三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：解三角形

第十二讲 解三角形

2019年

1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．

（1）求A ；

（2

2b c +=，求sin C ．

解：（1）由已知得，故由正弦定理得．

由余弦定理得． 因为，所以．

（2）由（1）知，

， 即，可得． 由于，所以，故

． 2.（2019全国Ⅱ理

15）ABC △的内角

,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b a c B ==

=，则ABC △的面积为__________.

解析：由余弦定理有，

因为，，，所以， 所以，

222sin sin sin sin sin B C A B C +-=222b c a bc +-=2221cos 22

b c a A bc +-==0180A ︒︒<<60A ︒=120B C ︒=-()

sin 1202sin A C C ︒+-=1sin 2sin 222

C C C ++=()cos 602C ︒+=-0120C ︒︒<<()sin 602

C ︒+=()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4

=2222cos b a c ac B =+-6b =2a c =π3

B =222π36(2)4cos 3c c c =+-212c =21sin sin 2

ABC S ac B c B ===△

3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin

sin 2A C a b A +=． （1）求B ；

（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．

解析（1）由题设及正弦定理得． 因为，所以． 由，可得，故． 因为，故，因此． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积． 由正弦定理得．

由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故

． 因此，面积的取值范围是．

4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边

AB 上，BE =2EA ，

AD 与

CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=

⋅，则AB AC

的值是 . 解析 设，

sin sin sin sin 2

A C A

B A +=sin 0A ≠sin sin 2

A C

B +=180A B

C ︒++=sin

cos 22A C B +=cos 2sin cos 222B B B =cos 02B ≠1sin 22

B =60B =︒AB

C S =

△()sin 120sin 1sin sin 2

C c A a C C ︒-===ABC △090A ︒<<︒090C ︒<<︒120A C +=︒3090C ︒<<︒122a <

()2AD AB A AO C λ

λ==+

， 所以，解得， 所以，， ， 因为，所以，

所以，所以

5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．

（1）若a =3c ，b ，cos B =23

，求c 的值； （2）若sin cos 2

A B a b =，求sin()2

B π+的值． 解析 （1）由余弦定理，得，即. 所以. （2）因为， 由正弦定理

，得，所以. 1()(1)3

AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μμμμμμ-=+=+=+-=-+=

+1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩121

4

λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11()24AO AD AB AC ==+13

EC AC AE AB AC =-=-+221131266()()()43233

AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=221322

AB AB AC AC -+⋅+221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-

+⋅+221322AB AC =2

23AB

AC =AB AC

=222cos 2a c b B ac

+-=2222(3)323c c c c +-=⨯⨯213c =c =sin cos 2A B a b

=sin sin a b A B =cos sin 2B B b b =cos 2sin B B =

从而，即，故. 因为，所以，从而. 因此. 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，

若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.

解析：在直角三角形ABC 中，，，，， 在中，，可得； ，

， 所以

.

7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =-

． （Ⅰ）求b ,c 的值；

（Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.

解析：（I ）由余弦定理，得. 22cos (2sin )B B =()22cos 41cos B B =-24cos 5

B =sin 0B >cos 2sin 0B B =>cos B =πsin cos 25

B B ⎛

⎫+== ⎪⎝⎭4AB =3BC =5AC =4sin 5

C =BC

D △sin sin BD BC C BDC

=∠5BD =135CBD C ∠=-43sin sin(135)sin )225510

CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+= ⎪⎝⎭()72cos cos 90sin 10

ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=2222cos b a c ac B =+-22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭