2015年第7届全国大学生数学竞赛(非数学类)预赛试卷

2015年第7届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试卷

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭

. （2）设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ⎛

⎫++= ⎪⎝⎭

所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠。则z z x y x y

∂∂+=∂∂ . （3）曲面221z x y =++在点()1,1,3

M -的切平面与曲面所围区域的体积是 .

（4）函数()[)[)3,5,00.0,5x f x x

⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的值是 .

（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为的()2

0xt u x e dt +∞

-=⎰，则()u x 的初等函数表达式是 .

二、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。

三、（12分）设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内无穷次可导。

四、（14分）求幂级数()()30211!n n n x n ∞

=+-+∑的收敛域，及其和函数。

五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且

()()11

000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰。试证： （1）[]00,1x ∃∈使()04f x >

（2）[]10,1x ∃∈使()14f x = 六、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222x x x y y y f f f M ++≤。若 ()()()0,00,0,00,00,x y f f f ===证明：

(

)221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰。