贝叶斯统计知识整理
贝叶斯统计复习
贝叶斯统计习题1. 设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为 （1）U 0,1θ:（）（2）21-0<<1=0,θθπθ⎧⎨⎩（），（）其它 求θ的后验分布。
解：()()()()()111335368362(|)(1)*2(1)112(1)15(|)840(1),01m x p x d C d d p x x m x θπθθθθθθθθθθπθπθθθθ==--=-===-<<⎰⎰⎰2． 设12,,,n x x x L 是来自均匀分布U 0,θ（）的一个样本，又设θ的先验分布为Pareto 分布，其密度函数为+1000/>=0,αααθθθθπθθθ⎧⎨≤⎩，（）其中参数0>0,>0θα，证明：θ的后验分布仍为Pareto 分布。
解：样本联合分布为：1(),0np x x θθθ=<<1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩{}110101()()()/1/,max ,,,n n n x p x x x αααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>=L因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩即得证。
3． 设12,,,n x x x L 是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为-(|)=,>0xp x e x λλλ，（1） 证明：伽玛分布(,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布。
（2） 若从先验信息得知，先验均值为0.0002，先验标准差为0.0001，确定其超参数,αβ。
解：()()()111()1()()()()(),.nii x nn n x n n x p x ee ex p x e Ga n nx λλααβλαβλλλλβπλλαλπλλπλλαβ=----+--+∑===Γ∝∝++样本的似然函数：参数的后验分布服从伽马分布220.0002(2)4,20000.0.0001αβαβαβ⎧=⎪⎪⇒==⎨⎪=⎪⎩4. 设一批产品的不合格品率为θ，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X 为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X 服从几何分布，其分布列为 ()-1(=|)=1-,=1,2,x P X x x θθθL假如θ只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值=3x ，求θ的最大后验估计ˆMDθ。
贝叶斯统计的基本原理与方法
贝叶斯统计的基本原理与方法贝叶斯统计作为一种概率统计方法，具有广泛的应用领域和强大的实用性。
本文将介绍贝叶斯统计的基本原理与方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、贝叶斯定理贝叶斯定理是贝叶斯统计的基础，它建立了先验概率和后验概率之间的关系。
贝叶斯定理的数学表达为：P(A|B) = ( P(B|A) * P(A) ) / P(B)其中，P(A|B) 表示在给定B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在给定A发生的条件下B发生的概率，P(A) 表示A发生的先验概率，P(B) 表示B发生的先验概率。
二、贝叶斯统计方法贝叶斯统计方法基于贝叶斯定理，通过不断更新概率分布来推断模型参数或进行预测。
主要包括先验分布、似然函数和后验分布的计算。
1. 先验分布先验分布是对参数的先验信息的概率分布。
在没有实际观测数据前，我们通常根据经验或领域知识来选择合适的先验分布。
常见的先验分布有均匀分布、正态分布等。
2. 似然函数似然函数是在给定参数值的情况下，观测数据出现的可能性。
通过似然函数，我们可以评估参数值对观测数据的拟合程度。
似然函数越大，说明参数值越能解释观测数据。
3. 后验分布后验分布是在考虑观测数据后，对参数进行更新和修正得到的概率分布。
根据贝叶斯定理，后验分布与先验分布和似然函数的乘积成正比。
通过后验分布，我们可以得到参数的点估计或区间估计。
三、贝叶斯统计的应用贝叶斯统计具有广泛的应用领域，我们将以两个具体问题来说明其应用。
1. 医学诊断贝叶斯统计在医学诊断中有重要的应用。
在医学检测中，我们通常需要根据患者的检测结果判断其是否患有某种疾病。
贝叶斯统计可以帮助我们评估患病的概率，并根据患者的症状和其他相关因素进行精确的诊断。
2. 文本分类贝叶斯统计在文本分类中被广泛应用。
通过对已知类别的文本进行训练，我们可以得到每个单词在不同类别下的概率分布，即先验概率。
然后，根据贝叶斯定理，我们可以根据给定的文本内容来计算其在不同类别下的后验概率，从而实现文本的自动分类。
统计学中的贝叶斯统计与决策理论
统计学中的贝叶斯统计与决策理论统计学中的贝叶斯统计学是一种基于贝叶斯公式和概率论原理的统计推断方法。
它与传统的频率主义统计学方法相比，具有许多独特的优势。
本文将介绍贝叶斯统计学的基本原理、应用领域以及与决策理论的关系。
一、贝叶斯统计学的基本原理贝叶斯统计学是由英国数学家托马斯·贝叶斯提出的，它基于概率论的贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在给定B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在给定A发生的条件下B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B分别发生的概率。
贝叶斯统计学的基本原理是根据已有的先验知识和新的观测数据，通过不断更新概率分布来得出对未知参数的后验概率分布。
通过贝叶斯公式，可以将观测数据与已有知识相结合，得出对未知参数的概率分布，从而进行推断和预测。
二、贝叶斯统计学的应用领域贝叶斯统计学广泛应用于各个领域，包括医学、金融、生物学、工程学等。
其应用主要体现在以下几个方面：1. 参数估计：贝叶斯统计学通过考虑先验信息，对参数进行估计。
与传统的频率主义统计学方法相比，贝叶斯统计学能够更好地利用已有的知识，提供更准确的参数估计。
2. 假设检验：贝叶斯统计学提供了一种新的方法来进行假设检验。
通过计算后验概率与先验概率的比值，可以得到对不同假设的相对支持程度，从而在决策时提供更全面的信息。
3. 预测分析：贝叶斯统计学通过更新概率分布，可以对未来的事件进行预测。
这使得贝叶斯统计学在金融风险预测、天气预报等领域有着广泛的应用。
三、贝叶斯统计学与决策理论的关系贝叶斯统计学与决策理论密切相关。
决策理论主要研究如何在不确定情况下做出最优决策。
而贝叶斯统计学可以为决策提供一个统一的框架，通过计算不同决策的后验概率，从而选择概率最大的决策。
在贝叶斯决策理论中，需要考虑多个可能的决策结果以及每个决策结果的概率。
通过使用贝叶斯统计学中的贝叶斯公式，可以将观测数据与已有知识相结合，计算每个决策结果的后验概率，从而选择概率最大的决策。
贝叶斯统计——精选推荐
英国学者T.贝叶斯1763年在《论有关机遇问题的求解》中提出一种归纳推理的理论，后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法。
贝叶斯的基本观点：1.认为未知参数是一个随机变量，而非常量。
2.在得到样本以前，用一个先验分布来刻画关于未知参数的信息。
3. 贝叶斯的方法是用数据，也就是样本，来调整先验分布，得到一个后验分布。
4.任何统计问题都应由后验分布出发。
统计推断中主要有三种信息，一是总体信息，即总体分布或总体所属分布族给我们的信息；二是样本信息，即总体中抽取的样本给我们提供的信息；三是先验信息，即抽样之前有关统计问题的一些信息。
贝叶斯学派和经典学派的不同在于对统计推断的三种信息使用的不同，基于前两种信息的统计推断称为经典统计学，它的基本观点是把数据看成是来自具有一定分布的总体，所研究的对象是这个总体而不局限于数据本身。
基于以上三种信息进行的统计推断被称为贝叶斯统计学。
它与经典统计学的主要差别在于是否利用先验信息，在使用样本信息上也是有差异的。
贝叶斯学派的最基本的观点是：任何一个未知量θ都可看作一个随机变量，应用一个概率分布去描述对θ的未知状况。
这个概率分布是在抽样前就有的关于θ的先验信息的概率陈述。
因为任一未知量都有不确定性，而在表述不确定性程度时，概率与概率分布是最好的语言。
这个概率分布就被称为先验分布。
贝叶斯学派认为先验分布不必有客观的依据，它可以部分地或完全地基于主观信念。
这个是经典学派与贝叶斯学派争论的一个焦点，经典学派认为经典统计学是用大量重复试验的频率来确定概率、是“客观”的，因此符合科学的要求，而认为贝叶斯统计是“主观的”，因而只对个人做决策有用。
这是当前对贝叶斯统计的主要批评。
贝叶斯学派认为引入主观概率及由此确定的先验分布至少把概率与统计的研究与应用范围扩大到了不能大量重复的随机现象中来。
其次，主观概率的确定不是随意的，而是要求当事人对所考察的事件有较透彻的了解和丰富的经验，甚至是这一行的专家，在这个基础上确定的主观概率就能符合实际。
贝叶斯统计概要（待修改）
贝叶斯统计概要（待修改）⼀：频率派，贝叶斯派的哲学现在考虑⼀个最最基本的问题，到底什么是概率?当然概率已经是在数学上严格的，良好定义的，这要归功于30年代⼤数学家A.N.Kolmogrov的概率论公理化。
但是数学上的概率和现实世界到底是有怎样的关系?我们在⽤数学理论--------概率论解决实际问题的时候，⼜应该⽤什么样的观点呢?这真差不多是个哲学问题。
这个问题其实必须得好好考察⼀下，下⾯我们看看最基本的两种哲学观，分别来⾃频率派和贝叶斯派，我们这⾥的“哲学”指的是数学研究中朴素的哲学观念，⽽不是很严肃的哲学讨论。
1.1.经典的统计(频率派)的哲学：1)概率指的是频率的极限，概率是真实世界的客观性质(objective property)2)概率分布的参数都是固定的，通常情况下未知的常数，不存在"参数\theta满⾜XXX的概率是X"这种概念。
3)统计⽅法应该保证具有良好的极限频率性质，例如95%区间估计应该保证当N⾜够⼤的时候，我们选取N个样本集S_{1}, S_{2},...,S_{N}所计算出来的相应的区间I_{1}，I_{2}，...，I_{N}中将有⾄少95%*N个区间包含我们需要估计的统计量的真实值。
我们从上看到，经典频率派的统计是⾮常具有唯物主义（materialism）⾊彩的，⽽贝叶斯的哲学⼤不⼀样，据考证贝叶斯是英格兰的⼀名牧师，他研究数学的⽬的是为了论证上帝的存在，但是很可惜没有成功。
神学背景可能是使他的数学具有主观唯⼼⾊彩的⼀个重要因素，也使得贝叶斯统计从⼀开始就有⼀定的争议。
1.2.贝叶斯哲学：1)概率描述对某件事件发⽣的信念(Belief)，或者称相信度的⼤⼩，所以我们可以⽤“概率”来描述很多实际上不存在的事件，例如"我认为希特勒赢得⼆战的概率是0.1"，虽然希特勒是输了，但是0.1描述的是我对他获胜这件事情的信念⼤⼩，它并不是频率的极限，因为我们并不可能坐着时光旅⾏器穿越回⼆战⼀万次去看希特勒赢了⼏次，再算出他成功的概率，这⾥的概率再也不是客观性质，⽽是主观信念。
贝叶斯统计ppt课件
29
二 参数的Bayes点估计
（3）后验中位数估计
若 Me是后验分布h(θ| x )的中位数， 则 Me称为θ的后验中位数估计。即若
u0.5 h( x)d 0.5
则后验分布中位数估计
Me u0.5
30
二 参数的Bayes点估计
以上三种估计统称θ的Bayes估计，记为
或简记B 为 。它们 皆是样本观察值
18
历史迭代图
不收敛 收敛
19
(2)观察自相关性图 （m）
自相关性图用于描述（m）序列在不同迭代
延迟下的相关性，延迟i的自相关性是指相 距i步的两迭代之间的相关性。具有较差的 性质的链随着迭代延迟的增加会表现出较 慢的自相关衰弱。
20
21
22
23
Bayes Bayes统计推断
Bayes统计推断概述 参数的Bayes点估计 Bayes区间估计 Bayes假设检验
选择检验统计量，确定抽样分布，等等。
41
四 Bayes假设检验
Bayes假设检验不同型：
简单假设 简单假设
复杂假设 复杂假设 假单假设 复杂假设
42
四 Bayes假设检验
Bayes因子
设两个假设Θ0，Θ1的先验概率分布为π0与π1，
即：
0 P( 0 ),1 P( 1)
则 0 1 称为先验概率比。
3
（一）预备知识
4
5
（二）基本思想
6
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
7
8
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
(完整版)贝叶斯统计方法
贝叶斯方法贝叶斯分类器是一种比较有潜力的数据挖掘工具，它本质上是一种分类手段，但是它的优势不仅仅在于高分类准确率，更重要的是，它会通过训练集学习一个因果关系图（有向无环图）。
如在医学领域，贝叶斯分类器可以辅助医生判断病情，并给出各症状影响关系，这样医生就可以有重点的分析病情给出更全面的诊断。
进一步来说，在面对未知问题的情况下，可以从该因果关系图入手分析，而贝叶斯分类器此时充当的是一种辅助分析问题领域的工具。
如果我们能够提出一种准确率很高的分类模型，那么无论是辅助诊疗还是辅助分析的作用都会非常大甚至起主导作用，可见贝叶斯分类器的研究是非常有意义的。
与五花八门的贝叶斯分类器构造方法相比，其工作原理就相对简单很多。
我们甚至可以把它归结为一个如下所示的公式：选取其中后验概率最大的c，即分类结果，可用如下公式表示贝叶斯统计的应用范围很广，如计算机科学中的“统计模式识别”、勘探专家所采用的概率推理、计量经济中的贝叶斯推断、经济理论中的贝叶斯模型等。
上述公式本质上是由两部分构成的：贝叶斯分类模型和贝叶斯公式。
下面介绍贝叶斯分类器工作流程：1．学习训练集，存储计算条件概率所需的属性组合个数。
2．使用1中存储的数据，计算构造模型所需的互信息和条件互信息。
3．使用2种计算的互信息和条件互信息，按照定义的构造规则，逐步构建出贝叶斯分类模型。
4．传入测试实例5．根据贝叶斯分类模型的结构和贝叶斯公式计算后验概率分布。
6．选取其中后验概率最大的类c，即预测结果。
一、第一部分中给出了7个定义。
定义1 给定事件组，若其中一个事件发生，而其他事件不发生，则称这些事件互不相容。
定义 2 若两个事件不能同时发生，且每次试验必有一个发生，则称这些事件相互对立。
定义 3 若定某事件未发生，而其对立事件发生，则称该事件失败定义4 若某事件发生或失败，则称该事件确定。
定义 5 任何事件的概率等于其发生的期望价值与其发生所得到的价值之比。
定义6 机会与概率是同义词。
第六章 贝叶斯统计初步
4i i 2 (1 ) 5 4
它的概率分布为
P( i / 4 X 2)
1/4
9/20
2/4
8/20
3/4
3/20
根据定理4知，在0-1损失函数下，的贝叶斯 ˆ 1 ，因为这是后验分布的众数。 估计应是
4
贝叶斯学派与经典学派的区别：
（1）贝叶斯学派的出发点与经典学派不同，后 者的出发点是样本分布的频率函数 p ( x; ) 。 （2）在给定样本等于x时，对 ( x) 或 f ( x; ) 的含义的解释上也不同，前者在贝叶斯学派眼 中是关于 的（条件）频率函数；而后者在经 典学派眼中（作为 的函数）并没有概率的含 义在里面，因而称为似然函数。
结论：对于随机变量X， （1）若 EX 2 ，则
E( X EX )2 mina E( X a)2
（2）若 E X ，M(X)为X的中位数，则
E X M ( X ) mina E X a
2 ˆ ˆ 定理2 在平方损失函数 L( , ) ( ) 下 ， 的贝叶斯估计为后验分布 ( x) 的条件期望，
h( x, ) ( x)m( x) ~ ~ ~ 其中 m ( x )是 x 的边缘密度函数，公式为 ~
~
~
m( x) h( x, )d p ( x ) ( )d
~
它与 无关，或者说 m ( x )中不含 任何信息。 ~ 因此能用来对作出推断的仅是条件分布，它的 计算公式为
这就是参数为x+1和n-x+1的 分布B(x+1,n-x+1)。
第二节 贝叶斯估计
一、损失函数（lost function）
STAT
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从先验分布 ( ) 产生一个样本 ，这一步是“老天爷”做的，人们是看不到的， 故用“设想”二字。第二部是从总体分布 p(x| )产生一个样本 x=( x1 ,…, xn ), 这个样本是具体的，人们能看到的，此样本 x 发生的概率是与如下联合密度函数 成正比。
假设 III ：从贝叶斯观点来看，未知参数 是一个随机变量。而描述这个随 机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分布称为先验分布，其密度函数用 ( ) 表示。 2. 先验分布
定义 1 ：将总体中的未知参数 看成一取值于 的随机变量，它有一概
率分布，记为 ( ) ，称为参数 的先验分布。
（1）B(a,b) B(b, a) (2)B(a,b) (a)(b) (a b)
中有关 的一切信息，而又是排除一切与 无关的信息之后所得到的的结果。
（三）贝叶斯公式的离散形式
是离散随机变量时，先验分布可用先验分布列 (i ) ,i=1,2,…,表示。这
时后验分布也是离散形式。
( i | x )
p ( x | i ) ( i ) ，i 1,2, p ( x | j ) ( j )
i 1
k
B Ai 则有： i 1
P ( Ai B )
P ( Ai ) P ( B Ai )
k
P ( Ai ) P ( B Ai )
i 1
（二）贝叶斯公式的密度函数形式
1.贝叶斯学派的一些具体思想
假设 I ：随机变量 X 有一个密度函数 p(x; ) ，其中 是一个参数，不同的
对应不同的密度函数，故从贝叶斯观点看， p(x; ) 是在给定 后的一个条件密度
的仅是条件分布 ( x) 。它的计算公式是 ( | x ) h ( x | ) p ( x | ) ( )
m ( x ) p ( x | ) ( ) d
这就是贝叶斯公式的密度函数形式。这个在样本 x 给定下， 的条件分布
( x1,, xn ) 被称为 的后验分布。它是集中了总体、样本和先验等三种信息
( ) 0
( )
Var ( X ) 2
4.伽马分布的特性
（1）当α=1，伽玛分布就是指数分布 （2）当α=1/2 1/ 2 时，伽马分布称为自由度为 n 的卡方分布。 （二）贝塔分布
1.贝塔函数
B(a,b) 1 xa1(1 x)b1dx 0
称为贝塔函数，其中参数 a>0,b>0 贝塔函数的性质 2.
（2）由于 是设想出来的，它仍然是未知的，它是按先验分布 ( ) 而产生 的，要把先验信息进行综合，不能只考虑 ，而应对 的一切可能加以考虑。故 要用 ( ) 参与进一步综合。这样一来，样本 x 和参数 的联合分布
h(x, ) p(x ) 把三种可用的信息都综合进去了。 （3）我们的任务是要求未知数 做出统计推断。在没有样本信息时，人们
函数，因此记为 p(x ) 更恰当一些。在贝叶斯统计中记为 p(x) 它表示在随机变
量 给定某个值时，总体指标 X 的条件分布。这个条件密度能提供我们的有关
的 信息就是总体信息。
假设 II ：当给定 后，从总体 p(x ) 中随机抽取一个样本 X1，…，Xn，该
样本中含有 的有关信息。这种信息就是样本信息。
（ 3） 为自然数 n 时， ( n 1) n !
3.伽马分布
若随机变量 X 具有概率密度函数：
p(x)
(
)
x
e 1 x
,
0,
x0 x0
则称 X 服从伽玛分布, 记作 X ~Ga（，）. 其中 0 为形状参数， 0 为
尺度参数。
E( X ) x e 1 x ( 1) 1
第一章 先验分布和后验分布
统计学有两个主要学派，频率学派与贝叶斯学派。频率学派的观点：统计推 断是根据样本信息对总体分布或总体的特征数进行推断，这里用到两种信息：总 体信息和样本信息；贝叶斯学派的观点：除了上述两种信息以外，统计推断还应 该使用第三种信息：先验信息。贝叶斯统计就是利用先验信息、总体信息和样本 信息进行相应的统计推断。
合称为抽样信息)对先验分布 ( ) 作调整的结果。所以对 的统计推断就应建立
在后验分布 ( x) 的基础上。
三、伽玛分布与贝塔分布 （一）
2.伽马函数的性质：
（ 1） (1) 1; ( 1 ) 2
（ 2） ( 1) ( )
j
假如总体 X 也是离散的，那只要把上述中的密度函数 p(x ) 看作为概率函
数 p (x x ) 即可。
二、后验分布是三种信息的综合 一般来说，先验分布 ( ) 是反映人们在抽样前对 的认识，后验分布 ( x)
是反映了人们在抽样后对 的认识，之间的差异是由于样本 X 出现后人们对 认 识的一种调整。所以后验分布 ( x) 可以看作是人们用总体信息和样本信息(综
只能据先验分布对 作出推断。在有样本观察值 x=( x1 ,…, xn )之后，我们依据 h(x, ) 对 作出推断。为此我们需把 h(x, ) 作如下分解：
h(x, ) ( x)m(x)
其中 m(x)是 x 的边缘密度函数。
m(x) h(x, )d p(x ) ( )
它与 无关，或者说，m(x)中不含 的任何信息。因此能用来对 作出推断
n
p(x ) p(xi ) i 1
这个联合密度函数是综合了总体信息和样本信息，常称为似然函数，记为 L( ) 。频率学派和贝叶斯学派都承认似然函数，两派认为：在有了样本观察值 x=( x1 ,…, xn )后，总体和样本中所含 的信息都被包含在似然函数 L( ) 之中， 可在使用似然函数作统计推断时，两派之间还是有差异的。
1.1 三种信息
（1）总体信息：总体分布或所属分布族提供给我们的信息 （2）样本信息：从总体抽取的样本提供给我们的信息 （3）先验信息：在抽样之前有关统计推断的一些信息
1.2 贝叶斯公式
一、贝叶斯公式的三种形式
(一）贝叶斯公式的事件形式
假定
A1 ,
,
Ak
k
是互不相容的事件，它们之和 Ai 包含事件 B，即