量子力学课件--薛定谔方程,清华大学课件
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《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
量子力学：薛定谔方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
则 (t,x,y,z) C Ψ(t,x,y,z) 2 Φ(t,x,y,z) 2
(t,x,y,z) Φ(t,x,y,z) 2
此式表示物质波波函数物理意义： 即：波函数(归一化)模平方（即波强度）表示物 质波概率密度。
第9页
例：将波函数 归一化
f x exp 2 x 2 2
设归一化因子为C，则归一化波函数为
两缝同时打开
依次打开一个缝
第3页
a.双缝同时打开
(1)入射强电子流 (2)入射弱电子流
概率波干涉结果
电子确是粒子，但电子 去向是完全不确定，一 个电子抵达何处完全是 概率事件
这种概率在一定条件下 （经双缝）有确定规律
在波强强度较强地方，单 个事件发生概率大；在波 强强度较弱地方单个事件 发生概率小
2
f
(
t
)
2
(
r
)
Uf
(
t
)
(
r
)
t
两边同除
(
r
)
f
2m (t )
i
1 f(t
)
f(t t
)
2 2m
2
(
r
)
U
(
r) Βιβλιοθήκη 1 (r)=E
得
2
2
(
r
)
U
(
r
)
E ( r )
2m
（1）
i f(t) E f(t) t （第217）页
由（2）式可得：
f
(
t
)
e
i
Et
由（1）式可得：
2 2 ( E U )
利用归一化条件，可得归一化波函数为：
(t,x,y,z) Φ(t,x,y,z) 2
此式表示物质波波函数物理意义： 即：波函数(归一化)模平方（即波强度）表示物 质波概率密度。
第9页
例：将波函数 归一化
f x exp 2 x 2 2
设归一化因子为C，则归一化波函数为
两缝同时打开
依次打开一个缝
第3页
a.双缝同时打开
(1)入射强电子流 (2)入射弱电子流
概率波干涉结果
电子确是粒子，但电子 去向是完全不确定，一 个电子抵达何处完全是 概率事件
这种概率在一定条件下 （经双缝）有确定规律
在波强强度较强地方，单 个事件发生概率大；在波 强强度较弱地方单个事件 发生概率小
2
f
(
t
)
2
(
r
)
Uf
(
t
)
(
r
)
t
两边同除
(
r
)
f
2m (t )
i
1 f(t
)
f(t t
)
2 2m
2
(
r
)
U
(
r) Βιβλιοθήκη 1 (r)=E
得
2
2
(
r
)
U
(
r
)
E ( r )
2m
（1）
i f(t) E f(t) t （第217）页
由（2）式可得：
f
(
t
)
e
i
Et
由（1）式可得：
2 2 ( E U )
利用归一化条件，可得归一化波函数为：
清华大学物理第27章薛定谔方程(余京智)
这种E 取定值的状态称定态（stationary state）， 以后我们将只研究定态。 11
海森伯 狄拉克 泡利 （1901 1976） （1902 1984） （1900 1958）12
2
§27.2 无限深方势阱中的粒子
本节我们将在一种具体情况下，求解 定态薛定谔方程 [
2 2 U ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
连续条件： 由于边界外 = 0，所以有：
( a / 2) 0 A sin( ka / 2 ) 0
2mE 2
k
2
( a / 2) 0 A sin( ka / 2 ) 0
由此得： ka / 2 l1 π ， ka / 2 l 2 π ， 其中l1 和 l2是整数。 将上两式相加得：
二. 关于薛定谔方程的讨论
ˆ (r , t ) 是量子力学 薛定谔方程 i (r , t ) H t
ˆ 引入算符 H
t ˆ — 非定态薛定谔方程 ˆ 后，有 i H 引入 H t
ˆ ˆ 为能量算符（反映粒子总能量） 若 H 0， 则称 H
a 2
n很大时，势 阱内粒子概率 分布趋于均匀。 |n|
2
（一维势垒）： 给定势函数
0 ，( x 0) U ( x) ( x 0) U 0，
入射 反射 Ⅰ区
E3 E2 E1
a 2
2a n 3 , 3 3 En
？
E
n 2 , 2 a
a 2
a 2
入射能量 E <U0 势垒的物理模型：
宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。 19
薛定谔方程课件
2m
t
如势函数不是时间的函数，即 U U(r)
用分离变量法将波函数写为：
(r)
(r)f
(t)
代入薛定谔方程得：
1
2 2m
2
U(r)
i
f
1 (t)
f(t) t
16
1
2 2m
2
U(r)
i
f
1 (t)
f(t) t
方程左边只是空间坐标的函数，
右边只是时间的函数，
只有两边都等于一个常数等式才能成立。
i
Et
2
(r )
2
与时间无关
18
定义能量算符,动量算符和坐标算符
例：能量、动量和坐标算符对沿x方向传播
自由平面波波函数 的作用
19
利用对应关系得“算符关系等式” • 把“算符关系等式”作用在波函数上得 到 三维情况：
20
哈密顿量
粒子的总能量
若
称 为能量算符
用哈密顿量表示薛定谔方程
21
能量算符的本征值问题 本征值取分立值时的本征值问题 n —量子数 {E1，E2，….，En，….}—能量本征值谱
沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写， 其波函数为：
(
x,
t
)
e i 2
0
(t
x
)
h p
E h
(x,
t
)
0e
i
(
Et
px
)
3
考虑到自由粒子沿
r
方向传播的三维情况，
波函数可写为：
(r,
t)
0e
i
(
Et
pr
)
清华大学物理-量子物理.第27章.薛定谔方程
第二十七章薛定谔方程§27.1 薛定谔方程§27.2 无限深方势阱中的粒子§27.3 势垒穿透§27.4 一维谐振子*§27.5 力学量算符§27.1 薛定谔方程薛定谔方程是决定粒子波函数演化的方程。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位。
和牛顿方程一样，薛定谔方程不能由其它的基本原理推导得到，是量子力学的一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。
▲薛定谔方程是线性的，满足解的叠加原理。
▲薛定谔方程关于时间是一阶的，经典波动方程关于时间是二阶的。
▲薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”，是非相对论形式的方程。
若和是方程的解，),(1t r Ψ ),(2t r Ψ 则也是方程的解。
),(),(2211t r Ψc t r Ψc ▲方程含有虚数i ，其解是复函数，不可直接测量，是概率密度，可直接测量。
Ψ2||Ψ一. 一维无限深方势阱模型极限理想化U (x )U =U 0U =U 0E U =0x 0§27.2 无限深方势阱中的粒子表面电子运动限于区间aa金属无限深方势阱U =0EU →∞U (x )x 0U →∞-a /2a /2n 很大时，阱内粒子概率分布趋于均匀| n|2E n-a/2a/2玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系行为向经典过渡。
§27.3 势垒穿透一.粒子进入势垒⎩⎨⎧>≤=)0( , )0( ,0 )(0x U x x U 金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。
势垒的物理模型：xII 区I 区U 0U (x )1.一维势垒模型粒子从x = - 处以特定能量E (E < U 0) 入射，xII 区0I 区U 0U (x )2.问题经典图像：量子图像：粒子无法跃上台阶，只能反射。
粒子具有波动性，波不仅被反射，而且能透射进入势垒区，只要U 0有限。
量子力学--定态薛定谔方程 ppt课件
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
空间波函数ψ(r)由方程
2 2 [ V ] (r ) E (r ) 2
* n
推论
x 常量 p 0
4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）
* m (r) n (r)dr mn
正交归一性
薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为
( x, t ) cn n ( x, t ) cneiE t / n ( x)
PPT课件 4
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
2 2 [ V ] ( r ) E ( r ) 2
（1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准 条件求解能量 E 的 本征值问题，得： （3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
令：
( r , t ) ( r ) f ( t )
两边同除 (r ) f (t )
等式两边是相互无 关的物理量，故应 等于与 t, r 无关 的常数
d 2 2 i ( r ) f ( t ) f ( t )[ V ] ( r ) dt 2 2 1 d 1 2 i f (t ) V ] ( r ) E [ f ( t ) dt ( r ) 2
III 0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
薛定谔方程-最全资料PPT
个波动学的基础，不是推导出来的，它与牛顿方程在 经典里写中的地位相仿。
2. 在利用算符对应规则时，这些算符不具有坐标 变换的不变性，例如，对极坐标
x22y22z22r22 22 22
3. 关于薛定谔方程的边界条件
① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数 也处处连续。
② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面， 则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。
3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本 方程，相当于牛顿方程。
4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满 足自由粒子薛定谔方程。
5、薛定谔方程是非相对论的方程。
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 3、薛定谔方程是线性方程。 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 ① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数也处处连续。
三、关于薛定谔方程的说明 1. 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整
③ 若势能V(r)具有一阶奇点，则波函数必须连 续，其一阶导数可以不连续。
讨论：
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒 子状态随时间的变化规律。
2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验 证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能 从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确 性由它解出的结果是否符合实验来检验。
§2.3 薛定谔方程
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 3、薛定谔方程是线性方程。 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动学的基础，不是推导出来的，它与牛顿方程在经典里写中的地位相仿。 薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 3、薛定谔方程是线性方程。 是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。
2. 在利用算符对应规则时，这些算符不具有坐标 变换的不变性，例如，对极坐标
x22y22z22r22 22 22
3. 关于薛定谔方程的边界条件
① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数 也处处连续。
② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面， 则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。
3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本 方程，相当于牛顿方程。
4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满 足自由粒子薛定谔方程。
5、薛定谔方程是非相对论的方程。
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 3、薛定谔方程是线性方程。 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 ① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数也处处连续。
三、关于薛定谔方程的说明 1. 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整
③ 若势能V(r)具有一阶奇点，则波函数必须连 续，其一阶导数可以不连续。
讨论：
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒 子状态随时间的变化规律。
2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验 证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能 从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确 性由它解出的结果是否符合实验来检验。
§2.3 薛定谔方程
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 3、薛定谔方程是线性方程。 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动学的基础，不是推导出来的，它与牛顿方程在经典里写中的地位相仿。 薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 3、薛定谔方程是线性方程。 是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。
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w
薛定谔方程
t
i 2
t
2
t
t
.
t 2 i i w i 2 2 ( ) ( ) 2 t 2 i J ( ) w J 0 2Fra bibliotek H
2 H p / 2 + U （ r） ( p i )
记住
H
2
2
U (r )
2
2 H p / 2 + U （ r） ( p i )
单粒子情况
• 原则上，可以由薛定谔方程给出所有可能的 状态，U（r）决定态的演化规律。 • 初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T 时 刻的状态，即“态的演化过程”是确定的 （但位置x有不确定性，几率分布由波函数给 出）。
d dt
Wv i 2
J dS
（ ）dS 0
代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数 守恒。 相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也 不成立；实际上相对论情况有粒子产生和消 灭，粒子数一般不守恒！，
电流密度
几率流密度
（定理： 1 2 2 1 c ）
证明：定态方程的两个解满足
" 1
2
2
[ E U ( x )] 1 ＝ 0 ( 1 ) [ E U ( x )] 2＝ 0 ( 2 )
" 2
2
2
1 ( 2 ) 2 (1 ) 1 2 " 2 1 " 0
寻找de Broglie波满足的方程
i ( Et p r ) / • 由de Broglie波 ( r , t ) e
有
i
t
E
E i
t
2 2 2 i p p
p i
又因 所以
• 方程求解-分离变量法： 设
( r , t ) f ( t ) ( r ),
i
（一系列基 本函数）， 再叠加生成 通解
2
代入薛定谔方程
i df (t ) dt
t
H ;H
2
U ( r ).
2
( r ) [ H ( r )] f ( t )
提 示：
E 2t 2 (r , t ) e 2(r ) i
4. 波函数应满足的条件
• 从波函数的几率解释以及波函数满足二阶 微分方程这一要求，一般地说，波函数应 该满足以下三个条件： • (1)单值性； • (2)有限性； • (3)连续性。 • 连续性通常意味着 和 都连续， 但在势能有无穷大跳跃的地方， 允许不连续。
2. 一维定态的分类：束缚态与非 2 [ E U ( x )] ＝ 0 束缚态
" 2
若
E U ( ) 和 U ( ),
则 x
(x) 0
束缚态
相反的情况是非束缚态（或称为散射 态）
例子
• 束缚态：原子中的“束缚”电子 • 人工量子微结构 • 束缚态几率分布被限制在有限的空间 范围内。
c.c.代表前面一项的复共轭。
ˆ 1 * p c .c 2
p i
ˆ * p * ˆ Re R e v ˆ v= ˆ p
称为速度算符
例题
i( k r - t) • 对平面波情况 ( r , t ) A e
3
e
ip r /
d
3
p,
i ( r , t ) c( p, t ) | (r , t ) | e
1 ( 2 )
3
e
ip r /
d r
3
2 ( r , t )在 动 量 分 布 | c( p, t ) | 上 得 以 体 现 ！
§2.2 薛定谔方程
1.薛定谔方程 量子力学的基本定律是波函数所满足 的偏微分方程。这个基本定律在本质 上是一个假说。
德布罗意物质波概念
i
推广
2
t
2
2
U (r ) .
薛定谔方程的“建立”
寻找de Broglie波满足的方 程，并加以推广
这不是严格推导（薛定谔方程不 能由旧理论严格导出）
i df f ( t ) dt E )
( 时间部分 1
2 2 U ( r ) E (r ) 2
（空间部分）
时间部分
i df E i
df dt
i Et
Ef ( t )
f ( t ) dt
f (t ) e
与玻尔原子模型中的定态概念类似，但是没 有“轨道运动”假设
定态薛定谔方程就是能量本征方程
H ( r ) E ( r ) 算 符 H 作 用 于 ( r ) = 常 数 E 乘 以 ( r )。 E叫 做 H的 本 征 值 。
思考题
• 两个不同的定态叠加生成的态是否 是定态？ i E1t 1 ( r , t ) e 1 ( r ),
回顾：叠加原理
n
cnn .
几率振幅。
常数相位
• 绝对常数相位没有意义 • 相对常数相位才是有意义的
c1 | c1 | e c2 | c2 | e
i 1 i 2
c1 1 c 2 2
| |
2
依赖于 2 1
能够在测量结果中反映
变化的相位是有意义的（能够在测 量中反映出来）
i ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | e
( r , t )虽 然 在 空 间 几 率 密 度 上 无 法 反 映 ， 但 在动量几率分布上能够反映出来。 理由如下：
(r ,t)
c( p, t )
1 ( 2 )
t=0
t=T
x
多粒子（N个粒子）情况
( r1 , r2 ,.... r j ...., t )
i
非定域性：
t
H 2 pi 2i U ( r1 , r2 , .... r j ....)
H
i
整个体系的 状态用3N个 空间坐标和 一个时间坐 标描述。
作业
• 作业：p.52, #2.2，注意：在球坐标中,
1 er e r r e 1
r sin
.
§2.3
一维运动问题的一般分析
1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质
一维定态薛定谔方程是
d
2
dx
2
2
2
( E U ( x )) 0 .
.
空间部分（定态薛定谔方程）
2 U ( r ) E (r ) 2 1
2
2
2
U ( r ) E ( r ).
2
H ( r ) E ( r )
定态薛定谔方程
定态概念
• 完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解 乘以时间因子）
求几率流密度
i( k r - t) 2 2 解 ： 对 (r, t) A e ， w | | | A |
i J ( ) 2 k wp 2 | A | wv m m
3.薛定谔方程的求解——定态薛定 谔方程 先寻找特解
i J ( ), 2
i 电流密度 J e e J e ( ), 2
可以应用于原子内部电子运动的电流的计算
可以应用于超导体等量子系统电流的计算
几率流密度表达式的另一种形式
i J ( ) 2 i 2 ( ) c .c
波函数所包含的物理内容不仅仅是几率密度，还有相位！
( r , t )和 c ( p , t )可 以 通 过 以 上 傅 里 叶 变 换 互 求 ， 2 2 但 仅 仅 从 空 间 几 率 密 度 | (r , t ) | 不 能 得 到 动 量 几 率 密 度 |c( p, t ) | ！
即 ( 1 2 ' 2 1 ') ' 0 , 因 此 1 2 ' 2 1 ' c
另外两个定理
• 共轭定理：若 ( x ) 是定态行薛定谔程 的解，则 * ( x ) 也是该方程的解(且 能量相同)。
• 反射定理：对 U ( x ) U ( x ) (原点对称的 势)，那么若 ( x ) 是该方程的解，则 ( x ) 也是该方程的解(且能量相同)。 （由定态薛定谔方程可以直接证明，请自 己完成）
pi i i
2. 几率守恒定律与几率流密度
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
几率密度 w ( r , t ) ( r , t )
2
根据薛定谔方程
几率流密度：J
几率流密度的推导（单粒子）
• 几率密度的时间演化： 2 w ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ),
Et ( r , t ) e ( r ), i
薛定谔方程
t
i 2
t
2
t
t
.
t 2 i i w i 2 2 ( ) ( ) 2 t 2 i J ( ) w J 0 2Fra bibliotek H
2 H p / 2 + U （ r） ( p i )
记住
H
2
2
U (r )
2
2 H p / 2 + U （ r） ( p i )
单粒子情况
• 原则上，可以由薛定谔方程给出所有可能的 状态，U（r）决定态的演化规律。 • 初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T 时 刻的状态，即“态的演化过程”是确定的 （但位置x有不确定性，几率分布由波函数给 出）。
d dt
Wv i 2
J dS
（ ）dS 0
代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数 守恒。 相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也 不成立；实际上相对论情况有粒子产生和消 灭，粒子数一般不守恒！，
电流密度
几率流密度
（定理： 1 2 2 1 c ）
证明：定态方程的两个解满足
" 1
2
2
[ E U ( x )] 1 ＝ 0 ( 1 ) [ E U ( x )] 2＝ 0 ( 2 )
" 2
2
2
1 ( 2 ) 2 (1 ) 1 2 " 2 1 " 0
寻找de Broglie波满足的方程
i ( Et p r ) / • 由de Broglie波 ( r , t ) e
有
i
t
E
E i
t
2 2 2 i p p
p i
又因 所以
• 方程求解-分离变量法： 设
( r , t ) f ( t ) ( r ),
i
（一系列基 本函数）， 再叠加生成 通解
2
代入薛定谔方程
i df (t ) dt
t
H ;H
2
U ( r ).
2
( r ) [ H ( r )] f ( t )
提 示：
E 2t 2 (r , t ) e 2(r ) i
4. 波函数应满足的条件
• 从波函数的几率解释以及波函数满足二阶 微分方程这一要求，一般地说，波函数应 该满足以下三个条件： • (1)单值性； • (2)有限性； • (3)连续性。 • 连续性通常意味着 和 都连续， 但在势能有无穷大跳跃的地方， 允许不连续。
2. 一维定态的分类：束缚态与非 2 [ E U ( x )] ＝ 0 束缚态
" 2
若
E U ( ) 和 U ( ),
则 x
(x) 0
束缚态
相反的情况是非束缚态（或称为散射 态）
例子
• 束缚态：原子中的“束缚”电子 • 人工量子微结构 • 束缚态几率分布被限制在有限的空间 范围内。
c.c.代表前面一项的复共轭。
ˆ 1 * p c .c 2
p i
ˆ * p * ˆ Re R e v ˆ v= ˆ p
称为速度算符
例题
i( k r - t) • 对平面波情况 ( r , t ) A e
3
e
ip r /
d
3
p,
i ( r , t ) c( p, t ) | (r , t ) | e
1 ( 2 )
3
e
ip r /
d r
3
2 ( r , t )在 动 量 分 布 | c( p, t ) | 上 得 以 体 现 ！
§2.2 薛定谔方程
1.薛定谔方程 量子力学的基本定律是波函数所满足 的偏微分方程。这个基本定律在本质 上是一个假说。
德布罗意物质波概念
i
推广
2
t
2
2
U (r ) .
薛定谔方程的“建立”
寻找de Broglie波满足的方 程，并加以推广
这不是严格推导（薛定谔方程不 能由旧理论严格导出）
i df f ( t ) dt E )
( 时间部分 1
2 2 U ( r ) E (r ) 2
（空间部分）
时间部分
i df E i
df dt
i Et
Ef ( t )
f ( t ) dt
f (t ) e
与玻尔原子模型中的定态概念类似，但是没 有“轨道运动”假设
定态薛定谔方程就是能量本征方程
H ( r ) E ( r ) 算 符 H 作 用 于 ( r ) = 常 数 E 乘 以 ( r )。 E叫 做 H的 本 征 值 。
思考题
• 两个不同的定态叠加生成的态是否 是定态？ i E1t 1 ( r , t ) e 1 ( r ),
回顾：叠加原理
n
cnn .
几率振幅。
常数相位
• 绝对常数相位没有意义 • 相对常数相位才是有意义的
c1 | c1 | e c2 | c2 | e
i 1 i 2
c1 1 c 2 2
| |
2
依赖于 2 1
能够在测量结果中反映
变化的相位是有意义的（能够在测 量中反映出来）
i ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | e
( r , t )虽 然 在 空 间 几 率 密 度 上 无 法 反 映 ， 但 在动量几率分布上能够反映出来。 理由如下：
(r ,t)
c( p, t )
1 ( 2 )
t=0
t=T
x
多粒子（N个粒子）情况
( r1 , r2 ,.... r j ...., t )
i
非定域性：
t
H 2 pi 2i U ( r1 , r2 , .... r j ....)
H
i
整个体系的 状态用3N个 空间坐标和 一个时间坐 标描述。
作业
• 作业：p.52, #2.2，注意：在球坐标中,
1 er e r r e 1
r sin
.
§2.3
一维运动问题的一般分析
1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质
一维定态薛定谔方程是
d
2
dx
2
2
2
( E U ( x )) 0 .
.
空间部分（定态薛定谔方程）
2 U ( r ) E (r ) 2 1
2
2
2
U ( r ) E ( r ).
2
H ( r ) E ( r )
定态薛定谔方程
定态概念
• 完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解 乘以时间因子）
求几率流密度
i( k r - t) 2 2 解 ： 对 (r, t) A e ， w | | | A |
i J ( ) 2 k wp 2 | A | wv m m
3.薛定谔方程的求解——定态薛定 谔方程 先寻找特解
i J ( ), 2
i 电流密度 J e e J e ( ), 2
可以应用于原子内部电子运动的电流的计算
可以应用于超导体等量子系统电流的计算
几率流密度表达式的另一种形式
i J ( ) 2 i 2 ( ) c .c
波函数所包含的物理内容不仅仅是几率密度，还有相位！
( r , t )和 c ( p , t )可 以 通 过 以 上 傅 里 叶 变 换 互 求 ， 2 2 但 仅 仅 从 空 间 几 率 密 度 | (r , t ) | 不 能 得 到 动 量 几 率 密 度 |c( p, t ) | ！
即 ( 1 2 ' 2 1 ') ' 0 , 因 此 1 2 ' 2 1 ' c
另外两个定理
• 共轭定理：若 ( x ) 是定态行薛定谔程 的解，则 * ( x ) 也是该方程的解(且 能量相同)。
• 反射定理：对 U ( x ) U ( x ) (原点对称的 势)，那么若 ( x ) 是该方程的解，则 ( x ) 也是该方程的解(且能量相同)。 （由定态薛定谔方程可以直接证明，请自 己完成）
pi i i
2. 几率守恒定律与几率流密度
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
几率密度 w ( r , t ) ( r , t )
2
根据薛定谔方程
几率流密度：J
几率流密度的推导（单粒子）
• 几率密度的时间演化： 2 w ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ),
Et ( r , t ) e ( r ), i