对CAPM模型的详细总结

CAPM 的基本假定：①投资者根据与其收益和收益的方差来选择投资组合；②投资者为风险回避者；③投资期为单期；④证券市场存在着均衡状态；⑤投资是无限可分的，投资规模不管多少都是可行的；⑥存在着无风险资产，投资者可以按无风险利率借入或借出无风险资产；⑦没有交易成本和交易税；⑧所有投资者对证券收益和风险的预期都相同；⑨市场组合包括全部证券种类。

在上述假设条件下，可以推导出CAPM 模型的具体形式：()(())i f i m f E r r E r r β-=-，2(,)/()/i i m m im m Cov r r Var r βσσ==。

其中()i E r 表示证券i 的期望收益，()mE r 为市场组合的期望收益，fr 为无风险资产的收益，(,)im i m Cov r r σ=为证券i 收益率和市场组合收益率的协方差，2()m m Var r σ=为市场组合收益率的方差。

CAPM 模型认为，在均衡条件下，投资者所期望的收益和他所面临的风险的关系可以通过资本市场线（Capital Market Line ，CML ）、证券市场线（Security Market Line ，SML ）和证券特征线（characteristic line ）等公式来说明。

1、 资本市场线（Capital Market Line ，CML ）: ()/(())p f p m m fE r r E r r σσ=+- 证券有效组合p 的风险pσ与该组合的预期收益率()pE r 关系的表达式。

虽然资本市场线表示的是风险和收益之间的关系，但是这种关系也决定了证券的价格。

因为资本市场线是证券有效组合条件下的风险与收益的均衡，如果脱离了这一均衡，则就会在资本市场线之外，形成另一种风险与收益的对应关系。

这时，要么风险的报酬偏高，这类证券就会成为市场上的抢手货，造成该证券的价格上涨，投资于该证券的报酬最终会降低下来。

要么会造成风险的报酬偏低，这类证券在市场上就会成为市场上投资者大量抛售的目标，造成该证券的价格下跌，投资于该证券的报酬最终会提高。

经过一段时间后，所有证券的风险和收益最终会落到资本市场线上来，达到均衡状态。

资本市场线是把有效组合作为一个整体来加以研究的。

那么单个证券的风险和收益水平是怎样的？证券市场线对此做出了说明。

2、 证券市场线（Security Market Line ，SML ）：()(())i f i m f E r r E r r β=+-证券i 与市场组合m 的协方差风险i β与该证券的预期收益率()mE r 关系的表达式。

证券市场线也可以用另一种方式来说明。

对证券市场线的公式进行变换后，就会用一个指标β来表示证券的风险。

实际上，这个系数是表示了某只证券相对于市场组合的风险度量。

对这个β特别作如下的说明：（1）由于无风险资产与有效组合的协方差一定为零，则任何无风险资产的β值也一定为零。

同时任何β值为零的资产的期望回报率也一定为零。

（2）如果某种风险证券的协方差与有效组合的方差相等，β值为1，则该资产的期望回报率一定等于市场有效组合的期望回报率，即这种风险资产可以获得有效组合的平均回报率。

（3）β值高时，投资于该证券所获得的预期收益率就越高；β值低时，投资于该证券所获得的预期收益率就越低。

实际上，证券市场线表明了这样一个事实，即投资者的回报与投资者面临的风险成正比关系。

正说明了：世上没有免费的午餐。

3、 证券特征线（characteristic line ） ()(())i f i m fE r r E r r β-=- 证券的超额预期收益率与市场超额预期收益率之间关系的表达式。

CAPM 模型给出了单个资产的价格与其总风险各个组成部分之间的关系，单个资产的总风险可以分为两部分，一部分是因为市场组合m 收益变动而使资产i 收益发生的变动，即iβ值，这是系统风险；另一部分，即剩余风险被称为非系统风险。

单个资产的价格只与该资产的系统风险大小有关，而与其非系统风险的大小无关。

以上简单介绍了CAPM 模型，下面将从几个方面详细的推导CAPM 模型，并且探讨模型背后的含义，最后给出一些CAPM 模型的检验及实证结果。

一． C APM 模型的推导CAPM 模型的导出有多种方法，下面简要的介绍几种常见的推导方法：1． 由Markowitz 证券组合选择理论推出CAPM 模型：Markowitz 证券组合选择理论研究的是这样一个问题：一个投资者同时在许多种证券上投资，如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。

在这个问题上，Markowitz 的巨大贡献在于他将收益和风险这两个模糊的经济学概念明确的表示为具体的数学概念。

将证券的收益率看做一个随机变量，收益就定义为这个随机变量的数学期望，风险定义为这个随机变量的标准差。

那么证券组合选择问题就归结为一个数学问题：选择什么样的证券投资比例使得随机变量的期望最大，标准差最小。

这样，Markowitz 的问题（均值-方差证券组合选择问题）就表示为：2,1121122min .1n Tp ij i ji j T n T p n n w Vw V w w s t w e w w w w w w w σμμμμμμ====+++===+++=∑这里，,1,2,,1,2,()((,))ij i j n i j i j n V V Cov r r ====，V 表示i r 与jr 之间的协方差矩阵，V 是正定的，即对任何0w ≠，有0T w Vw >，这就排除了这n 种证券中存在无风险证券的情况。

Markowitz 证券组合选择理论的基本结论就是：在证券允许卖空的情况下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的情况下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。

组合前沿的上半部称为有效前沿，对于有效前沿来说，不存在收益和风险两方面都由于它的证券组合。

若证券组合中包含无风险证券，那么，假设除上述n 种证券外，另外还有第0种证券为无风险证券，并且它的无风险利率为常随机变量f r 。

于是组合将定义为满足：0121n ww w w ++++=的0w ，1w ，2w n w ，记01122p f n n w r w w w μμμμ=++++，从而：1122()()()()T p f f f n n f f r w r w r w r w r μμμμμ-=-+-++-=-组合的方差显然仍为2T p w Vw σ=。

那么，在含有无风险证券的情况下的Markowitz 问题变为 2,1min n Tp ij i j i j w Vw V w w σ===∑ 1122.()()()()T p f f f f n n f s t r w r w r w r w r μμμμμ-=-=-+-++-形式上比不含有无风险证券的Markowitz 问题少了一个约束条件，这是个二次规划问题，用Lagrange 乘子法求得其解：(,)(()())T Tf p fL w w Vw w r r λλμμ=----其解w w = 满足的充要条件为：(,)2()f L w V w r w λλμ∂=--∂(,)()()Tp f fL w r w r λμμλ∂=---∂ 由此可解得：11()()()()pf f T f f r w V r r V r μμμμ---=---； 221()()()T p f T f f r w V w r V r μσμμ--==-- 这就是说，σ与()p f r μ-之间在(,)σμ平面上的双曲线关系在这种情形下退化为两条直线： 11/2()(()())p f p T f f r r V r μσμμ-±-=-- 由于σ必须为正，所以这两条直线只有右边的半条射线，相交于p μ轴上的fr 点。

上半条射线是有效前沿，下半条射线是无效前沿。

并且，从经济意义上看，无风险利率fr 与总体最小风险组合的期望收益率相比应该要小，否则投资者不会投资于风险证券而只投资于无风险证券。

如上所述，含有无风险证券的投资组合的有效前沿是一条射线，称为资本市场线：11/2(()())T p f f f p r r V r μμμσ-=+--，这意味着如下关系：11/2()(()())p f T f f p r r V r μμμσ--=--。

左端的比值称为Sharpe 比，用来衡量风险效益，即因承担风险而可能带来的收益。

含有无风险证券的投资组合的有效前沿的特点就在于其上的Sharpe 比是常数11/2(()())Tf f r V r μμ---，它完全由各风险证券的期望收益率μ和它们之间的协方差矩阵V 决定。

同时，有效前沿射线与余下的风险证券组合的有效前沿相切于一点(,)m m σμ。

因此，在这条射线上的每一点所对应的期望收益有：11/2()()(()())p f m f T f f p mr r r V r μμμμσσ---=--=整理可得： ()p f p m f r r μβμ-=-，其中，/p p mβσσ=。

这说明对应各种有正β的证券组合总存在有同样收益的有效前沿上的组合，上式也可以理解为p μ与pβ之间的关系，它的图像也是一条直线，称为证券市场线。

这个等式具有CAPM 的形式，但并不是CAPM ，下面我们通过二基金分离定理来推导出CAPM 模型。

因为Markowitz 问题的解是对于线性方程组的求解。

所以解的集合满足“叠加原理”，即极小风险组合的仿射组合仍然是极小风险组合，写成数学形式就是下面的二基金分离定理：设组合p w 和qw 分别是均值-方差组合选择问题的对于期望收益率分别为p μ和q μ的解，并且p q μμ≠。

同时，上述推导的假设成立，那么w 是极小风险组合的充分必要条件为存在实数λ，使得(1)p q w w w λλ=-+。

如果p w 和qw 都是有效组合，而λ在0和1之间，那么，(1)p q w w w λλ=-+也是有效组合。

上述定理的经济学意义在于：如果投资者的证券投资决策就是要根据他本人的财力和风险承受能力在均值-方差问题的最优解中选取一点，那么他考虑全体证券组合与考虑证券的两种组合的组合是一样的。

这两种组合在现实证券市场中可能就是两种业绩良好的共同基金。

因此，也就是说，投资者不必考虑全体证券如何组合，只需考虑如何搭配这两种基金的组合即可。

有了二基金分离定理，我们就可以由两个极小风险组合的组合生成n 种证券的整个组合前沿，如果这两种组合看成两种证券，也可以推出同样的组合前沿。

定理：设p 和q 是两种证券，并且它们的期望收益率p q μμ≠，那么任何证券i 不改变p 和q 所生成的组合前沿的充分必要条件为：存在实数R α∈，使得①(1)i p qμαμαμ=-+；②(,)(1)()(,)i p p p q Cov r r Var r Cov r r αα=-+；③(,)(1)(,)()i q p q qCov r r Cov r r Var r αα=-+ 有上述定理的推论就得到CAPM 模型:推论：设证券p 和q 满足上面定理的假设，并且(,)0p q Cov r r ≠。