二项式定理及应用ppt课件
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新教材选择性必修二7.4.1二项式定理课件(37张)
9．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________；二项式系数是
__________.(用数字作答)
【解析】根据二项式的展开式通项公式可得Tr＋1＝C
r 5
x5－ryr，可得含x2y3的项为C
3 5
x2y3，所以其系数为10，二项式系数为C53 ＝10.
答案：10 10
10．设n∈N*，则C1n ＋Cn2 6＋C3n 62＋…＋Cnn 6n－1＝________．
x－2x n 展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
【解析】(1)因为T3＝C2n (
x
)n－2－2x
2
＝4C2n
n－6 x2
，
T2＝C1n (
x
)n－1－2x
＝－2C1n
n－3 x2
，
依题意得4C2n ＋2Cn1 ＝162，所以2Cn2 ＋Cn1 ＝81，所以n2＝81，n＝9.
二项式定理 二项式定理
基础认知·自主学习
【概念认知】
二项式定理
(a＋b)n＝ C 0 n a n ＋ C 1 n a n － 1 b ＋ ＋ C n r a n － r b r ＋ ＋ C n n b n ( n N * ) ．这个公式叫作二项式定
理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有_n_＋__1_项，其中
【解析】(1)根据题意得：C1m ＋Cn1 ＝7，即 m＋n＝7①，
f(x)的展开式中的x2的系数为C2m
＋C2n
m（m－1） ＝2
n（n－1） ＋2
m2＋n2－m－n
＝
2
二项式性质课件
展开式的应用
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)
①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2
二项式定理ppt课件
与幂级数的联系
二项式定理与幂级数有密切的联系，通过二项式定理可以推 导幂级数的展开式，反之亦然。
与微积分的联系
二项式定理在微积分中有重要的应用，例如在求解微分方程 和积分方程时，可以利用二项式定理进行近似计算。
二项式定理在实际问题中的应用
组合数学问题
二项式定理在组合数学中有广泛的应用，例如排列、组合、概率等问题中都可以用到二项式定理。
欧洲的发展
欧洲数学家在文艺复兴时 期开始深入研究二项式定 理，其中帕斯卡和贾法尼 等人都做出了重要贡献。
现代应用
二项式定理在现代数学、 物理、工程等领域都有广 泛的应用，是解决各种问 题的重要工具。
二项式定理的定义与公式
二项式定理定义
二项式定理描述了两个数 相乘时，各项的系数变化 规律。
二项式定理公式
总结词
二项式定理的展开形式是 $(a+b)^n$，其中$a$和$b$是常数 ，$n$是正整数。
详细描述
二项式定理的展开形式是$(a+b)^n$ ，其中$a$和$b$是常数，$n$是正整 数。这个公式可以展开为多项式，各 项的系数由组合数决定。
二项式展开的系数规律
总结词
二项式展开的系数规律是使用组合数 来表示的。
组合数学中的应用
排列组合公式
二项式定理可以用于推导排列组 合公式，例如C(n,k)=n!/(k!(nk)!)，通过二项式定理可以推导
出该公式。
组合恒等式
利用二项式定理可以证明一些组 合恒等式，例如C(n,k)=C(n,n-k) 和C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)等
。
组合数性质
利用二项式定理可以推导出组合 数的一些性质，例如C(n,k)总是 非负的，当k>n时，C(n,k)=0等
二项式定理与幂级数有密切的联系，通过二项式定理可以推 导幂级数的展开式，反之亦然。
与微积分的联系
二项式定理在微积分中有重要的应用，例如在求解微分方程 和积分方程时，可以利用二项式定理进行近似计算。
二项式定理在实际问题中的应用
组合数学问题
二项式定理在组合数学中有广泛的应用，例如排列、组合、概率等问题中都可以用到二项式定理。
欧洲的发展
欧洲数学家在文艺复兴时 期开始深入研究二项式定 理，其中帕斯卡和贾法尼 等人都做出了重要贡献。
现代应用
二项式定理在现代数学、 物理、工程等领域都有广 泛的应用，是解决各种问 题的重要工具。
二项式定理的定义与公式
二项式定理定义
二项式定理描述了两个数 相乘时，各项的系数变化 规律。
二项式定理公式
总结词
二项式定理的展开形式是 $(a+b)^n$，其中$a$和$b$是常数 ，$n$是正整数。
详细描述
二项式定理的展开形式是$(a+b)^n$ ，其中$a$和$b$是常数，$n$是正整 数。这个公式可以展开为多项式，各 项的系数由组合数决定。
二项式展开的系数规律
总结词
二项式展开的系数规律是使用组合数 来表示的。
组合数学中的应用
排列组合公式
二项式定理可以用于推导排列组 合公式，例如C(n,k)=n!/(k!(nk)!)，通过二项式定理可以推导
出该公式。
组合恒等式
利用二项式定理可以证明一些组 合恒等式，例如C(n,k)=C(n,n-k) 和C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)等
。
组合数性质
利用二项式定理可以推导出组合 数的一些性质，例如C(n,k)总是 非负的，当k>n时，C(n,k)=0等
第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
Hale Waihona Puke ，令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)
赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√
二项式定理ppt课件
二项式定理的应用领域
总结词
二项式定理的应用领域非常广泛，包括组合数学、概率论、统计学和物理学等。
详细描述
二项式定理在数学中有着广泛的应用，它可以应用于组合数学中的排列和组合计 算，概率论中的概率分布计算，统计学中的样本方差和总体方差计算，以及物理 学中的量子力学和统计力学等领域。
02
二项式定理的公式与性质
统计力学
在统计力学中，二项式定理用于计算 分子在特定条件下可能处于的微观状 态数。
二项式定理在计算机科学中的应用
数据压缩
二项式定理用于计算数据压缩的比特率，以确定压缩后数据的存储空间。
加密算法
二项式定理用于实现某些加密算法，如RSA公钥加密算法。
二项式定理在其他工程领域的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，二项式定理用于计算系统的传递函数。
03
创新研究方法
随着数学研究方法的不断创新，二项式定理的研究方法也将不断更新和
完善，以适应新的研究需求和挑战。
THANKS
感谢பைடு நூலகம்看
二项式定理的化简技巧
合并同类项
在展开二项式定理后，可以将同类项 合并，以便简化表达式。
利用代数恒等式化简
利用二项式定理的逆用
在某些情况下，可以利用二项式定理 的逆用对表达式进行化简，如 $(ab)^n = sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k$。
在展开过程中，可以运用代数恒等式 对表达式进行化简，如 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
二项式定理展开与化简的应用
解决组合计数问题
二项式定理可以用于解决组合计 数问题，例如计算从 $n$ 个不同 项中选取 $k$ 个的不同方式的数
二项式定理及应用PPT教学课件
2、( 1 3 x )20展开式中，不含x的项是第____ 项 x
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
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两式相加，得a0＋a2＋a4＝136. (3)由(2)得(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)－(a0＋a2＋
a4) ＝a1＋a3＝－120.
(4)令x＝0得a0＝(0－1)4＝1， 得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0 ＝16－1＝15. (5)各项二项式系数的和为 C40＋C14＋C24＋C43＋C44＝24＝16.
与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关.
1．若对于任意实数 x，有 x3＝a0＋a1(x－2) ＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则 a2 的值为( ) A．3 B．6
C．9 D．12 【解析】 ∵x3＝[2＋(x－2)]3， ∴展开式中含(x－2)2 项的系数为 a2＝T2＋1＝C23×23－2＝3×2＝6.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和
_等__于___ 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 ， 即 ___C_n1_＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…_____ ＝ C__n0＋__C__2n_＋__C_4n_＋__…_ ＝__2_n－_1_.
二项式定理中，项的系数与二项式系数有什 么区别？ 【提示】 二项式系数与项的系数是完全不同的 两个概念.二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它 只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项 的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅
所以第3项，第6项2)2x2，C150(－12)5，C180(－12)8x－2.
二项展开式的通项公式Tr＋1＝
C
r n
an－rbr(r＝0,1,2，…，n)集中体现了二项
展开式中的指数、项数、系数的变化，它
在求展开式的某些特定项(如含指定幂的
项、常数项、中间项、有理项、系数最大
【提示】 从整体看，(a＋b)n 与(b＋a)n 相同，
但具体到某一项是不同的，如第 k＋1 项 Tk＋1＝ knan－kbk，T′k＋1＝Cknbn－kak.
2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端__“__等__距__离__”__的两 个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m. (2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 __k_＜__n_＋_2_1___时，二项式系数是递增的；当 __k_＞__n_＋_2_1___时，二项式系数是递减的．
最大项的系数，应满足它不小于前一项的系数，也不小
于后一项的系数，若设第r＋1项为展开式中系数最大的 项，则应满足第r＋1项的系数大于或等于第r项及第r＋
2项的系数．
【解析】 由题意知，22n－2n＝992，
即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n
＝5.
(1)由二项式系数的性质知，(2x－
1 4
)r＝Cr8·2－r·x4－34r，
2x
令4－34r＝1，解得r＝4，
∴x的一次幂的项为T4＋1＝C48·2－4·x＝385x.
(2)令4－
3 4
r∈Z(r≤8)．则只有当r＝0,4,8
时，对应的项才为有理项，有理项分别
为：
T1＝x4，T5＝385x，T9＝2516x2.
(3)记第r项系数为tr，设第k项系数最大，
• 【答案】 C
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
9－2 k≥1k ∴k－1 1≥10－2 k
，解得3≤k≤4.
∴系数最大的项为第3项T3＝7x52和第4项T4＝7x74.
赋值法的应用
设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ a4x4. (1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)求a0＋a2＋a4； (3)求a1＋a3； (4)求a1＋a2＋a3＋a4； (5)求各项二项式系数的和．
1 x
)10的展
开式中第6项的二项式系数最大，即C
5 10
＝
252.
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大， ∵Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·(－x1)r ＝(－1)rCr10·210－r·x10－2r， ∴CCr1r100··221100－－rr≥≥CCrr11＋－00 11··221100－ －rr＋ －11 ，
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
(n∈ N*)叫 做 二 项 式 定 理 ． 其 中
C
k n
(k
＝
0,1,2， … ， n)叫做 _二__项__式__系__数__． Tk ＋ 1＝ ____C__nk_a_n－_k_b_k______ 叫 做 二 项 展 开 式 的 通
项，它表示第__k_＋__1__项．
• 在公式中，交换a，b的顺序是否有影响？
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
出差错；
(4)在通项公式中共含有 a，b，n，r，Tr＋1 这 5 个元素，在有关二项式定理的问题中， 常常会遇到：知道这 5 个元素中的若干个 (或它们之间的关系)，求另外几个元素的问 题．这类问题一般是利用通项公式，把问
题归结为解方程(组)或不等式(组)，这里要 注意 n 为正整数，r 为非负数，且 r≤n.
的项等)及其系数以及数、式的整除等方面
有着广泛的应用．使用时要注意：
(1)通项公式表示的是第“r＋1”项，而不
是第“r”项；
(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；
(3)展开式中第r＋1项的二项式系数C
r n
与第
r＋1项的系数，在一般情况下是不相同
的，在具体求各项的系数时，一般先处理
符号，对根式和指数的运算要细心，以防
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解
决．
【自主探究】 (1)令x＝1， 得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. (2)令x＝－1得 a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256， 而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝ 16，
【解析】 (1)方法一：由(2－ 3x)100 展开式中
的常数项为 C1000·2100，得 a0＝2100. 方法二：令 x＝0，则展开式可化为 a0＝2100. (2)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－ 3)100① 令 x＝－1，
可得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ 3)100② 联立①②得
(2)令n－3 2r＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6) ＝2， ∴所求的系数为C210(－12)2＝445.
10－3 2r∈Z (3)根据通项公式，由题意0≤r≤10 .
r∈Z
令
10－2r 3
＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r
＝5－32k. ∵r∈Z，∴k应为偶数． ∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
则有tk≥tk＋1且tk≥tk－1，又tr＝C
r－1 8
·2－r＋1，
于是有
Ck8－1·2－k＋1≥C8k·2－k Ck8－1·2－k＋1≥Ck8－2·2－k＋2
，
(k－1)！8！(9－k)！×2≥k！(88！－k)！ 即(k－1)！8！(9－k)！≥(k－2)！8·！(10－k)！×2 ，
是( )
A．C76·2 B．C76·26
C．C75·22 D．C75·25 【解析】 由于n＝7，可知展开式共有8项．
∴倒数第三项即为正数第六项．
由通项公式Tr＋1＝Crn·an－r·br可得
T6＝C57·(2x)2·(x12)5＝C75·4·x2·x110
＝C57·4·x18，
∴倒数第三项的系数是C57·22.
别令x＝－1，x＝1，两等式相加或相减即 可求出结果．
2．“赋值法”是求二项展开式系数问题常 用的方法，注意取值要有利于问题的解决， 可以取一个值或几个值，也可以取几组值， 解题易出现漏项等情况，应引起注意．
1．设(2－ 3 x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a100x100，求下列各式的值： (1)a0； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋ a99)2； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|.
•第三节 二项式定理及 应用
考 纲 点 击
掌握二项式定理和二项展开式 的性质，并能用它们计算和 证明一些简单的问题.
1.运用二项式定理的通项公式 热 求指定项或与系数有关的问
点 题； 提 2.赋值法、转化与化归思想等
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝ _C_n0_a_n_＋__C_n1_a_n_－_1_b_＋__…__＋__C_kn_a_n_－_kb_k_＋__…__＋__C_n_nb_n
求展开式中系数最大项
已知( 3 x ＋x2)2n的展开式的二项 式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系 数和大992.求(2x－1x)2n的展开式中， (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
a4) ＝a1＋a3＝－120.
(4)令x＝0得a0＝(0－1)4＝1， 得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0 ＝16－1＝15. (5)各项二项式系数的和为 C40＋C14＋C24＋C43＋C44＝24＝16.
与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关.
1．若对于任意实数 x，有 x3＝a0＋a1(x－2) ＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则 a2 的值为( ) A．3 B．6
C．9 D．12 【解析】 ∵x3＝[2＋(x－2)]3， ∴展开式中含(x－2)2 项的系数为 a2＝T2＋1＝C23×23－2＝3×2＝6.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和
_等__于___ 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 ， 即 ___C_n1_＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…_____ ＝ C__n0＋__C__2n_＋__C_4n_＋__…_ ＝__2_n－_1_.
二项式定理中，项的系数与二项式系数有什 么区别？ 【提示】 二项式系数与项的系数是完全不同的 两个概念.二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它 只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项 的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅
所以第3项，第6项2)2x2，C150(－12)5，C180(－12)8x－2.
二项展开式的通项公式Tr＋1＝
C
r n
an－rbr(r＝0,1,2，…，n)集中体现了二项
展开式中的指数、项数、系数的变化，它
在求展开式的某些特定项(如含指定幂的
项、常数项、中间项、有理项、系数最大
【提示】 从整体看，(a＋b)n 与(b＋a)n 相同，
但具体到某一项是不同的，如第 k＋1 项 Tk＋1＝ knan－kbk，T′k＋1＝Cknbn－kak.
2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端__“__等__距__离__”__的两 个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m. (2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 __k_＜__n_＋_2_1___时，二项式系数是递增的；当 __k_＞__n_＋_2_1___时，二项式系数是递减的．
最大项的系数，应满足它不小于前一项的系数，也不小
于后一项的系数，若设第r＋1项为展开式中系数最大的 项，则应满足第r＋1项的系数大于或等于第r项及第r＋
2项的系数．
【解析】 由题意知，22n－2n＝992，
即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n
＝5.
(1)由二项式系数的性质知，(2x－
1 4
)r＝Cr8·2－r·x4－34r，
2x
令4－34r＝1，解得r＝4，
∴x的一次幂的项为T4＋1＝C48·2－4·x＝385x.
(2)令4－
3 4
r∈Z(r≤8)．则只有当r＝0,4,8
时，对应的项才为有理项，有理项分别
为：
T1＝x4，T5＝385x，T9＝2516x2.
(3)记第r项系数为tr，设第k项系数最大，
• 【答案】 C
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
9－2 k≥1k ∴k－1 1≥10－2 k
，解得3≤k≤4.
∴系数最大的项为第3项T3＝7x52和第4项T4＝7x74.
赋值法的应用
设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ a4x4. (1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)求a0＋a2＋a4； (3)求a1＋a3； (4)求a1＋a2＋a3＋a4； (5)求各项二项式系数的和．
1 x
)10的展
开式中第6项的二项式系数最大，即C
5 10
＝
252.
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大， ∵Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·(－x1)r ＝(－1)rCr10·210－r·x10－2r， ∴CCr1r100··221100－－rr≥≥CCrr11＋－00 11··221100－ －rr＋ －11 ，
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
(n∈ N*)叫 做 二 项 式 定 理 ． 其 中
C
k n
(k
＝
0,1,2， … ， n)叫做 _二__项__式__系__数__． Tk ＋ 1＝ ____C__nk_a_n－_k_b_k______ 叫 做 二 项 展 开 式 的 通
项，它表示第__k_＋__1__项．
• 在公式中，交换a，b的顺序是否有影响？
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
出差错；
(4)在通项公式中共含有 a，b，n，r，Tr＋1 这 5 个元素，在有关二项式定理的问题中， 常常会遇到：知道这 5 个元素中的若干个 (或它们之间的关系)，求另外几个元素的问 题．这类问题一般是利用通项公式，把问
题归结为解方程(组)或不等式(组)，这里要 注意 n 为正整数，r 为非负数，且 r≤n.
的项等)及其系数以及数、式的整除等方面
有着广泛的应用．使用时要注意：
(1)通项公式表示的是第“r＋1”项，而不
是第“r”项；
(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；
(3)展开式中第r＋1项的二项式系数C
r n
与第
r＋1项的系数，在一般情况下是不相同
的，在具体求各项的系数时，一般先处理
符号，对根式和指数的运算要细心，以防
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解
决．
【自主探究】 (1)令x＝1， 得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. (2)令x＝－1得 a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256， 而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝ 16，
【解析】 (1)方法一：由(2－ 3x)100 展开式中
的常数项为 C1000·2100，得 a0＝2100. 方法二：令 x＝0，则展开式可化为 a0＝2100. (2)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－ 3)100① 令 x＝－1，
可得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ 3)100② 联立①②得
(2)令n－3 2r＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6) ＝2， ∴所求的系数为C210(－12)2＝445.
10－3 2r∈Z (3)根据通项公式，由题意0≤r≤10 .
r∈Z
令
10－2r 3
＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r
＝5－32k. ∵r∈Z，∴k应为偶数． ∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
则有tk≥tk＋1且tk≥tk－1，又tr＝C
r－1 8
·2－r＋1，
于是有
Ck8－1·2－k＋1≥C8k·2－k Ck8－1·2－k＋1≥Ck8－2·2－k＋2
，
(k－1)！8！(9－k)！×2≥k！(88！－k)！ 即(k－1)！8！(9－k)！≥(k－2)！8·！(10－k)！×2 ，
是( )
A．C76·2 B．C76·26
C．C75·22 D．C75·25 【解析】 由于n＝7，可知展开式共有8项．
∴倒数第三项即为正数第六项．
由通项公式Tr＋1＝Crn·an－r·br可得
T6＝C57·(2x)2·(x12)5＝C75·4·x2·x110
＝C57·4·x18，
∴倒数第三项的系数是C57·22.
别令x＝－1，x＝1，两等式相加或相减即 可求出结果．
2．“赋值法”是求二项展开式系数问题常 用的方法，注意取值要有利于问题的解决， 可以取一个值或几个值，也可以取几组值， 解题易出现漏项等情况，应引起注意．
1．设(2－ 3 x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a100x100，求下列各式的值： (1)a0； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋ a99)2； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|.
•第三节 二项式定理及 应用
考 纲 点 击
掌握二项式定理和二项展开式 的性质，并能用它们计算和 证明一些简单的问题.
1.运用二项式定理的通项公式 热 求指定项或与系数有关的问
点 题； 提 2.赋值法、转化与化归思想等
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝ _C_n0_a_n_＋__C_n1_a_n_－_1_b_＋__…__＋__C_kn_a_n_－_kb_k_＋__…__＋__C_n_nb_n
求展开式中系数最大项
已知( 3 x ＋x2)2n的展开式的二项 式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系 数和大992.求(2x－1x)2n的展开式中， (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．