用列表法或画树状图法求概率 (3)
用列表法和树状图法求概率课件
你的理由.不公平.其概率分别为13/25和12/25.
本题中元音字母: A E I
辅音字母: B C D H
A
B
C
D
E
C
D
E
H
IH
IH
IH
IH
IH
I
A
AA
AA
A
BBB
BBB
C
CD
DE
E
CCD
DEE
H
IH
IH
I
HI
H
I
HI
解：由树形图得，所有可能出现的结果有 12个，它们出现的可能性 相等。
（1）满足只有一个元音字母的结果有5个，
则P（1个元音）=
5 12
（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有 3个，则
P（两辆车右转，一辆车左转） =
3
=
1
27
9
7 （3）至少有两辆车左转的结果有 7个，则 P（至少有两辆车左转） = 27
.依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏” 的奥秘：（1）用列表的方法表示有可能的 闯关情况； （2）求出闯关成功的概率
1、掷一枚骰子，落地后4或2朝上的概率为（ 1 ）
9、两人一组，每人在纸上随机1 写出一个1----5之间的整数，两人所写的两 个整数恰好是相同的概率是（5 ）
10、（2009江西中考题）某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签 方式决定自己的考试内容。规定：每位考生必须在三个物理实验(用纸签 A,B.C表示）和三个化学实验（用纸签D,E,F表示)中各抽取一个进行考试， 小刚在看不到纸签的情况下，分别从中各随机抽取一个 （1）：用“列表法”或“树状图法'表示可能出现的结果； （2）：小刚抽到物理实验B和化学实验F（记事件M)的概率是多少？
知识卡片-列表法与树状图法
列表法与树状图法能量储备在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性的大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．注意：(1)用列举法求概率时，各种情况出现的可能性必须相同；(2)全面列举出所有可能的结果，各种情况不能重复，也不能遗漏；(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示．通关宝典★基础方法点方法点1：利用概率公式计算某个事件发生的概率时，可利用列表法或画树状图法找全所有可能出现的情况，并将可能出现的全部的结果数作为分母．例1袋中有大小相同、标号不同的白球2个，黑球2个．(1)从袋中连取2个球后不放回，取出的2个球中有1个白球，1个黑球的概率是多少？(2)从袋中有放回地取出2个球的顺序为黑、白的概率是多少？解：(1)根据题意列表如下：共有12种等可能情况，符合题意的有8种，故有1个白球，1个黑球的概率P ＝812＝23. (2)画树状图如图所示．共有16种等可能情况，符合条件的有4种，故取球顺序为黑、白的概率P ＝416＝14. ★ ★ 易混易误点易混易误点1:研究所有等可能结果时重复或遗漏例2 从装有两个红球、两个黄球(每个球除颜色外其他均相同)的袋中任意取出两个球，取出一个红球和一个黄球的概率是( )A.13B.23C.14D.12解析：我们不妨把四个球分别记为红1，红2，黄1，黄2，从中摸出两个球的所有可能结果为(红1，红2)，(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(黄1，黄2)，共6种，其中一红一黄共有4种，故其概率P ＝46＝23.故选B . 答案：B分析：本题易错误地认为任意取出两个球，共可能出现“两红”“两黄”“一红一黄”三种可能的结果，所以任意取出两个球，取得一个红球和一个黄球的概率为13. 易混易误点2:不能准确区分放回抽样与不放回抽样对事件发生概率的影响例2 有完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，－1，2，－2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后不放回摇匀)．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m ，n ，以m ，n 分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点(m ，n)不在第二象限的概率．解：用列表法．可以看出，共有12种等可能的情况，其中点(m，n)不在第二象限的有8种情况，所以点(m，n)不在第二象限的概率P＝812＝23.,注意：对于某一关注的结果，放回抽样与不放回抽样是完全不同的，本题易忽视“不放回”这一条件而错误地列出如下表格求错概率．蓄势待发考前攻略考查用列表法或画树状图法求事件的概率是中考的必考内容，命题形式有填空题、选择题、解答题，难度适中．试题常用的背景有摸球、抽取卡片、转转盘、掷骰子等富有生活气息及与社会生活息息相关的内容，是中考的命题趋势，要引起重视.完胜关卡。
利用画树状图和列表计算概率课件
解：
大刚
小亮
抽到A组
抽到B 组
抽到C 组
BC
抽到C组
CA CB CC
P(
同组）=
3 9
=1
3
答：他们恰好分到一组的概率是
1 3·
利用树状图或表格可以清楚地表示出某个事件 产生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某 些事件产生的概率.
除上述方法外，还可以用什么方法解决这个问题？
列表
大刚 小亮
走A
走B
走A
AA
AB
走B
BA
BB
所有等可能的4种结果，即AA、AB、BA、BB，其中二人 相
遇的结果有2种.
想一想： 用树状图和列表法来计算概率，有什么优点？
用树状图和列表法来能帮助我们将所有可能的 结果，直观的列出来做到既不重复也不遗漏.
例1. A，B两个盒子里各装入分别写有数字0，1的两 张卡片，分别从每个盒子中随机取出1张卡片，两张 卡片上的数字之积为0的概率是多少？
解：画树状图
从树状图可以看出，两张卡片 上的数字之积共有4个等可能 结果，从中可找出“两数之积 为0”这一事件的结果有3个.
方法二：列表
B
A
0
1
0
0
0
1
0
1
由上表可知，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结 果，积为0的结果有3种.
次数
54
100
46
(1)根据表格提供的信息分别求出事件A、B、C产生的频率；
（2）你能求出事件A、B、C产生的理论概率吗？ （3）比较同一事件的频率与概率是否一致？
通过这节课的学习，你将知道答案.
如图,甲、乙两村之间有两条A，而两条道路，小亮从甲村 去往乙村，大刚从乙村去往甲村，二人同时出发.如果每人 从A，B两条道路中随机选择一条，而且他们都不知道对方 的选择，那么二人途中相遇的概率是多少？
北师大版初中数学九年级上册第三章知识点
九年级第三章
概率的进一步认识
一、用树状图或表格求概率
知识点1：用列表法求概率
1.列表法：用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能出现的次数和方式，并求出概率。
2.适当条件：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果的数目较多时为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法
3.具体步骤：
（1）列表；
（2）计数；确定所有等可能的结果数n和符合要求的结果数m
m
（3）求值利用概率公式P（A）=
n
知识点2：用画树状图法求概率
1.画树状图法：用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能出现的次数和方式，并求出概率。
2.适当条件：当一次试验涉及两个或者更多因素时，为了不重不漏地列出可能的结果，通常采用画树状图法。
知识点3：游戏的公平性
1.游戏是否公平，即判断双方的概率是否相等
2.把不公平的游戏变公平的方法
改变游戏规则，使双方获胜的概率相等
若游戏中涉及得分情况，先计算出概率后，再根据游戏规则，改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得分数相等。
二、用频率估计概率
1.一般地，大量重复试验中，如果事件A 发生频率
n m 稳定于某个常数p ，那么事件A 发生的概率为p 2.P(A)=n
m （当试验的结果有无限多个，或者可能出现的结果发生的可能性不相同时，我们一般通过频率来估计概率）。
3.1用树状图或表格求概率(放回型或独立型)课件++2023—2024学年北师大版数学九年级上册
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率 .
片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机一次性抽取两张卡片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是__.
5.(2022·珠海市一模)某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用 ， ， 依次表示这三种型号）.小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是__;
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率.（用树状图或列表的方法求解）.
解：树状图如下：
由上可得，一共有12种等可能性，其中一定有乙的可能性有6种，故一定有乙的概率是 .
10.如图，正方形的边长为2，中心为 ，从 ， ， ， ， 五点中任取两点.
（1）求取到的两点间的距离为2的概率；
解：从 ， ， ， ， 五点中任取两点，所有等可能出现的结果有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有10种，满足两点间的距离为2的结果有 ， ， ， 这4种，则 两点间的距离为 .
（2）求取到的两点间的距离为 的概率；
共有6种等可能的结果，它们为 ， ， ， ， ， .
（2）求点 在 轴上的概率.
[答案] 点 在 轴上的结果数为3， 点 在 轴上的概率 .第2课 用树状图或表格求概率 （不放回型）
3.1用树状图或列表法求概率
（2）从箱子中任意摸出一个球，将它放回箱子，搅匀后再摸出
一个球，求两次摸出的球都是白球的概率.
第一次 第二次 白1 白2 红 白1 （白1,白1） （白1,白2） （白1,红） 白2 （白2,白1） (白2,白2) （白2，红） 红 (红,白1) （红,白2） (红,红)
2 1
（1）当小球取出后不放入箱子时, 共有6种结果，每个结果的可能 性相同，摸出两个白球概率为： （2）小球取出后放入是，共有9种结果,每种结果的可能性相同， 摸出两个相等. 列表法求概率的基本步骤
第一步：列表格；
第二步：在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的 个数m；
m 第三步：代入概率公式 P( A)= 计算事件的概率. n
3.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么
从每组牌中各摸出一张牌.
（1）摸出两张牌的数字之和为4的概念为多少？ （2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？
拓展延伸
一只箱子里共有3个球，其中有2个白球，1个红球，它们除 了颜色外均相同. （1）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸
出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率；
解：（1）列表如下：
第一次 第二次 白1 白2 红 白1 —— （白1,白2） （白1,红） 白2 （白2,白1） —— （白2，红） 红 (红,白1) （红,白2） ——
3.1 用树状图或列表法求概率
由于硬币质地是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝 上”和“反面朝上”的概率相同.无论抛掷第一枚硬币出现怎样 的结果，抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的 概率也是相同的. 我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果.
第一枚硬币 树状图 第二枚硬币 所有可能出现的结果
人教版九年级数学上册《用画树状图法和列表法求概率》课件
You made my day!
我们，还在路上……
画出来的图像倒立的树而得名.它是通过画树状图的手段将所有 等可能
的结果一一列出,给人以一目了然的感觉.
温馨提示(1)画树状图法适用于一次试验中涉及三个或更
多个因素的情况,用列表法无能为力的时候就用画树状图法. (2)画树状图法的优点是:①防止遗漏;②揭示顺序,条理清楚,层次分明,
便于分析判断. (3)画树状图时,每个“分支”的意义不同,但它们具有相同的等可能性,
故从 C
1,3,4,5
中任选两数,能与
2
组成“V
数”的概率是162
=
12.
解析
关闭
答案
1
2
3
2.如图,有两个可以自由转动的转盘,转盘各被等分成三个扇形,并分别标上 1,2,3 和 6,7,8 这 6 个数字.如果同时转动两个转盘各一次(指针落在等分线 上重转),转盘停止后,则指针指向的数字和为偶数的概率是( )
是
.
列表如下:
(4,6) (5,6) (6,6) (7,6) (8,6) (9,6) (4,5) (5,5) (6,5) (7,5) (8,5) (9,5) (4,4) (5,4) (6,4) (7,4) (8,4) (9,4) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3) (9,3) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) (9,2) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1)
第2课时 用画树状图法和列表法求概率
课标要求 知识梳理
1.会用画树状图法、列表法计算两步或三步试验的随机事件发生的概 率.
2.能根据概率的大小对生活中与概率有关的事件作出正确的评判.
用树状图或表格求概率 (3)
一种常用方法.
用树状图和列表的方法求概率时应注意些什么?
用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结 果出现的可能性务必相同.
典型例题
一个盒子中有两个红球，两个白球和一个蓝球， 这些球除颜色外其它都相同，从中随机摸出一球， 记下颜色后放回，再从中随机摸出一球。求两次 摸到的球的颜色能配成紫色的概率.
把两个红球记为红1、红2；两个白球记为白1、 白2.则列表格如下：
黄 (红,黄)
蓝 (红,蓝)
白
(白,黄) (白,蓝)
绿
(红,绿) (白,绿)
总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同， 所以，游戏者获胜的概率是 1
6
想一想 5
“配紫色”游戏的变异
用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏. 蓝
小颖制作了下图,并据此求出游戏者
获胜的概率是1
1200
红
2
红
红
(红,红)
红白 A盘
蓝 黄
绿 B盘
议一议 3
“配紫色”游戏
树状图可以是:
黄
红
蓝
绿 开始
黄
白
蓝
绿
(红,黄) (红,蓝) (红,绿) (白,黄) (白,蓝) (白,绿)
总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同， 所以，游戏者获胜的概率是 1
6
想一想 4
“配紫色”游戏
表格可以是：
第二个 转盘
第一个 转盘
红
种结果出现的可能性务必相同. “配紫色”游戏体现了概率模型的思想,它 启示我们:概率是对随机现象的一种数学描 述,它可以帮助我们更好地认识随机现象, 并对生活中的一些不确定情况作出自己的 决策.
下课了!
时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个 “变数”.
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用列表法或画树状图法求概率（放回、不放回）
【方法】使用列表法或画树状图法求概率时，首先要通过列表或画树状图列出所有可能出现的结果数n ,然后找出符合事件A 出现的结果数m ,用公式求出
n
m
A P =)(即得所求事件的概率。
【分类】放回、不放回
类型一：明确写出放回、不放回类型
例1：一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是？
例2：一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片后放回再抽取的一张卡片上数字之积为负数的概率是？
类型二：隐含放回、不放回类型
例3：（指定特殊条件）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，先她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是( ) A ．1
2
B ．13
C ．16
D ．23
答：根据题意，列表如下： 共有 6 种可能的结果，每种结果出现的可能性都相同。
其中恰好选中“A 入口进入、
从C ，D 出口”的结果有2种，所以3
162)出口D ，C 入口A (==
P
例4：选人（不放回）（2019济南）该年级学生会宣传部有 2 名男生和 2 名女生，现从中随机挑选 2 名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣 传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率．
有 8 种，所以3
2128)(==
选择一男一女P 出口
出口
【同类题】
1.（2019历下一模）调查结果中，该校九年级（2）班有四名同学相当优秀，了解程度为“很了解”，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“舜文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
2.（2019年市中一模）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
3.（2019长清一模）已知受访的教师中，E 组只有2名女教师，F 组只有1名男教师，现要从E 组、F 组中分别选派1名教师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是1男1女的概率．
例5：选课（放回）(2018济南中考)小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
A （A,A ） （B,A ） （C,A ）
B （A,B ） （B,B ） （C,B ） C
（A,C ）
（B,C ）
（C,C ）
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：39＝13
．
【同类题】
1. （2015年中考）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
2. （2014年中考）学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率
为（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41。