 C ．x ＞-1且x ≠2 D ．x ≠-1且x ≠2分析：根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的概念列不等式组求解．（a ≥0）， （a <0）；归纳：（1）被开方数ａ≥０；ꎻ（2）观察参数是否在分母位置，分母不能为０；ꎻ （3）观察参数是否有在０次幂的底数位置，底数不能为０. 例2 下列运算正确的是（ ）A 3B ．4=C =D 4=分析：根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐个计算后判断．例3 计算：222122122⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---．分析：先利用绝对值的性质去掉绝对值符号，同时将后面两个完全平方式展开或利用平方差公式计算，最后再进行加减运算． 解：归纳：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等来简化运算． 跟踪训练1.0x 的取值范围是（ ）A ．x ＞-1B ．x ≥-1且x ≠0C ．x ＞-1且x ≠0D ．x ≠02.2，5，m ）A ．2m-10B ．10-2mC ．10D ．43.设6a ，小数部分为b ，则(2a b +的值是（ ）A ．6B ．C ．12D ．4.计算=____________．5.的结果是 _____．6.这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a b =则ab=1，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++，则1210S S S +++=__________．专项六 代数式中的数学思想1.整体思想整体思想是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.本讲中求代数式的值时，将某一已知代数式的值作为整体代入计算，就运用了整体思想.例1 已知x-y=2，111x y-=，求x2y-xy2的值．11y=变形后得到y-x=xy，再将x2y-xy2因式分解后，整体代入计算．解：2.从特殊到一般的思想从特殊到一般的思想是指在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，从解决特殊问题的规律中，寻找解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决. 例2 观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9-Y4=（）A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×24分析：根据前几个图中的树枝数，可发现树枝分杈的规律为Y n=2n-1①从而可求出Y9-Y4．跟踪训练1.已知x2-3x-12=0，则代数式-3x2+9x+5的值是（）A．31 B．-31 C．41 D．-412.按一定规律排列的单项式：a2①4a3①9a4①16a5①25a6①…，第n个单项式是（）A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．（n+1）2a n3.若1136xx+=，且0＜x＜1，则221xx-=_______．4.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点.第4题图参考答案专项一 列代数式例1 D 例2 1275 1．B 2．2 3．()12112n nn a b +-+-⋅ 4．n 2+n -1专项二 整 式例1 D 例2 C 例3 3例4 解：原式=9x 2-6x+1+1-9x 2=-6x+2.当x=16时，原式=-6×16+2=1.1．B 2．C 3．A 4．D5．解：原式=x 2+4xy+4y 2+x 2-4y 2+x 2-4xy=3x 2．6．解：原式＝x 2﹣6x +9+x 2﹣9+4x ﹣2x 2＝﹣2x ．当x ＝﹣12时，原式＝﹣2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1． 专项三 因式分解例1 A 例2 361．C 2．A 3．m （m-2） 4．4041 5．()224a x + 6．37. 解:原式=2x(x 2-4)=2x(x+2)(x-2). 当x=3时，原式=2×3×（3+2）（3-2）=30.专项四 分 式例1 C 例2 B例3 解：原式=2221+12121x x x x x x +-+÷+++=()()2+2+112x x x x x ⋅++=x （x +1）=x 2+x ． 解方程x 2-x-2=0，得x 1=2,x 2=-1． 因为x+1≠0①所以x≠-1． 当x=2时，原式=22+2=6． 1．B 2．A 3．44．解：因为12A B x x ---=()()()()2112A x B x x x -+---=()()()212A+B x A B x x ----=()()2612x x x ---，所以22 6.A B A B +=⎧⎨--=-⎩，解得42.A B =⎧⎨=-⎩，5．原式＝()()()22113331a a a a a a --+--⋅-+＝()()()2113331a a a a a a +--+-⋅-+＝()()221331a a a a +-⋅-+=2a ﹣6． 因为a ＝-1或a ＝3时，原式无意义，所以a 只能取1或0． 当a ＝1时，原式＝2﹣6＝﹣4．（当a ＝0时，原式＝﹣6）专项五 二次根式例1 C 例2 C例3 解：原式112-=441．C 2．D 3．A 4．3 5．6．10专项六代数式中的数学思想例11-=，所以y-x=xy．因为x-y=2，所以y-x=xy=-2．y所以原式=xy(x-y)=-2×2=-4．例2 B1．B 2．A 3．-654．19036。
2020年中考数学一轮复习考点讲义及练习：代数式(含答案)
数式用括号括起来，后面写上单位．如：温度由
t℃ 下降 2℃ 后所列代数式为 _____．
3．列代数式：把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫做列代数式．要特别关注数字或
【中考真题】
【2019 海南】 当 ?? = -1 时，代数式 2?? + 3 的值是
A ． -1
B．0
C．1
D．2
透析 考纲
在中考中代数式的考查属于必考考点，考试方向主要有列代数式、 代数式的书写规范、代数式的化简求值等，考查题型涉及选择题、填空 题及解答题，属于基础知识 .
解题 技巧
中考中对代数式值的考查属于高频考点，各类题型均可考查，在解答 题中一般属于难度不大的基础题．熟练列代数式和准确计算是解题的 关键，同时对整体代入的思想时有涉及．
【好题变式练】
1． 【 2019 秋 ?海淀区校级期中】 已知 3x–y–2＝ 0，求代数式 5×（ 3x–y） 2–9x+3y–13 的值．
A ．赚了 0.01??元
B ．亏了 0.01??元
C．赚了 0.99??元
D ．不赔不赚
要点归纳
列代数式
（ 1）准确分析题目中相关数量之间的关系；
【考向 04】代数式的值
2
【试题】 【2019 湖南中考】 已知 ??- 3＝ 2 ，则代数式（ ??- 3 ） - 2（ ??- 3） + 1的值为 ________．
完全对称式的是 ________．
7． 【 2019 春 ?宝应县期中】 已知 a+b＝ 25， ab＝ 156，求下列代数式的值：
（1） a2+b2；（ 2） a3b–2a2b2+ab3．
8．【 2019 浙江期中】 “囧”（ ji ǒng）是一个风靡网络的流行词，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边
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第2讲 代数式及整式的运算一、考点知识梳理【考点1 代数式定义及列代数式】1.代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式． 2．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值．【考点2 幂的运算】1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． a m •a n ＝a m +n （m ，n 是正整数）2.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （a m ）n ＝a mn （m ，n 是正整数）3.积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab ）n ＝a n b n （n 是正整数）4.同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． a m ÷a n ＝a m ﹣n （a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ） 【考点3 合并同类项】所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项. 把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【考点4 整式的乘法】单项式乘以多项式m(a ＋b)＝am ＋bm多项式乘以多项式(a ＋b)(m ＋n)＝am ＋an ＋bm ＋bn 二、考点分析【考点1 代数式定义及列代数式】【解题技巧】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式；(2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含义；(3)注意书写规则：a×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1a；数字通常写在字母前面，如a×3通常写作3a ；带分数一般写成假分数，如115a 通常写作65a.【例1】（2019.海南中考）当m ＝﹣1时，代数式2m +3的值是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【举一反三1-1】（2019.云南中考）按一定规律排列的单项式：x 3，﹣x 5，x 7，﹣x 9，x 11，……，第n 个单项式是（ ） A ．（﹣1）n ﹣1x 2n ﹣1 B ．（﹣1）n x 2n ﹣1 C ．（﹣1）n ﹣1x 2n +1D ．（﹣1）n x 2n +1【举一反三1-2】（2019•台湾）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a ，矩形面积为b ．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（ ）A ．4a +2bB ．4a +4bC ．8a +6bD ．8a +12b【举一反三1-3】（2019•台湾）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为10份意大利面，x 杯饮料，y 份沙拉，则他们点了几份A 餐？（ ）A ．10﹣xB ．10﹣yC ．10﹣x +yD ．10﹣x ﹣y【考点2 幂的运算】【解题技巧】1.在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a 2b 2）3与（a 2b 2）4，（x ﹣y ）2与（x ﹣y ）3等；②a 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．2.概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．3.注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．【例2】（2019•广东中考）下列计算正确的是（）A．b6+b3＝b2B．b3•b3＝b9C．a2+a2＝2a2D．（a3）3＝a6【举一反三2-1】（2019•甘肃中考）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【举一反三2-2】（2019•海南中考）下列运算正确的是（）A．a•a2＝a3B．a6÷a2＝a3C．2a2﹣a2＝2D．（3a2）2＝6a4【举一反三2-3】（2019•江苏南京中考）计算（a2b）3的结果是（）A．a2b3B．a5b3C．a6b D．a6b3【举一反三2-4】（2019•山东济南中考模拟）在平面直角坐标系中，任意两点A（a，b），B（c，d），定义一种运算：A*B＝[（3﹣c），]，若A（9，﹣1），且A*B＝（12，﹣2），则点B的坐标是_______．【考点3 合并同类项】【解题技巧】合并同类项时要注意以下三点：（1）要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；（2）明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；（3）“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．（4）只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)．【例3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．【举一反三3-1】（2019•山东威海中考）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．3a2+a＝3a3C．a5÷a2＝a3（a≠0）D．a（a+1）＝a2+1【举一反三3-2】（2019•辽宁沈阳中考）下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2【举一反三3-3】（2019•河北石家庄中考模拟）先化简，再求值：（5a2+2a+1）﹣4（3﹣8a+2a2）+（3a2﹣a），其中．【举一反三3-4】（2019•山东青岛中考模拟）化简求值：已知整式2x 2+ax ﹣y +6与整式2bx 2﹣3x +5y ﹣1的差不含x 和x 2项，试求4（a 2+2b 3﹣a 2b ）+3a 2﹣2（4b 3+2a 2b ）的值． 【考点4 整式的乘法】【解题技巧】多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。
【例4】（2019•河北邯郸中考模拟）阅读：已知二次三项式x 2﹣4x +m 有一个因式是x +3，求另一个因式及m 的值．解“设另一个因式为x +n ，得x 2﹣4x +m ＝（x +3）（x +n ）则x 2﹣4x +m ＝x 2+（n +3）x +3n ∴解得∴另一个因式为x ﹣7，m 的值为﹣21问题：仿照上述方法解答下列问题：（1）已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是2x ﹣5，求另一个因式及k 的值． （2）已知2x 2﹣13x +p 有一个因式x ﹣3，则P ＝ ．【举一反三4-1】（2019•辽宁大连中考模拟）计算2x （3x 2+1），正确的结果是（ ） A ．5x 3+2x B ．6x 3+1 C ．6x 3+2x D ．6x 2+2x【举一反三4-2】(2016 河北中考)若mn =m +3，则2mn +3m -5nm +10=_____.【举一反三4-3】（2019•台湾中考）计算（2x ﹣3）（3x +4）的结果，与下列哪一个式子相同？（ ） A ．﹣7x +4B ．﹣7x ﹣12C ．6x 2﹣12D ．6x 2﹣x ﹣12【举一反三4-4】（2019•辽宁葫芦岛中考模拟）已知y = 31x – 1,那么31x 2 – 2xy + 3y 2 – 2的值是 . 三、【达标测试】 一.选择题1.(2019 河北石家庄中考模拟)如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x ，淇淇猜中的结果应为y ，则y ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．x ＋3 2．(2019 山东青岛中考模拟)若x ＝1，则|x －4|＝( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 3.(2017 重庆中考)若x ＝－13，y ＝4，则代数式3x ＋y －3的值为( )A ．－6B ．0C ．2D ．64.（2019•湖南长沙中考模拟）已知x-2y=3，则代数式6-2x+4y 的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．-3 D ．35.（2019•江苏徐州中考）下列计算正确的是（ ） A ．a 2+a 2＝a 4 B ．（a +b ）2＝a 2+b 2 C ．（a 3）3＝a 9D ．a 3•a 2＝a 66.（2019•深圳）下列运算正确的是（ ） A ．a 2+a 2＝a 4B ．a 3•a 4＝a 12C ．（a 3）4＝a 12D ．（ab ）2＝ab 27.（2019•江苏徐州中考）（2019•青岛）计算（﹣2m ）2•（﹣m •m 2+3m 3）的结果（ ） A ．8m 5B ．﹣8m 5C ．8m 6D ．﹣4m 4+12m 58.（2019•新疆中考）下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6 B ．（﹣2ab ）2＝4a 2b 2C ．x 2+3x 2＝4x 4D ．﹣6a 6÷2a 2＝﹣3a 39.（2019•成都）下列计算正确的是（ ） A ．5ab ﹣3a ＝2b B ．（﹣3a 2b ）2＝6a 4b 2C ．（a ﹣1）2＝a 2﹣1D ．2a 2b ÷b ＝2a 210.（2019•南通中考）下列计算，正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6 B ．2a 2﹣a ＝aC ．a 6÷a 2＝a 3D ．（a 2）3＝a 6二、填空题1.（2018，盐城市中考模拟）如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 张．2. （2018，山东省济南中考模拟）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：所剪次数1 2 3 4 … nab bb aa C BA 第1题图则a n ＝ （用含n 的代数式表示）．3.（2019，河北石家庄中考模拟）下图是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为3时，则输出的数值为 ．4.（2019，山东省德州中考模拟）有一组按规律排列的单项式：2a ，4a 3，6a 5，8a 7，…，第25个单项式是 .5. （2018，辽宁葫芦岛中考模拟）在图3所示的运算流程中，若输出的数y=3，则输入的数x= ．三.解答题1.（2019.河北沧州中考模拟）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a ＝b ＝0．我们称使得成立的一对数a ，b 为“相伴数对”，记为（a ，b ）．（1）若（1，b ）是“相伴数对”，求b 的值； （2）若（m ，n ）是“相伴数对”，其中m ≠0，求； （3）若（m ，n ）是“相伴数对”，求代数式m ﹣﹣[4m ﹣2（3n ﹣1）]的值．2.（2018，徐州巿中考模拟）已知21,23.x x x =--求的值3.（2018，内江市中考模拟）阅读下列内容后，解答下列各题： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．例如：考查代数式(1)(2)x x --的值与0的大小 当1x <时，10x -<，20x -<，(1)(2)0x x ∴--> 当12x <<时，10x ->，20x -<，(1)(2)0x x ∴--< 当2x >时，10x ->，20x ->，(1)(2)0x x ∴--> 综上：当12x <<时，(1)(2)0x x --< 当1x <或2x >时，(1)(2)0x x --> （1） 填写下表：（用“+”或“-”填入空格处）（2）由上表可知，当x 满足 时，(2)(1)(3)(4)0x x x x ++--<； （3）运用你发现的规律，直接写出当x 满足 时，(7)(8)(9)0x x x -+-<3.（2019，河北省沧州中考模拟）下图是某居民小区的一块面积为4ab 平方米的长方形空地，准备在空地的四个顶点处修建一个半径为a 米的扇形花台，在花台内种花，其余部分种草.如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？4.（2019，海南中考）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 ，这2019个数的和是 ．5.（2019，吉林中考）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．。