高考数学真题专题(理科数学)解三角形

专题四 三角函数与解三角形

第十二讲 解三角形

2019年

1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．

（1）求A ；

（22b c +=，求sin C ．

2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===，则ABC △的面积为__________.

3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2

A C

a b A +=． （1）求B ；

（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．

4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与

CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?=?，则

AB

AC

的值是 .

5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．

（1）若a =3c ，b ，cos B =

2

3

，求c 的值； （2）若

sin cos 2A B a b =，求sin()2

B π

+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，

若45BDC ∠=?，则BD =____，cos ABD ∠=________.

7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2

B =- ． （Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -

C ) 的值.

8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，

3sin 4sin c B a C =.

（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π??

+

??

?

的值. 2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos

2=C 1=BC ，5=AC ，则=AB

A ．

B

C

D ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ?的面积

为222

4

a b c +-，则C =

A ．

2

π

B ．

3

π C ．

4

π D ．

6

π 3．（2017山东）在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?为锐角三

角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A = 4

．（2016年天津）在ABC ?中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC =

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =

，BC 边上的高等于1

3

BC ,则cos A =

A B C ．- D ．-

6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12

，1AB =，BC =

AC =

A ．5 B

C ．2

D ．1

7．(2014重庆)已知ABC ?的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --

1

2

+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是

A ．8)(>+c b bc B

．()ab a b +> C ．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若

22()6c a b =-+，3

C π

=

，则ABC ?的面积是

A ．3

B ．

239 C ．2

3

3 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，

此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于

A

．1)m B

．1)m

C ．1)m

D ．1)m 10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2

23cos A +

cos20A =，7a =，6c =，则b =

A ．10

B ．9

C ．8

D ．5

11．（2013辽宁）在ABC ?，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +

1

sin cos 2

c B A b =，且a b >，则B ∠=

A ．6π

B ．3

π

C ．23π D

．56π

12．（2013天津）在△ABC 中，,3,4

AB BC ABC π

∠==

=则sin BAC ∠=

A B C D 13． （2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,

则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

14．（2012广东）在ABC ?中，若60,45,A B BC ??

∠=∠==AC =

A ．

B ．

C

D 15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，

2

sin cos cos a A B b A +

=，则

=a

b

A ．

B ．

C D

16．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，

2BC BD =，则sin C 的值为

C

A ．

3 B ．6 C ．3 D ．6

16．（2010湖南）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=，

c =，

则

A ．a b >

B ．a b <

C ．a b =

D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题

18．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=?，ABC ∠的平

分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．

19．(2018浙江)在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =

2b =，

60A =，则sin B =___________，c =___________．

20．（2017浙江）已知ABC ?,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,

连结CD ,则BDC ?的面积是___________，cos BDC ∠=__________．

21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的

值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，

6S = ．

22．（2016年全国II ）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4

cos 5

A =

， 5

cos 13

C =

，1a =，则b = ．

23．(2015广东)设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =

1sin 2B =

，6

C π

=，则b = ．

24．（2015福建）若锐角ABC ?的面积为5AB =，8AC =，则BC 等于 ． 25．（2015新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB

的取值范围是_______．

26．（2015北京）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则

sin 2sin A

C

= ．

27．（2015天津）在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ?的面积为

2b c -=，1

cos 4

A =-，则a 的值为 ．

28．（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧

一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．

29．（2014新课标Ⅰ）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从

A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CA

B ∠=?以及75MA

C ∠=?；

从C 点测得60MCA ∠=?．已知山高100BC m =，则山高MN =____m ．

30．（2014广东）在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知cos b C +

cos 2c B b =，则

=b

a

． 31．（2013安徽）设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，则

3sin 5sin ,A B =则角C =_____.

32．（2013福建）如图ABC ?中，已知点D 在BC

边上，AD ⊥AC ，sin 3

BAC ∠=

， AB =3AD =，则BD 的长为_______________．

C

33．（2012安徽）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是 ．

①若2

ab c >；则3

C π

<

②若2a b c +>；则3

C π

<

③若3

3

3a b c +=；则2

C π

<

④若()2a b c ab +<；则2

C π

>

⑤若2

2

2

22

()2a b c a b +<；则3

C π

>

34．（2012北京）在ABC ?中，若1

2,7,cos 4

a b c B =+==-，则b = ． 35．（2011

新课标）ABC ?中，60,B AC =?=

，则AB +2BC 的最大值为____．

36．（2011新课标）ABC ?中，120,7,5B AC AB =?==，则ABC ?的面积为_ __． 37．（2010江苏）在锐角三角形ABC ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，

6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C C

A B

+

=_______．

38．（2010山东）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b =

=，

sin cos B B +=A 的大小为 ．

三、解答题

39．（2018北京）在ABC ?中，7a =，8b =，1

cos 7

B =-． (1)求A ∠；

(2)求AC 边上的高．

40．（2018全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，

5BD =． (1)求cos ADB ∠；

(2)若DC =BC ．

41．（2018天津）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知

sin cos()6

b A a B π=-

． (1)求角B 的大小；

(2)设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．

42．（2017新课标Ⅰ）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ?的

面积为2

3sin a A

(1)求sin sin B C ；

(2)若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ?的周长．

43．（2017新课标Ⅲ）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

已知sin 0A A =，a =2b =． (1)求c ；

(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求ABD ?的面积．

44．（2017新课标Ⅱ）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

已知2

sin()8sin 2

B

A C +=． (1)求cos B

(2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ．

45．（2017天津）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5a =，

6c =，3

sin 5

B =

． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求π

sin(2)4

A +

的值． 46．（2017北京）在ABC ?中，A ∠=60°，37

c a =

． （Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）若7a =，求ABC ?的面积．

47．（2016年山东）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

tan tan 2(tan tan ).cos cos A B

A B B A

+=

+ （Ⅰ）证明：2a b c +=； （Ⅱ）求cos C 的最小值．

48．（2016年四川）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，

且

cos cos sin A B C

a b c

+=

． （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若2

2

2

6

5

b c a bc +-=

，求tan B . 49．（2016年全国I ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

2cos (cos cos ).C a B+b A c =

（I ）求C ；

（II ）若c ABC △=

的面积为

2

，求ABC △的周长． 50．（2015新课标2）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 面积是?ADC 面

积的2倍． (Ⅰ)求

sin sin B

C

；

(Ⅱ) 若AD =1，DC =

2

，求BD 和AC 的长． 51．（2015湖南）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan a b A =，且B 为钝角．

（1）证明：2

B A π

-=

；

（2）求sin sin A C +的取值范围．

52．（2014山东）ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知

3,cos 2

a A B A π

==

=+． （Ｉ）求b 的值； （II ）求ABC ?的面积．

53．（2014安徽）设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，

2A B =．

（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin()4

A π

+

的值．

54．（2013新课标Ⅰ）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB = 3 ，BC =1，P 为△ABC 内一

点，∠BPC ＝90°

（Ⅰ）若PB =1

2

，求P A ；

（Ⅱ）若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．

55．（2013新课标Ⅱ）ABC ?在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+． （Ⅰ）求B ；

（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值．

56．（2012安徽）设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ，且有2sin cos B A =

sin cos cos sin A C A C +．

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ) 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长．

57．（2012新课标）已知a 、b 、c 分别为ABC ?三个内角A 、B 、C 的对边，cos a C +

sin 0C b c --=．

（Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）若2=a ，ABC ?的面积为3，求b 、c ．

58．（2011山东）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知

cos 2cos 2cos A C c a

B b --=

． （I ）求sin sin C

A

的值；

（II ）若1

cos 4

B =，2b =，AB

C ?的面积S ．

59．（2011安徽）在ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ，

b ，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高．

60．（2010陕西）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现

位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南

偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？

61．（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位：m ），如示意图，垂直放置的

标杆BC 的高度h =4m ，仰角∠ABE =α，∠ADE =β．