高考数学真题专题(理科数学)解三角形


专题四 三角函数与解三角形
第十二讲 解三角形
2019年
1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设
22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.
(1)求A ;
(22b c +=,求sin C .
2.(2019全国Ⅱ理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π
6,2,3
b a
c B ===,则ABC △的面积为__________.
3.(2019全国Ⅲ理18)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知sin sin 2
A C
a b A +=. (1)求B ;
(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.
4.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与
CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?=?,则
AB
AC
的值是 .
5.(2019江苏15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .
(1)若a =3c ,b ,cos B =
2
3
,求c 的值; (2)若
sin cos 2A B a b =,求sin()2
B π
+的值. 6.(2019浙江14)在ABC △中,90ABC ∠=?,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,
若45BDC ∠=?,则BD =____,cos ABD ∠=________.
7.(2019北京15)在ABC △中,a =3,b -c =2 ,1cos 2
B =- . (Ⅰ)求b ,c 的值; (Ⅱ)求sin(B -
C ) 的值.
8.(2019天津理15)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,
3sin 4sin c B a C =.
(Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π??
+
??
?
的值. 2010-2018年
一、选择题
1.(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos
2=C 1=BC ,5=AC ,则=AB
A .
B
C
D .2.(2018全国卷Ⅲ)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ?的面积
为222
4
a b c +-,则C =
A .
2
π
B .
3
π C .
4
π D .
6
π 3.(2017山东)在ABC ?中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC ?为锐角三
角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是 A .2a b = B .2b a = C .2A B = D .2B A = 4
.(2016年天津)在ABC ?中,若AB BC =3,120C ∠= ,则AC =
A .1
B .2
C .3
D .4
5.(2016年全国III )在ABC △中,π4B =
,BC 边上的高等于1
3
BC ,则cos A =
A B C .- D .-
6.(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12
,1AB =,BC =
AC =
A .5 B
C .2
D .1
7.(2014重庆)已知ABC ?的内角A ,B ,C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --
1
2
+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是
A .8)(>+c b bc B
.()ab a b +> C .126≤≤abc D .1224abc ≤≤ 8.(2014江西)在ABC ?中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,若
22()6c a b =-+,3
C π
=
,则ABC ?的面积是
A .3
B .
239 C .2
3
3 D .33 9.(2014四川)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75,30,
此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于
A
.1)m B
.1)m
C .1)m
D .1)m 10.(2013新课标Ⅰ)已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2
23cos A +
cos20A =,7a =,6c =,则b =
A .10
B .9
C .8
D .5
11.(2013辽宁)在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若sin cos a B C +
1
sin cos 2
c B A b =,且a b >,则B ∠=
A .6π
B .3
π
C .23π D
.56π
12.(2013天津)在△ABC 中,,3,4
AB BC ABC π
∠==
=则sin BAC ∠=
A B C D 13. (2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,
则△ABC 的形状为 A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .不确定
14.(2012广东)在ABC ?中,若60,45,A B BC ??
∠=∠==AC =
A .
B .
C
D 15.(2011辽宁)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,
2
sin cos cos a A B b A +
=,则
=a
b
A .
B .
C D
16.(2011天津)如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,2AB AD AB ==,
2BC BD =,则sin C 的值为
C
A .
3 B .6 C .3 D .6
16.(2010湖南)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若120C ∠=,
c =,
则
A .a b >
B .a b <
C .a b =
D .a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题
18.(2018江苏)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=?,ABC ∠的平
分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .
19.(2018浙江)在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =
2b =,
60A =,则sin B =___________,c =___________.
20.(2017浙江)已知ABC ?,4AB AC ==,2BC =. 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,
连结CD ,则BDC ?的面积是___________,cos BDC ∠=__________.
21.(2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的
值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ,
6S = .
22.(2016年全国II )ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若4
cos 5
A =
, 5
cos 13
C =
,1a =,则b = .
23.(2015广东)设ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =
1sin 2B =
,6
C π
=,则b = .
24.(2015福建)若锐角ABC ?的面积为5AB =,8AC =,则BC 等于 . 25.(2015新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,75A B C ∠=∠=∠=,2BC =,则AB
的取值范围是_______.
26.(2015北京)在ABC △中,4a =,5b =,6c =,则
sin 2sin A
C
= .
27.(2015天津)在ABC ?中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ?的面积为
2b c -=,1
cos 4
A =-,则a 的值为 .
28.(2015湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧
一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m .
29.(2014新课标Ⅰ)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从
A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=?,C 点的仰角45CA
B ∠=?以及75MA
C ∠=?;
从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =,则山高MN =____m .
30.(2014广东)在ABC ?中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.已知cos b C +
cos 2c B b =,则
=b
a
. 31.(2013安徽)设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则
3sin 5sin ,A B =则角C =_____.
32.(2013福建)如图ABC ?中,已知点D 在BC
边上,AD ⊥AC ,sin 3
BAC ∠=
, AB =3AD =,则BD 的长为_______________.
C
33.(2012安徽)设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是 .
①若2
ab c >;则3
C π
<
②若2a b c +>;则3
C π
<
③若3
3
3a b c +=;则2
C π
<
④若()2a b c ab +<;则2
C π
>
⑤若2
2
2
22
()2a b c a b +<;则3
C π
>
34.(2012北京)在ABC ?中,若1
2,7,cos 4
a b c B =+==-,则b = . 35.(2011
新课标)ABC ?中,60,B AC =?=
,则AB +2BC 的最大值为____.
36.(2011新课标)ABC ?中,120,7,5B AC AB =?==,则ABC ?的面积为_ __. 37.(2010江苏)在锐角三角形ABC ,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,
6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C C
A B
+
=_______.
38.(2010山东)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2a b =
=,
sin cos B B +=A 的大小为 .
三、解答题
39.(2018北京)在ABC ?中,7a =,8b =,1
cos 7
B =-. (1)求A ∠;
(2)求AC 边上的高.
40.(2018全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,
5BD =. (1)求cos ADB ∠;
(2)若DC =BC .
41.(2018天津)在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知
sin cos()6
b A a B π=-
. (1)求角B 的大小;
(2)设2a =,3c =,求b 和sin(2)A B -的值.
42.(2017新课标Ⅰ)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC ?的
面积为2
3sin a A
(1)求sin sin B C ;
(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC ?的周长.
43.(2017新课标Ⅲ)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,
已知sin 0A A =,a =2b =. (1)求c ;
(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求ABD ?的面积.
44.(2017新课标Ⅱ)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,
已知2
sin()8sin 2
B
A C +=. (1)求cos B
(2)若6a c +=,ABC ?面积为2,求b .
45.(2017天津)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5a =,
6c =,3
sin 5
B =
. (Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求π
sin(2)4
A +
的值. 46.(2017北京)在ABC ?中,A ∠=60°,37
c a =
. (Ⅰ)求sin C 的值;
(Ⅱ)若7a =,求ABC ?的面积.
47.(2016年山东)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知
tan tan 2(tan tan ).cos cos A B
A B B A
+=
+ (Ⅰ)证明:2a b c +=; (Ⅱ)求cos C 的最小值.
48.(2016年四川)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,
且
cos cos sin A B C
a b c
+=
. (I )证明:sin sin sin A B C =; (II )若2
2
2
6
5
b c a bc +-=
,求tan B . 49.(2016年全国I )ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知
2cos (cos cos ).C a B+b A c =
(I )求C ;
(II )若c ABC △=
的面积为
2
,求ABC △的周长. 50.(2015新课标2)?ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,?ABD 面积是?ADC 面
积的2倍. (Ⅰ)求
sin sin B
C
;
(Ⅱ) 若AD =1,DC =
2
,求BD 和AC 的长. 51.(2015湖南)设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan a b A =,且B 为钝角.
(1)证明:2
B A π
-=
;
(2)求sin sin A C +的取值范围.
52.(2014山东)ABC ?中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知
3,cos 2
a A B A π
==
=+. (I)求b 的值; (II )求ABC ?的面积.
53.(2014安徽)设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且3b =,1c =,
2A B =.
(Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求sin()4
A π
+
的值.
54.(2013新课标Ⅰ)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB = 3 ,BC =1,P 为△ABC 内一
点,∠BPC =90°
(Ⅰ)若PB =1
2
,求P A ;
(Ⅱ)若∠APB =150°,求tan ∠PBA .
55.(2013新课标Ⅱ)ABC ?在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;
(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.
56.(2012安徽)设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ,且有2sin cos B A =
sin cos cos sin A C A C +.
(Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.
57.(2012新课标)已知a 、b 、c 分别为ABC ?三个内角A 、B 、C 的对边,cos a C +
sin 0C b c --=.
(Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)若2=a ,ABC ?的面积为3,求b 、c .
58.(2011山东)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知
cos 2cos 2cos A C c a
B b --=
. (I )求sin sin C
A
的值;
(II )若1
cos 4
B =,2b =,AB
C ?的面积S .
59.(2011安徽)在ABC ?中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,a ,
b ,12cos()0B C ++=,求边BC 上的高.
60.(2010陕西)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点,现
位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南
偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间?
61.(2010江苏)某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位:m ),如示意图,垂直放置的
标杆BC 的高度h =4m ,仰角∠ABE =α,∠ADE =β.