期权定价二项式模型.doc
第五章 二项树定价模型
第五章二项树定价模型这一章我们讨论期权和期货的二项树定价模型。
至今为止，有三种不同的期权定价模型。
第一种模型是Black和Scholes（1973）建立的。
在市场无摩擦、存在可连续交易的假设下，由持有股票的多头头寸，和持有以此股票为标的物的欧式看涨期权的空头头寸，形成一个无风险的套期保值证券组合。
这种思路是解决期权定价问题的关键。
第二种模型是从Harrison和Kreps（1979）开始的。
在市场无摩擦和完备的假设下，市场无套利等价于存在唯一的等价鞅测度，市场上的任何证券的折现价格在这个测度之下为一个鞅。
第三种是比较直观的模型。
这种模型采用二项分布，是由Cox，Ross和Rubinstern（1979），Rendleman和Bartter（1979）独立得到的。
前两种模型需要随机微分方程和鞅等复杂的数学工具。
除了容易理解外，第三种模型——二项树定价模型。
不仅为欧式看涨期权提供闭形式的解，而且在用数字计算方法解决更复杂的美式期权定价问题时，这种方法也能提供解。
所以，我们先在这一章里介绍第三种模型——二项树定价模型。
该模型由Sharpe （1978）提出，Cox, Ross and Rubinstein（1979）对它进行了拓展。
尽管最初提出二项树定价模型的目的是为了避开随机分析来解释Black-Scholes-Merton模型，但现在该模型已成为对复杂衍生证券进行定价的标准数值计算程序。
关于后两种模型，我们在以后的章节中讨论。
在应用二项树定价模型时，最重要的是合成构造（synthetic construction）或者套期保值(hedging) 的概念。
套期保值最形象、最简单的例子是有关保险中的定价问题。
假设一种人身保险，对象为60岁健康的老人：如果从投保之日起，在一年之内被投保人去世，保险公司支付投保人100000元，否则，保险公司不支付任何款项。
这种险种的价格为2300元。
现在，某公司60岁的总裁向你贷款，条件是，如果一年后他还健在，他支付给你100000元，否则，你回收不了任何贷款。
二项期权定价模型
二项期权定价模型摘要：在可转债的定价过程中，期权部分的定价最为复杂，本文介绍了对可转债价值中期权部分的一种定价方法——二项期权定价模型，以单一时期内买权定价为例进行了。
通常来说，二项期权定价模型（binomal option price model ， BOPM ）的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或者下降。
BOPM 的定价根据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者者说能够使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，假如存在套利机会，投资者则能够买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。
这一证券组合的要紧功能是给出了买权的定价方法。
与期货不一致的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。
一、对股票价格与期权价格变化的描述假设股票当期（t ＝0）的价格S 为100元，时期末（t ＝1）的价格有两种可能：若上升，则为120元，记做uS ；若下降，则为90元，记做dS 。
执行价格为110元。
相对应地来看，期权价格则分别记做0C 、up C 、down C ，则在t ＝1时，up C 、down C 分别等于max （120－110，0）、max （90－110，0），即10元与0。
如今的状态能够用下图描述：uS ＝120 股价上升时S ＝100dS ＝90 股价下降时up C ＝10 max （120－110，0）0C ＝？down C ＝0 max （90－110，0）二、构建投资组合求解买权（一）构建投资组合在上图中，唯一需要求解的是0C 。
为求解0C ，也即给t ＝0时的买权定价，能够证明0C 的价格能够通过建立期权与有关资产的零风险套利交易来得到，具体来说，就是考虑一个包含股票与无风险债券在内的投资组合，该组合在市场上不存在无风险套利机会时等于买权的价格，因此能够用来模拟买权的价格。
期权的二项式定价模型研究
１ ３ ４－ － — —
到原先的 ｕ倍 ， 即到达 Ｓ ｕ ； 下降 到原 先的 ｄ倍 ． 即ｓ ｄ 。其 中，
ｕ ＞ ｌ ， ｄ ＜ １ （ 如图 １ 所示 ） 。股票价格上升 的风 险ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性概 率假 设
Ｓ ｕ
ｆ ｕ
Ｓ ｄ
图ｌ 一个 时间段 内股票价格的变动
为Ｐ ， 则下 降的概率假设 为 １ － ｐ 。
Ｗｏ ｌ ｒ ｄ ） 。对于“ 风险 中性世界” ， 有一系列假设 ， 在此不一一陈
二、 风 险 中性 定 价
风 险中性定价方 法有很多的应用 ， 利 用它可以完成某项
述， 虽然对 于“ 风 险中性世界 ” 的假 设非 常苛刻 ， 与现 实经济
环境有这巨大的差别 ， 但对于简化讨论过程有着重大的帮助 。 按 照风险 中性的假设 可 以引 出两个重要 的结论 ： （ １ ） 在
一
资产 的定价 ： 第一 ， 确 定风险中性概率 （ 即使一项资产 的期望 回报率等 于无 风险利 率的概率 ） ； 第二 ， 以此风险 中性概率作 为 资产未来价值 的权重得 出加权平均 价值 ； 第ｊ， 用 无风险 利率对加权价值贴现 ， 得 出无套利情况下资产的现值 。
风 险中性概率公式为 ：
（ １ ） Ｑ 和 Ｑ是等 价测度 ， 即对任 意事件 ＡｃＦ， Ｑ｛ Ａ ｝ ＝ Ｏ 舒
Ｑ ｛ Ａ ｝ ＝ ０ 。
ｒ ： 无风险利率 ； Ｔ ： 衍 生证券 的有效期限 ， 单 位为年。
ｕ ＝ １ ＋标 的资产行情上升时 的每期 回报率 。
ｄ ＝ １ ＋标的资产行情下 降时的每期 回报率 。
等价鞅测度 。 显然， 如果我们能够得到风险中性测度Ｑ， 衍生证券 的价
二项式期权定价模型在美式外汇期权定价中的应用
二项式期权定价模型在美式外汇期权定价中的应用[摘要] 外汇期权具有一般期权的特点,但又有自己独特的地方——外汇期权的标的物是两种货币,其标的物的价格是两种货币的兑换价格,即汇率。
这样在外汇期权的定价过程中就要涉及到两种货币的利率问题。
同时,美式外汇期权又具有可以在到期前任何时间执行的特点,为期权定价增加了难度。
在这篇文章中,我先简单介绍了美式外汇期权,然后利用二项式期权定价模型,对美式外汇期权的价值进行了简单的推导,并举例应用。
[关键词] 二项式定价模型美式外汇期权一、期权1.什么是期权期权是指在未来一定时期内可以买卖标的物的权力,是买方向卖方支付一定数量的金额(指权利金)后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期以事先规定好的价格(指履约价格)向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权力,但不负有必须买进或卖出的义务。
期权交易事实上是这种权利的交易。
买方有执行的权利也有不执行的权利,完全可以根据自己损益情况灵活选择。
看涨期权和看跌期权。
看涨期权,是指在期权合约的有效期内按执行价格买进一定数量标的物的权利;看跌期权,是指卖出标的物的权利。
当期权买方预期标的物价格会超出执行价格时,他就会买进看涨期权,相反就会买进看跌期权。
期权主要有如下几个构成因素:(1)执行价格(又称履约价格,敲定价格)。
期权的买方行使权利时事先规定的标的物买卖价格。
(2)权利金。
期权的买方支付的期权价格,即买方为获得期权而付给期权卖方的费用。
2.美式期权与欧式期权美式期权与欧式期权的区别主要在执行时间的分别上。
(1)美式期权是指在到期日前的任何时候或在到期日都可以执行权利,结算日则是在履约日之后的一天或两天,大多数的美式期权合同允许持有者在交易日到履约日之间随时履约,但也有一些合同规定一段比较短的时间可以履约,如“到期日前两周”。
(2)欧式期权合同要求其持有者只能在到期日履行合同,结算日是履约后的一天或两天。
由于美式期权比对应的欧式期权的选择余地大,所以通常美式期权的价值更高。
期权二项式方法
一、关于均方差与时间单位关系的注解在上节的布莱克—绍勒斯定价模型中，我们假定时间单位为年，而σ是股票价格年变化率的均方差。
如果时间单位改换一下，例如采用以月为单位，股票价格月变化率的均方差1σ与σ有什么关系？在其他场合，我们也时常遇到与此类似的回报率时间单位转换问题。
设某项风险资产的年回报率为r。
我们知道r 是随机变量。
再设第i 月份的回报率为()1,,12i r i = 。
其中， ,i j r r 互相独立，且同分布，i j ≠。
按算术平均方法，则：121121i i r r r r ==++=∑又由于：()()()()11222111,,12i iE r E r E rr i σσσ=∆=∆=易得出：()()121112i i E r E r E ===∑ （22.24）()()()1222121cov ,12i i ji i jr r rr σσσ=≠=+=∑∑（22.25）（22.25）式之所以成立，是因为 ,j ir r 互相独立，故不相关，因此协方差()cov ,0i j rr = 。
把上式加以简化，我们得到： 221212E E σσ==月年月年 （22.26）其中E E 月年和分别表示年回报率和月回报率的期望值，22σσ月年和分别表示年回报率和月回报率的方差。
类似于（22.26）式，不同时间单位的回报率和均方差可以相互转换。
例如，年回报率的均方差为σ，则月回报率的均方差1σ为：1σ=不管采用什么样的时间单位，布莱克—绍勒斯模型中的的。
例如由年改为以月为单位，1σ==其中1T 是从现在到执行日的月份数，112T T =，所以布莱克—绍勒斯模型与采用何种时间单位无关。
二、二项式方法我们在上节讨论了风险中性方法。
二项式方法（Binomial method ）是风险中性方法的一个扩充和推广。
把一年划分成n 期（例1,2,4,n = ），二项式方法假定标的物的价格在每期发生一次变化，而且变化只有两种可能性：上升某个百分比，或下降某个百分比。
期权定价
第三节期权定价期权定价：如果某一期权合约在未来某个日子到期，那么，什么是该期权合约在今天的公平（真实）价值？权利金的价值应该是多少？二项式定价模型、风险中性概率、布莱克－斯科尔斯定价模型（一）二项式定价模型（BOPM）1.单期两状态期权定价假定在期权到期时股票价格只有两种可能：股票价格或者涨到给定的较高水平，或者降到给定的较低的价格。
举例：考虑经过1期后到期的欧式看涨期权，期权的执行价格为50元。
假设今天的股票价格为50元。
假设标的股票不支付股利（除非明确说明）。
在1期后，股价有可能上升10元或者下降10元。
单期无风险利率为6%。
将这些信息汇总，由如下的二叉树来表示。
二叉树为具有两个分支的时间线，每个时点代表着那段时间内可能发生的事件：01股票债券看涨期权股票债券∆表示购买的股票数量，B表示对债券的初令始投资。
∆+=B60 1.0610∆+=40 1.060B求解关于∆和B的联立方程，方程的解为：∆= 0.5，B = -18.8679。
看涨期权的价格必定等于复制组合的当前市场价值。
复制组合的当前价值等于：50500.518.87 6.13B ∆+=⨯-= 元看涨期权的当前价格为6.13元。
既然已经清楚了期权定价的基本理念，将上述定价过程一般化股票期权确定股票的数量∆和债券的头寸B ，以便使得复制组合的支付在股价上涨或下跌时，与期权的支付相匹配：(1)u f u S r B C ∆++=(1)d f d S r B C ∆++= （7.3.11式） 求解∆和B ，得到二项式模型中的复制组合：u d u d C C S S -∆=-1d d f C S B r -∆=+ （7.3.12式） 期权在今天的价值C 就等于复制组合的成本： C S B =∆+ （7.3.13式） 上式相对简单，它不要求待估价的期权必须为看涨期权，也可应用它来为未来支付取决于股价的任何证券进行估值。
[例7－14] 假设某股票的现行市价为60元，经过1期后，股价将上涨20%或下跌10%。
期权评价的二项式模型
金融工程读物期权评价的二项式模型问题―――如何为期权定价？主要内容设标的资产（股票）价格的运动服从二项式模型(binomial model)，由此导出此股票上的欧式期权的定价公式；讨论美式期权的定价和执行问题。
.1 一期模型的欧式看涨期权评价假设市场无摩擦（不存在交易费用、税收等成本），还假设资本市场上存在一种无风险证券（债券），投资者可以用无风险利率r f > 0不受限制地借或贷。
记S 为当前时刻股票价格，考虑单周期投资问题， r f为单周期的利率。
股票的价格运动为二项式的，就是说在下一期的股价只有两种可能的状态：上升或下降，而且S可能上升到uS的概率为π，下降到dS的概率为（1- π）。
其中u >1+r f > d > 0。
易于证明如果这个不等式成立。
就存在套利的机会。
S的运动如图.1。
现在考虑一个此股票上的欧式看涨期权：T = 1，执行价为X，这个call的价值运动参看图.2。
这个期权在t =1时，以π的概率取c u = max[uS – X，0]，1 – π的概率取c d = max [dS – X，0]。
问题是现在(t = 0)为了得到这个期权应该付出多少钱？图中的c记这个期权在t = 0的价格。
分析思路―――构造一个投资组合复制无风险证券 卖空一份股票，同时购买m份期权，其中m待定。
这个投资组合在t = 0 的总价值为（S – mc），在期权到期日t =1，它以概率π取值uS – mc u，以概率(1–π)取值dS – mc d，参看图.3。
选择m使得这个投资组合在t =1的两种状态下取值相等，即uS – mc u = dS – mc d。
由此解出(.1) 当m按(.1)式选取时，这个投资组合变成无风险的，m称为对冲比（hedge ratio）。
为了不存在套利机会，这个投资组合的期初投资(S – mc)在t = 1的价值必须等于(1+r f)(S – mc)，即(1+r f)(S – mc) = uS – mc u = dS – mc d，由此解出(.2) (.2)式可改写为ud(.3)如记(.4) 则(.3)可记为u + (1– q)c d]。
2019外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义.doc
外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义（作者:___________单位: ___________邮编: ___________）期权交易是八十年代以来国际金融市场颇具特色的合同交易，其最基本用途是为了转移利率和汇率变动风险，最大特点是在保留从有利价格变动中获取收益可能性的同时，也防止了不利价格变动可能带来的更大损失。
另外，期权是许许多多有价证券、金融工具的建筑砌块，因此无论怎样强调期权定价的重要性都不过分。
Black─Scholes（1973）假设股票价格的对数变化遵循Wiener-Levy过程，建立一个使用期权、股票的无风险套期保值资产组合，导致一个偏微分方程式，解一个热力学扩散方程，得到期权价格解析解，即著名的不支付红利的欧式股票Call期权定价公式；Garman与Kohlhagen（1983）及Grabbe（1983）等人基于同样思路，建立一个使用期权、国内货币债券和国外货币债券的无风险套期保值资产组合，得到欧式外汇Call期权定价公式，以上计算都要使用较多的随机过程及解偏微分方程的知识。
期权定价的另一思路是Cox、Ross和Rubinstein（1979）使用二项式分布得出的变动概率代替价格对数变化遵循Wiener-Levy过程的假设，利用代数知识得出一般的欧式和美式期权定价公式，随后Geske和Johnson（1984）推导出美式期权定价精确解析式。
本文目的一是通过二项式定价公式推导过程，进一步解释推导中假设条件的经济涵义；二是给出可适用于各类期权计算思路及结论。
首先，利用期权抛补的利率平价关系得到单周期外汇Call期权二项式定价公式；其次，给出一般表达式。
一、期权抛补的利率平价关系由于国际外汇市场与国际货币市场通过广义利率平价关系联系在一起，与远期抛补利率平价（forward-cover IRP）类似，货币期权市场也给出另一种期权抛补利率平价（option-cover IRP）关系，以下就根据无风险资产组合（即套利）过程，不考虑佣金因素影响，应用单周期二项式即期价格分布推导Call期权价格计算公式。
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二项期权定价模型二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。
模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。
对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。
二项式期权定价模型概述1973年，布莱克和休尔斯(Blackand Scholes)提出了布莱克-休尔斯期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。
随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。
1976年，罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。
1979年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。
二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。
二项式期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。
二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。
虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。
随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相一致。
二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。
一般来说，二项期权定价模型的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。
BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。
这一证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。
与期货不同的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。
模型推导过程及案例 二项式过程如下S=20 股票期初价格 q=0.5 股票上涨的概率0.1f r = 无风险收益率u=1.2 股票价格上涨幅度 11f u r >+> d=0.67 股票价格下跌幅度 011f d r <<<+欧式看涨期权期初和期末的价格为计算该欧式看涨期权期初的价格，构造无风险套期保值组合：以价格S 买1份股票，同时卖出m 份以该股票为标的物的看涨期权（m 为套期保值率）。
Cq1-qmax(0,)3u C uS K =-=max(0,)0d C dS K =-=S=20q1-quS=24dS=13.4如果这个套期保值组合在每种状态下的支付相等，则这个组合为无风险的。
让支付相等，得到： u d uSmc dS mc -=- （1）从上式可以解得看涨期权的份数：()u d S u d m c c -=- （2）把例子中的数字代入，得到：20(1.20.67) 3.5330m ⨯-==-也就是，为了得到无风险证券组合，需要卖出3.53份看涨期权。
因为套期保值证券组合是无风险的，因此，它的期末支付应该等于期初价格乘以1f r +，即()()1f u S mc r uS mc -+=- （3）由上式解得期权的期初价格：S-mcq1-qu uS mc -d dS mc -套期保值证券组合的到期支付()()11f u f S r u mc c m r ⎡⎤+-+⎣⎦=+ （4）把套期保值比率m 代入，可得到：()()()111f fu d f r d u r c c u d u d c r ⎡⎤⎡⎤+--++⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+ （5）令：()1fr d p u d+-=-， 则 ()11f u r p u d-+-=-所以有：()()11u dfpc p c c r +-=+ (6 )这里定义的p 总是大于0小于1，具有概率的性质，称之为套期保值概率，可以理解为：p 是当市场达到均衡时，风险中性者所认为的q 值，即股票价格上涨的概率。
作为风险中性者，投资者仅需要投在风险股票上的回报率为无风险收益率。
所以有：()1(1)fr S quS q dS +=+- (7 )得到()1f u r q u d-+=- (8 )继续前面的例子，利用得到的期权公式(6),带入数据得：()()11u dfpc p c c r +-=+1.10.67 1.2 1.1301.20.67 1.20.671.1--⎛⎫⎛⎫⨯+⨯ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=2.2126=在期初的证券组合是买一份股票，卖3.53份看涨期权，其成本为：20 3.53 2.212612.19S mc -=-⨯=投资回报率为：13.401.1112.19f r ==+在上述求得看涨期权价格的过程中，有两点至关重要：一是无风险套期保值组合的构建；二是无风险套期保值组合的收益率等于无风险收益率。
看涨期权的定价公式具有以下三个有趣的特征：1、该公式不依赖于股票价格上涨的概率q 。
这使得，即使投资者对q 的预期不一致，只要他们对别的参数的估计一致（包括u 、d 、S 、K 和f r ），他们就会有一样的定价公式。
原因在于，我们不是在绝对意义上给期权定价，而是以标的股票价格计算期权的价格。
而上涨和下跌的概率已经包含在股票的定价中，这就是说，我们依据股价给期权定价时，不必再一次考虑这些概率。
2、该公式的获得不依赖于个体投资者的风险偏好。
所需要的假设仅仅是无套利。
3、该公式依赖的唯一随机变量是标的股票。
两期二项式期权定价利用单期期权定价公式（6）式得到一期末的价值：()()11uu udu fpc p c c r +-=+ （9）cq1-qu cd c2qq(1-q) 2(1)q -q(1-q)2max(0,)uu c u S K =-max(0,)ud du c c udS K ==-2max(0,)dd c d S K =-欧式看涨期权的支付S=20q1-quS=24dS=13.42qq(1-q)2(1)q -q(1-q)228.8u S =16.08udS =28.98d S =股票价格的变化()()11du ddd fpc p c c r +-=+ （10）再次利用（6）式得到期初的期权价格：222(1)(1)(1)(1)uu ud du ddf p c p p c P pc p c c r +-+-+-=+ （11）看涨期权定价的完全二项式模型：期末的一般支付形式为0max(0,)n T n u d S K -- （12）T 为总的时间区间数，n 是股票价格上涨的次数。
每个支付的概率的一般形式为二项式分布：()!,(1)!()!n T n T B n T p p p n T n -=-- （13）看涨期权定价的完全二项式公式为：00!(1)max(0,)!()!(1)Tn T n n T nn Tf T p p u d S K n T n c r --=---=+∑ （14）为了更好的观察（14）式，将（14）求和中为零的项去掉。
以a 表示支付为正的最小正整数，即{}0min 0n T n a n u d S k -=-> （15）（14）可以变形为：00!(1)()!()!(1)Tn T n n T nn Tf T p p u d S K n T n c r --=---=+∑ （16）分成两部分：00!(1)!()!(1)n T n T n T nTn f T u d c S p p n T n r --=⎡⎤=-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦∑0!(1)(1)!()!T T n T n f n T K r p p n T n --=⎡⎤-+-⎢⎥-⎣⎦∑ （17） 因为()(1)1(1)11n T nnT nn T n T f f f u d u d p p p p r r r ---⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎥ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()(1)n T n p p -''=-其中，1fup p r '=+经过代换，（17）可以变形为：()()0,(1),T f c S B n a T p K r B n a T p -'=≥-+≥ （18）。