勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类
一.知识归纳
1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2
ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422
S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222
ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形
4.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长,求第三边
在ABC ?中,90C ∠=?
,则c
,b =
,a
②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
5.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;
c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a
b
c c b a E D C B A
②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形
6.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:
丢番图发现的:式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数)
毕达哥拉斯发现的:122,22,1222++++n n n n n (1>n 的整数)
柏拉图发现的:1,1,222+-n n n (1>n 的整数)
7.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.
8..勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
9.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.
题型一:直接考查勾股定理
例1.在ABC ?中,90C ∠=?.
⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长
⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长
题型二:应用勾股定理建立方程
例2.
⑴在ABC ?中,90ACB ∠=?,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD = ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为
例3.如图ABC ?中,90C ∠=?,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长 2
1
D
C
B
A
例4.如图Rt ABC ?,90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积
题型三:实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一
只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m 。
题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ?是否为直角三角形
① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23
c =
例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状?
题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知ABC ?中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,
求证:AB AC =。
1、在B 港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M 岛,乙船到P 岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
D C B A
2、为美化环境,计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三角形绿地,
请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
3、如图,铁路上A、B两站(视为直线上两点)相距25千米,C、D为两个村庄(视为两个点),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=15 千米,CB=10千米,现要在铁路上建设一个土特产收购站E,使得C、D两村到E的的距离相等,则E应建在
距A多少千米处?
4、在河L的同侧有两个仓库A、B相距1640米,其中A距河210米,B距河570米,现要在河岸上建一个货运码头,使得两仓库到码头的路程和最短,问:这个最短路程是多少?码头应建在何处?
5、有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面。这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少?
典型题训练
一.勾股定理
1.在Rt△ABC中,AC=12,AB=20,求BC的长。
2.△ABC 中,若AC=15,BC=13,AB 边上的高CD=12,求△ABC 的周长。
二.勾股定理的逆定理
1.已知,在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是
a,b,c,)1(1,2,12
2>+==-=n n c n b n a ,求∠C 的度数。
2.如图,A,B 是公路l(l 为东西走向)两旁的两个小村庄,A 村到公路l 的距离AC=1km ,B 村到公路l 的距离BD=2km ,B 村在A 村的南偏东45°方向上.
(1)求出A ,B 两村之间的距离;
(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P ,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P 的位置(保留清晰的作图痕迹)。
3.一艘在海上朝正北方向航行的轮船,在航行240海里时方向
仪坏了,凭经验,船长指挥船左转90o,继续航行70海里,则
距出发地250海里,你判断船转弯后是否沿正西方向航行?
三.最短路径问题
1.如图所示是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B
是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?
2.有一圆柱形油罐,如图所示,要从A点环绕油罐建梯子,正好到A点的正上方B点,若油罐底面半径是4m,高是7m,π≈3,问梯子最短是多少米?
三.折叠问题
1.如图,矩形纸片ABCD中,AB=8cm,把矩形纸片沿直线AC折叠点B落在点E处,AE交DC 于点F,若AF=6.25cm,求AD的长。
2.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,BC=10cm,AB=8cm,求EC的长。
3.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿着直线AD
折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长。
4.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A对应点A′,且B′C=3,求CN和AM的长。
四.网格问题
1.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长为1,△ABC的三个顶点在格点上,求△ABC 中AB边上的高。
六.面积问题
1.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的边长分别为6和8,求b的面积。
2.如图所示,在△ABC中,AC=10,BC=17,CD=8,AD=6,(1)求BD的长;(2)求△ABC 的面积。
3.如图,在△ABC 中,∠ABC=90o,分别以BC,AB,AC 为边向外作正方形,面积分别记为S 1、S 2、S 3,若S 2=4,S 3=6,则S 1= 。
4.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90o,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示的方法将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在AB 边的C′点,求△ADC′的面积。
七.勾股定理的证明
1.一个直立的火柴盒在桌面倒下,启迪人们发现了勾股定理一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a ,BC=b ,AC=c ,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理:222c b a =+。
勾股定理题型归纳
勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 (1) 先确定最大边(如c ) (2) 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 (3) 若2 c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若2c ≠2 2b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足2 2 b a +=2 c 的三个正整数,称为勾股数 如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10;(4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 41 勾股定理培优经典题型归纳 题型一:利用勾股定理解决实际问题 训练1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 训练2、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响 的时间为多少?
题型二、与勾股定理有关的图形问题 训练3.如图,直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____. 题型三、关于翻折问题 训练4、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG. 训练5、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F.若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积. 训练6、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=, 求BF 的长. G A B F E D C B A
勾股定理知识点总结
第18章 勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 方法二: b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证
a b c c b a E D C B A 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是,类似地可作 。 作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB ,使AB 为斜边; (2)以AB 为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为 ; (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, , 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
最新勾股定理知识点与常见题型总结(1)
《勾股定理分类练习》 题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三 角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2 注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边 1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是 2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的 边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。 3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______ “知二求一”的题,可以直接利用勾股定理! 4、在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A .25 B .14 C .7 D .7或25 1、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 2、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值. 题型三:勾股定理的逆定理: 1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .2,3,4 B .10,8,4 C .7,25,24 D .7,15,12 2、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、1 3、5 ③ 17、8 、15 ④ 4、11、9其中能构成直角三形的有: ( ) A、4组 B、3组 C、2组 D、1组 3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形 4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题 题型四、与直角三角形面积相关
勾股定理知识点总结
第十七章勾股定理知识点总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90 ∠=?,则c, C b,a=) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 (若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A勾股定理全章知识点归纳总结