2022-2023学年福建省泉州市晋江市季延中学九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年福建省泉州市晋江市季延中学九年级（上）期中数学试卷1. 下列二次根式中，与√6是同类二次根式的是( )D. √30A. √12B. √18C. √232. 下列计算正确的是( )A. 2+√2=2√2B. √5−√3=√2C. 2×√3=2√3D. √9÷√3=33. 用配方法解方程x2−6x−2=0的过程中，应将此方程化为( )A. (x−3)2=11B. (x−3)2=7C. (x−6)2=38D. (x−6)2=344. 一元二次方程2x2+x−1=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根5. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为( )A. 3(1+x)=10B. 3(1+x)2=10C. 3+3(1+x)2=10D. 3+3(1+x)+3(1+x)2=106. 已知点D、E、F分别为△ABC各边的中点，若△DEF的周长为24cm，则△ABC的周长为( )A. 6cmB. 12cmC. 24cmD. 48cm7. 如图，在△ABC中，DE//BC，AD：DB=7：8，若AC=30，则AE等于( )A. 7B. 8C. 14D. 168. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )A. B. C. D.9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC=1：2，连接AC，过点O作OP//AB交AC的延长线于P.若P(1,1)，则tan∠OAP的值是( )A. √33B. √22C. 13D. 310. 如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠EDB=∠EFB；④AD2=FQ⋅AC.其中正确的有( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 要使二次根式√x−7有意义，x必须满足的条件是______．12. 若一元二次方程x2+4x−a=0没有实数根，则a的取值范围是______．13. 若m是方程2x2−3x−3=0的一个根，则4m2−6m+2016的值为______．14. 如图，某滑雪运动员沿坡比为1：√3的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为______米．15. 在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点G是△ABC的重心，过点G作GH垂直于AB，垂足为H，则GH=______．16. 要求tan30°，我们可以通过构造直角三角形进行计算：在Rt△ABC，∠C=90°，AB=2，AC=1，利用三角函数定义可求出tan30°的值，请在此基础上计算tan75°=______(结果保留根号)．17. 计算：√2×√8+2sin45°+|√2−3|．18. 解方程：x2−8x−9=0．19. 如图，已知正方形ABCD，点在边BC上，连接AE．(1)利用尺规在AE上求作一点F，使得△ABE∽△DFA.(不写作法，保留作图痕迹)(2)若AE=4，AB=3，求DF的长．20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)，C(2,2)正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)．(1)△ABC的面积是______．(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且位似比为2：1，此时点C1的坐标是______．21. 列方程(组)解应用题某社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．求通道的宽是多少米．22. 为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长(结果保留根号)23. 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=−b，x1x2=c a．a(1)已知实数m，n是方程3x2−2x−1=0的两根，求m2n+mn2的值．(2)已知实数p，q满足p2=7p−2，2q2=7q−1，且p≠2q，求p2+4q2的值．24. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.凸四边形就是没有角度大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形．(1)已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=80°，∠B=70°，则∠C=______°，∠D=______°.(2)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE垂直于CD交AC 于点E，试说明四边形BCED是“等对角四边形”．(3)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1，CD平分∠ACB，点E在线段AC延长线上，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段AE的长．25. 如图点P(m,n)是双曲线y=kx(x<0)上一动点，且m，n为关于a的一元二次方程9a2+ ba+32=0的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与AB垂直的直线交y 轴于点E，点F是AE的中点，过B点且与AB垂直的直线交FO的延长线于Q点．(1)求双曲线的解析式；(2)当OP取最小值求b的值．(3)若点O到AB的距离等于OP的最小值，求1EF +1BQ的值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查同类二次根式的定义，属于基础题，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，可先将各二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可作出判断．【解答】解：A．√12=2√3，与√6不是同类二次根式，故本选项错误；B.√18=3√2，与√6不是同类二次根式，故本选项错误；C.√23=√63，与√6是同类二次根式，故本选项正确；D.√30与√6不是同类二次根式，故本选项错误．故选C．2.【答案】C【解析】解：A.2与√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B.√5与√3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C.2×√3=2√3，此选项计算正确；D.√9÷√3=√9÷3=√3，此选项计算错误；故选：C．根据二次根式的加减运算法则和乘除运算法则逐一判断即可．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．3.【答案】A【解析】解：x2−6x−2=0，x2−6x=2，x2−6x+9=2+9，(x−3)2=11，故选：A．利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵Δ=12−4×2×(−1)=1+8=9>0，∴一元二次方程2x2+x−1=0有两个不相等的实数根，故选：A．求出判别式Δ=b2−4ac，判断符号即可得出结论．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．若把增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，依题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=10．故选：D．6.【答案】D【解析】解：∵D、E、F分别为△ABC各边的中点，∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，∴DF=12AC，DE=12BC，EF=12AC，∴C△DEF=DE+DF+EF=12(BC+AB+AC)=24cm，∴C△ABC=BC+AB+AC=48cm，故D正确．故选：D．根据三角形中位线的判定和性质解题即可．本题考查三角形中位线的判定和性质．掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键．7.【答案】C【解析】解：∵ADDB =78，∴AD AB =715，∵DE//BC，∴AE AC =ADAB，∴AE 30=715，∴AE=14，故选：C．由DE//BC，可得AEAC =ADAB，由此即可解决问题．本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．8.【答案】A【解析】解：由题意知，在△ABC中，∠ACB=135°，AC=√2，BC=2，在B、C、D选项中的三角形都没有135°的角，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和√2，因为2√2=√21，所以A选项中的三角形与△ABC相似．故选：A．利用△ABC中，∠ACB=135°，AC=√2，BC=2，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定．此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．9.【答案】C【解析】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP//AB，∴∠CAB=∠CPO，∠ABC=∠COP，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC=OC：BC=1：2，∵∠AOC=∠AQP=90°，∴CO//PQ，∴OQ：AO=CP：AC=1：2，∵P(1,1)，∴PQ=OQ=1，∴AO=2，∴tan∠OAP=PQAQ =12+1=13．故选：C．根据OP//AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC=OC：BC=1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC=∠AQP=90°，得到CO//PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC= 1：2，根据P(1,1)，得到PQ=OQ=1，得到AO=2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵FG⊥CA，∠ACB=90°，四边形ADEF为正方形，∴∠FGA=∠FAD=∠ACD=90°，AF=AD，∴∠GAF+∠CAD=90°，∠GFA+∠GAF=90°，∴∠GFA=∠CAD，在△GFA和△CAD中，{∠FGA=∠ACD ∠GFA=∠CAD AF=AD，∴△GFA≌△CAD(AAS)，∴GF=CA，∵CB=CA，∴GF=CB，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴GF//CB，∴四边形CBFG是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴四边形CBFG是矩形；∵△GFA≌△CAD，∴AC=FG，故结论①正确；∵四边形CBFG是矩形，∴S四边形CBFG =BF⋅CBF，S△FAB=12BF⋅CB，∴S△FAB：S四边形CBFG=1：2，故结论②正确；∵四边形ADEF为正方形，四边形CBFG是矩形，∴∠DBQ=∠QEF=90°，∵∠DQB=∠FQE，∠EDB=180°−(∠DQB+∠DBQ)，∠EFB=180°−(∠QEF+∠FQE)，∴∠EDB=∠EFB，故结论③正确；∵四边形ADEF为正方形，四边形CBFG是矩形，∴∠ACD=∠ADE=∠FEQ=90°，AD=FE，∴∠CAD+∠CDA=90°，∠EDB+∠CDA=90°，∴∠CAD=∠EDB，由结论③可得∠EDB=∠EFB，∴∠CAD=∠EFB，∴△CAD∽△EFQ，∴AD AC =FQFE，∵AD=FE，∴AD AC =FQAD，∴AD2=FQ⋅AC，故结论④正确；综上所述，正确结论为①②③④，∴正确结论个数为4．故选：D．证明四边形CBFG是矩形，根据矩形CBFG和正方形ADEF的性质，证明△GFA≌△CAD，△CAD∽△EFQ，再逐一分析每一个结论即可．本题考查了矩形、正方形、相似三角形的判定与性质，证明四边形CBFG是矩形，再综合运用矩形、正方形、相似三角形的性质分析每一个结论是解本题的关键，综合性较强，难度较大．11.【答案】x≥7【解析】解：根据题意得：x−7≥0，解得：x≥7．故答案为：x≥7．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．12.【答案】a<−4【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x−a=0没有实数根，∴Δ=42+4a<0，解得：a<−4．故答案为：a<−4．根据题意得：根的判别式Δ<0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，根据方程根的情况知根的判别式Δ<0，得出关于a的一元一次不等式是解题的关键．13.【答案】2022【解析】解：由题意得：把x=m代入2x2−3x−3=0中得：2m2−3m−3=0，∴2m2−3m=3，∴4m2−6m+2016=2(2m2−3m)+2016=2×3+2016=6+2016=2022，故答案为：2022．把x=m代入2x2−3x−3=0中得：2m2−3m=3，然后代入式子中进行计算即可解答．本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．14.【答案】15【解析】解：∵斜坡AB的坡度为1：√3，∴tanB=√3=√33，∴∠B=30°，∴AC=12AB=15(米)，即他下降的高度为15米，故答案为：15．根据坡度的概念、正切的定义求出∠B，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．15.【答案】45【解析】解：如图，过C作CE⊥AB于E，则CE//GH，∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵1 2BC×AC=12AB×CE，∴CE=3×45=125，∵点G是△ABC的重心，∴CG=2DG，∵△DGH∽△DCE，∴DG DC =GHCE，即13=GH125，∴GH=45，故答案为：45．过C作CE⊥AB于E，则CE//GH，依据面积法即可得到CE的长，依据三角形重心的性质，即可得到CG=2DG，再根据相似三角形的对应边成比例，即可得出GH的长．此题考查了直角三角形的性质以及重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．16.【答案】2+√3【解析】解：如图：延长CB到D，使BD=CB，连接AD，在Rt△ABC，∠C=90°，AB=2，AC=1，∴AC=√AB2−AC2=√22−12=√3，AC=12AB，∴∠ABC=30°，∴∠D+∠BAD=30°，∵BD=BA=2，∴∠D=∠BAD=15°，∴∠DAC=90°−∠D=75°，在Rt△ACD中，CD=BD+CB=2+√3，AC=1，∴tan∠CAD=CDAC =2+√31=2+√3，∴tan75°=2+√3，故答案为：2+√3．延长CB到D，使BD=CB，连接AD，在Rt△ABC，利用勾股定理求出AC=√3，再利用三角形的外角性质和等腰三角形的性质可得∠D=∠BAD=15°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DAC=75°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形，含30角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17.【答案】解：√2×√8+2sin45°+|√2−3|=√16+2×√22+3−√2=4+√2+3−√2=7．【解析】先算乘法和去绝对值，然后合并同类项和同类二次根式即可．本题考查二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序．18.【答案】解：(x−9)(x+1)=0，x−9=0或x+1=0，所以x1=9，x2=−1．【解析】利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．19.【答案】解：(1)如图，点F即为所求．(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=3，∵△ABE∽△DFA，∴DF AB =ADAE，∴DF3=34，∴DF=94．【解析】(1)过点D作DF⊥AE于点F，点F即为所求；(2)利用勾股定理全等三角形的性质求解．本题考查作图−相似变换，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】52(1,0)【解析】解：(1)△ABC的面积=2×3−12×1×2−12×1×2−12×1×3=52．故答案为：52．(2)如图，出△A1BC1即为所求，C1(1,0)．故答案为：(1,0)．(1)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；(2)利用位似变换的性质分别作出A，C的对应点A1，C1即可．本题考查作图−位似变换，三角形的面积，解题的关键是掌握位似变换的性质，学会用割补法求三角形面积．21.【答案】解：设通道的宽是x米，则铺花砖的部分可合成长为(52−2x)米，宽为(28−2x)米的长方形，根据题意得：(52−2x)(28−2x)=640，整理得：x2−40x+204=0，解得：x1=6，x2=34(不符合题意，舍去)．答：通道的宽是6米．【解析】设通道的宽是x米，则铺花砖的部分可合成长为(52−2x)米，宽为(28−2x)米的长方形，根据铺花砖的面积为640平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】解：由题意得，BG=CE=DF=1.5米，∴AG=AB−BG=5米，在Rt△ADG中，tan30°=AGDG =5DG=√33，解得DG=5√3，在Rt△ACG中，tan60°=AGCG =5CG=√3，解得CG =5√33， ∴CD =DG −CG =10√33米．答：体温检测有效识别区域CD 段的长为10√33米． 【解析】由题意可求得AG =5米，分别在Rt △ADG 和Rt △ACG 中，利用三角函数的求出DG 和CG ，最后根据CD =DG −CG 可得出答案．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．23.【答案】解：(1)∵实数m ，n 是方程3x 2−2x −1=0的两根，∴m +n =23，mn =−13，∴m 2n +mn 2=mn(m +n)=−13×23=−29；(2)∵p 2=7p −2，2q 2=7q −1，∴p 2−7p +2=0，2q 2−7q +1=0，∴4q 2−14q +2=0即(2q)2−7×2q +2=0，∵实数p ，q 满足p 2=7p −2，2q 2=7q −1，且p ≠2q ，∴p ，2q 是方程x 2−x +2=0的两个根，∴p +2q =1，p ⋅2q =2pq =2，∴p 2+4q 2=(p +2q)2−4pq =1−8=−7．【解析】(1)先根据题目中的公式求得m +n ，mn ，再把原式分解因式得mn(m +n)，便可代值计算；(2)把p 2=7p −2，2q 2=7q −1化成p 2−7p +2=0，(2q)2−7×2q +2=0，进而把p ，2q 看成是方程x 2−x +2=0的两个根，再根据题目中的公式求得p +2q ，2pq ，最后根据完全平方公式的恒等变化便可解决问题．本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．24.【答案】140 70【解析】(1)解：∵四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∴∠D =∠B =70°，∴∠C =360°−∠A −∠B −∠D =360°−80°−70°−70°=140°，故答案为：140，70；(2)证明：如图：在Rt△ABC中，∵CD为斜边AB边上的中线，∴AD=DB=DC，∴∠DCB=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠B+∠ACD=90°．∵DE⊥CD，∴∠CED+∠ACD=90°，∴∠CED=∠B，且∠ECB≠∠EDB，∴四边形BCED是“等对角四边形”；(3)解：点E在AC的延长线上，当∠CDB=∠E，∠DCE≠∠DBE时，过C作CH⊥AB于H，DF⊥AC于F，如图：∴DF//BC，∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，∴△DFC是等腰直角三角形，∴DF=CF，∵DF//BC，∴△ADF∽△ABC，∴AF AC =DFBC，即3−DF3=DF1，∴DF=34，∴CD=√2DF=3√24，∵CH=AC⋅BCAB =3×1√32+12=3√1010，∴DH=√CD2−CH2=3√1020，∵∠CHD=∠BCE=90°，∠CDH=∠E，∴△CDH∽△BCE，∴CE DH =BCCH，即CE3√1020=13√1010，∴CE=12，∴AE=AC+CE=3+12=72；点E在AC的延长线上，∠CDB≠∠E，∠DCE=∠DBE时，过E作EH⊥AB交AB的延长线于H，如图：∵CD平分∠ABC，∴∠DCE=∠DBE=135°，∴∠EBH=45°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴BH=HE，∵∠A=∠A，∠ACB=∠H=90°，∴△ABC∽△AEH，∴AC AH =BCEH，即√10+BH=1BH，∴BH=√102，∴BE=√2BH=√5，∴CE=√BE2−BC2=2，∴AE=AC+CE=3+2=5；综上所述，线段AE的长为72或5．(1)根据“等对角四边形”的定义，当四边形ABCD是“等对角四边形”时，由∠A≠∠C，即得∠D= 70°，再利用四边形内角和定理求出∠C；(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD=DB=DC，由等边对等角得出∠DCB=∠B，再由∠B+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°，∠CED+∠ACD=90°，利用同角的余角相等得出∠CED=∠B，又∠ECB≠∠EDB，根据“等对角四边形”的定义，即可证明四边形BCED 是“等对角四边形”；(3)分两种情况画出图形，利用等腰直角三角形性质和相似三角形性质，分别求出CE，即可得到AE 的长度．本题是四边形综合题，主要考查了四边形内角和定理，直角三角形、等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵m、n为关于a的一元二次方程9a2+ba+32=0的两根，∴mn=329，∵点P(m,n)是双曲线y=kx(x<0)上一动点，∴k=mn=329，∴双曲线的解析式为y=329x；(2)∵点P的坐标为(m,n)，∴OP=√m2+n2=√(m−n)2+2mn=√(m−n)2+649，∴当m=n时，OP有最小值为√649=83，即OP的最小值为83，∴当m=n时，Δ=b2−4×9×32=0；解得b=24√2；(3)作OG⊥AB于G，由(2)知，OG=83，设EF=x，∵点F是AE的中点，∴AE=2EF=2x，∵OG⊥AB，AE⊥AB，QB⊥AB，∴BQ//OG//AE，∴∠EFO=∠Q，∠FEO=∠QBO，∠BGO=∠BAE=90°，又∵∠OBQ=∠EBA，∴△EFO∽△BQO，△BOG∽△BEA，∴OE OB =EFBQ，OGAE=OBBE，∴OE OB +1=EFBQ+1，即OB+OEOB=BQ+EFBQ，∴OB OB+OE =BQBQ+EF，又∵OGAE =OBBE=OBOB+OE，∴OG AE =BQBQ+EF，即832x=BQBQ+EF，∴4 3EF =BQBQ+EF，∴BQ+EF=34BQ⋅EF，∴1 EF +1BQ=BQ+EFEF⋅BQ=34BQ⋅EFBQ⋅EF=34．【解析】(1)根据根与系数关系得出mn的值，即可得出k的值，进而确定双曲线的解析式；(2)根据P点的坐标求出OP，再用配方法确定OP的最值，然后根据一元二次方程根的判别式即可得到结论；(3)作OG⊥AB于G，证△BOG∽△BEA，△BQO∽△EFO，根据线段比例关系得出EF+BQ与EF⋅BQ 的数量关系即可．本题主要考查反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．。