华理高数答案第3章

第3章 （之1） 第13次作业

教学内容：§3.1微分 **1. ．

求，设　dy x x x x y x

),4

0(2tan )

(cos )(sin π

<

<+= 解: dy y x dx ='()

[]{}

dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +⋅-=　.

**2. 设　求．y x e e dy x x ()ln()=++--241

解:

du u du du dy dy e

u x

2211,+===-则　令　dx e

e x x

4212--+-=　.

**3. 设　且处处可微求ϕϕϕϕϕ(),(),ln ()()x x d x x >⎡⎣⎢⎤

⎦

⎥

0 解:

)

()

(ln x x u ϕϕ=

记， 则du u x x d )()()(ln ϕϕϕϕ'=⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡dx x x x x u )()

(ln )()()(2

ϕϕϕϕϕ⋅'-'⋅'= []dx x x x x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'⋅-'=

)()(ln )(ln 1)()

(2ϕϕϕϕϕϕ　.

**4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033

3

=>=-+ 解: 由033

3

=-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 32

2

=+-+y x x y a y y x x

x ax

y x ay y d d 22

--=∴.

**5. .)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+- 解: 0)()sin(cos sin =+⋅+++⋅dy dx y x xdx y x dy 由　

得　dy y x x y x x y dx =-

++++cos sin()

sin sin()

.

**6. .263的近似值用微分方法计算 解:127)()()()(0003-=∆=∆⋅'+≈∴=x x x

x f x f x f x x f ．，令　

959.227

1

3263

=-

≈.

**7..151cos ,0

的值计算用微分代替增量

解: f x x x x ()cos ===

==

．，000150561180ππ

∆, 8747.0360

23180)150(sin 150cos )151(000-≈--=⋅-≈π

πf .

**8.cm cm cm 005.02.55一层厚的空心铁球的表面上镀外半径为在一个内半径为

量。

个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm 9.18g/cm 86.7,

解: ，．．，86.72.053

41113

==∆==ρπr r r V

)(6.4932086.7486.712

11g r r m ≈⨯=∆⋅⋅≈ππ，

，，，9.18005.02.5222==∆=ρr r

)(1.32005.0)2.5(49.1822g m =⋅⨯≈π.

**9. ，要使周期，摆长，其中单摆振动周期cm 8.9cm/s 98022===l g g

l

T π

?,01.0摆长需增长多少增大s

解: l gl dT T ∆=

≈∆π

)(31.001.014

.398

cm T gl

l ≈⋅≈

∆≈

∆　π

.

**10.设扇形的圆心角

60=α，半径cm R 100=，如果R 保持不变，α减少

03'，问扇形面积约改变多少？如果 60=α不变，R 增加cm 1，问扇形面积

约改变多少？

解：扇形面积公式为2

2

1R S α=

， （1） 视α为变量，则63.43)360(21)d d (2-=-⋅=∆⋅≈∆πααR S S 。 （2） 视R 为变量，则7.10411003

d d =⋅⋅=∆⋅=∆⋅≈∆π

αR R R R S S .

**11.测得一个角大小为

45，若已知其相对误差为%3，问由此计算这个角的正弦函数值所

产生的绝对误差和相对误差各是多少？

解：设角度为x ，于是x y sin =，由微分近似计算，有

（1）01666.0%3422%3445cos cos =⨯⨯=⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯⋅=∆⋅=∆⋅'≈∆ππ x x x y y ； （2）%356.2sin =∆⋅'≈∆x

x

y y y .

第3章 （之2）

第14次作业

教学内容：§3.2微分中值定理

**1. .arcsin )(]1,1[的值时应用拉格朗日中值定理内对函数试求在ξ=-x x f

解：在上连续在内可导f x x ()arcsin [,],(,)=--1111 即在满足拉格朗日中值定理的条件f x ()[,]-11

又'=-f x x ()1

12

令'=-=----=f f f ()()()()ξξ

π

11111122

得到内的解(,)-=±-

1114

2

ξπ

即存在ξπξπ12

22

14

14

=-

=--

,,使

)2,1()1(1)

1()1()(=----='i f f f i ，ξ.

**2. 成立内使则在设))(()()(,1

)(,0,a b f a f b f b x a x

x f ab b a -'=-<<=<<ξ

ξ的点 （ ）

的具体数值有关

与是否存在 不存在有两点 只有一点 b a D C B A ,,)(,)()()(

答　()C

***3.设()()()()()d x c x b x a x x f ----=（其中d c b a <<<），不用求()x f '，说明方程

()0='x f 有几个实根，指出它们所在的区间。

解：显然，()x f 在[][][]d c c b b a ,,,,,三个闭区间上连续，且在()()()d c c b b a ,,,,,内可导，又因为有()()()()0====d f c f b f a f ，由罗尔中值定理，至少存在三点

()()()d c c b b a ,,,,,321∈∈∈ξξξ，

使得()()()0321='='='ξξξf f f .