高考数学真题专题(理科数学)解三角形

专题四 三角函数与解三角形

第十二讲 解三角形

2019年

1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.

(1)求A ;

(22b c +=,求sin C .

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2.(2019全国Ⅱ理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===,则ABC △的面积为__________.

3.(2019全国Ⅲ理18)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知sin sin 2

A C

a b A +=. (1)求B ;

(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.

4.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与

CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?=?,则

AB

AC

的值是 .

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5.(2019江苏15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .

(1)若a =3c ,b ,cos B =

2

3

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,求c 的值; (2)若

sin cos 2A B a b =,求sin()2

B π

+的值. 6.(2019浙江14)在ABC △中,90ABC ∠=?,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,

若45BDC ∠=?,则BD =____,cos ABD ∠=________.

7.(2019北京15)在ABC △中,a =3,b -c =2 ,1cos 2

B =- . (Ⅰ)求b ,c 的值; (Ⅱ)求sin(B -

C ) 的值.

8.(2019天津理15)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,

3sin 4sin c B a C =.

(Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π??

+

??

?

的值. 2010-2018年

一、选择题

1.(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos

2=C 1=BC ,5=AC ,则=AB

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A .

B

C

D .2.(2018全国卷Ⅲ)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ?的面积

为222

4

a b c +-,则C =

A .

2

π

B .

3

π C .

4

π D .

6

π 3.(2017山东)在ABC ?中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC ?为锐角三

角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是 A .2a b = B .2b a = C .2A B = D .2B A = 4

.(2016年天津)在ABC ?中,若AB BC =3,120C ∠= ,则AC =

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A .1

B .2

C .3

D .4

5.(2016年全国III )在ABC △中,π4B =

,BC 边上的高等于1

3

BC ,则cos A =

A B C .- D .-

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6.(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12

,1AB =,BC =

AC =

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A .5 B

C .2

D .1

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7.(2014重庆)已知ABC ?的内角A ,B ,C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --

1

2

+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是

A .8)(>+c b bc B

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.()ab a b +> C .126≤≤abc D .1224abc ≤≤ 8.(2014江西)在ABC ?中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,若

22()6c a b =-+,3

C π

=

,则ABC ?的面积是

A .3

B .

239 C .2

3

3 D .33 9.(2014四川)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75,30,

此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于

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A

.1)m B

.1)m

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C .1)m

D .1)m 10.(2013新课标Ⅰ)已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2

23cos A +

cos20A =,7a =,6c =,则b =

A .10

B .9

C .8

D .5

11.(2013辽宁)在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若sin cos a B C +

1

sin cos 2

c B A b =,且a b >,则B ∠=

A .6π

B .3

π

C .23π D

.56π

12.(2013天津)在△ABC 中,,3,4

AB BC ABC π

∠==

=则sin BAC ∠=

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A B C D 13. (2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,

则△ABC 的形状为 A .锐角三角形

B .直角三角形

C .钝角三角形

D .不确定

14.(2012广东)在ABC ?中,若60,45,A B BC ??

∠=∠==AC =

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A .

B .

C

D 15.(2011辽宁)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,

2

sin cos cos a A B b A +

=,则

=a

b

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A .

B .

C D

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16.(2011天津)如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,2AB AD AB ==,

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2BC BD =,则sin C 的值为

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C

A .

3 B .6 C .3 D .6

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16.(2010湖南)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若120C ∠=,

c =,

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A .a b >

B .a b <

C .a b =

D .a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题

18.(2018江苏)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=?,ABC ∠的平

分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .

19.(2018浙江)在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =

2b =,

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60A =,则sin B =___________,c =___________.

20.(2017浙江)已知ABC ?,4AB AC ==,2BC =. 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,

连结CD ,则BDC ?的面积是___________,cos BDC ∠=__________.

21.(2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的

值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ,

6S = .

22.(2016年全国II )ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若4

cos 5

A =

, 5

cos 13

C =

,1a =,则b = .

23.(2015广东)设ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =

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1sin 2B =

,6

C π

=,则b = .

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24.(2015福建)若锐角ABC ?的面积为5AB =,8AC =,则BC 等于 . 25.(2015新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,75A B C ∠=∠=∠=,2BC =,则AB

的取值范围是_______.

26.(2015北京)在ABC △中,4a =,5b =,6c =,则

sin 2sin A

C

= .

27.(2015天津)在ABC ?中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ?的面积为

2b c -=,1

cos 4

A =-,则a 的值为 .

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28.(2015湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧

一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m .

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29.(2014新课标Ⅰ)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从

A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=?,C 点的仰角45CA

B ∠=?以及75MA

C ∠=?;

从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =,则山高MN =____m .

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30.(2014广东)在ABC ?中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.已知cos b C +

cos 2c B b =,则

=b

a

. 31.(2013安徽)设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则

3sin 5sin ,A B =则角C =_____.

32.(2013福建)如图ABC ?中,已知点D 在BC

边上,AD ⊥AC ,sin 3

BAC ∠=

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, AB =3AD =,则BD 的长为_______________.

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C

33.(2012安徽)设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是 .

①若2

ab c >;则3

C π

<

②若2a b c +>;则3

C π

<

③若3

3

3a b c +=;则2

C π

<

④若()2a b c ab +<;则2

C π

>

⑤若2

2

2

22

()2a b c a b +<;则3

C π

>

34.(2012北京)在ABC ?中,若1

2,7,cos 4

a b c B =+==-,则b = . 35.(2011

新课标)ABC ?中,60,B AC =?=

,则AB +2BC 的最大值为____.

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36.(2011新课标)ABC ?中,120,7,5B AC AB =?==,则ABC ?的面积为_ __. 37.(2010江苏)在锐角三角形ABC ,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,

6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C C

A B

+

=_______.

38.(2010山东)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2a b =

=,

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sin cos B B +=A 的大小为 .

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三、解答题

39.(2018北京)在ABC ?中,7a =,8b =,1

cos 7

B =-. (1)求A ∠;

(2)求AC 边上的高.

40.(2018全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,

5BD =. (1)求cos ADB ∠;

(2)若DC =BC .

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41.(2018天津)在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知

sin cos()6

b A a B π=-

. (1)求角B 的大小;

(2)设2a =,3c =,求b 和sin(2)A B -的值.

42.(2017新课标Ⅰ)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC ?的

面积为2

3sin a A

(1)求sin sin B C ;

(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC ?的周长.

43.(2017新课标Ⅲ)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,

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已知sin 0A A =,a =2b =. (1)求c ;

(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求ABD ?的面积.

44.(2017新课标Ⅱ)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,

已知2

sin()8sin 2

B

A C +=. (1)求cos B

(2)若6a c +=,ABC ?面积为2,求b .

45.(2017天津)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5a =,

6c =,3

sin 5

B =

. (Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求π

sin(2)4

A +

的值. 46.(2017北京)在ABC ?中,A ∠=60°,37

c a =

. (Ⅰ)求sin C 的值;

(Ⅱ)若7a =,求ABC ?的面积.

47.(2016年山东)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知

tan tan 2(tan tan ).cos cos A B

A B B A

+=

+ (Ⅰ)证明:2a b c +=; (Ⅱ)求cos C 的最小值.

48.(2016年四川)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,

cos cos sin A B C

a b c

+=

. (I )证明:sin sin sin A B C =; (II )若2

2

2

6

5

b c a bc +-=

,求tan B . 49.(2016年全国I )ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知

2cos (cos cos ).C a B+b A c =

(I )求C ;

(II )若c ABC △=

的面积为

2

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,求ABC △的周长. 50.(2015新课标2)?ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,?ABD 面积是?ADC 面

积的2倍. (Ⅰ)求

sin sin B

C

(Ⅱ) 若AD =1,DC =

2

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,求BD 和AC 的长. 51.(2015湖南)设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan a b A =,且B 为钝角.

(1)证明:2

B A π

-=

(2)求sin sin A C +的取值范围.

52.(2014山东)ABC ?中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知

3,cos 2

a A B A π

==

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=+. (I)求b 的值; (II )求ABC ?的面积.

53.(2014安徽)设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且3b =,1c =,

2A B =.

(Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求sin()4

A π

+

的值.

54.(2013新课标Ⅰ)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB = 3 ,BC =1,P 为△ABC 内一

点,∠BPC =90°

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(Ⅰ)若PB =1

2

,求P A ;

(Ⅱ)若∠APB =150°,求tan ∠PBA .

55.(2013新课标Ⅱ)ABC ?在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;

(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.

56.(2012安徽)设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ,且有2sin cos B A =

sin cos cos sin A C A C +.

(Ⅰ)求角A 的大小;

(Ⅱ) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.

57.(2012新课标)已知a 、b 、c 分别为ABC ?三个内角A 、B 、C 的对边,cos a C +

sin 0C b c --=.

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(Ⅰ)求A ;

(Ⅱ)若2=a ,ABC ?的面积为3,求b 、c .

58.(2011山东)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知

cos 2cos 2cos A C c a

B b --=

. (I )求sin sin C

A

的值;

(II )若1

cos 4

B =,2b =,AB

C ?的面积S .

59.(2011安徽)在ABC ?中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,a ,

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b ,12cos()0B C ++=,求边BC 上的高.

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60.(2010陕西)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点,现

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位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南

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偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间?

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61.(2010江苏)某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位:m ),如示意图,垂直放置的

标杆BC 的高度h =4m ,仰角∠ABE =α,∠ADE =β.

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