Strongart数学笔记：代数K理论的代数基础小结
代数K理论
K1函子性质
K1为函子。 森田不变性
K2函子性质
K2函子定义
设R为幺环，St(R)为施坦贝格群。则K2(R)=ker(St(R)→E(R))。K2为函子。
K2函子性质
森田不变性。对任意正整数n，都有自然同构。
学科发展
学科发展
代数K理论主要介绍K0,K1,K2函子及相关的内容。对，，现已有多种定义，其中最著名的是奎伦（Quillen, D. G.)于1970年定义的。更进一步地，对i为任意整数，研究函子，这些内容可查阅有关文献。下面，凡提到模 （即环模）均指左环模，塞尔（Serre，J. P.)于1955年证明：一个仿射簇上的向量丛范畴与这个仿射簇之坐标 环上的有限生成投射模范畴等价。斯万（Swan，R. G.)于1962年又将此结果推广到紧致的豪斯多夫空间，从而给 出了拓扑K理论与代数K理论的一个紧密的，大大推动了代数K理论的发展。
设R为幺环，ProjR为R上有限生成投射模同构类的半群，则K0(R)为ProjR的格罗滕迪克群。K0为函子。
K0函子性质
1.K0为连续函子，即保持归纳极限。 2.若R为除环，则ProjR同构于，而K0(R)同构于。 3.若R为交换幺环，则K0(R)对于张量积而言是交换幺环。 4.R上可数生成投射模同构类的交换幺半群的格罗滕迪克群平凡。 5.森田不变性。对任意正整数n，都有自然同构。 6.对任意环R，ProjR相当于幂等矩阵的集合Idem(R)上GL(R)的共轭轨道。
相对K0群
切除定理：设I为环R的双边理想，则。
K1函子
K1函子定义
K1函子性质
K1函子定义
设R为幺环，E(R)为n维初等矩阵(对角元为1，且最多一个非对角元非零的矩阵)生成的GL(R)的子群。则 K1(R)=GL(R)/E(R)。
什么是代数K理论及其应用
代数K理论是数学中一个重要的分支领域，它旨在研究代数结构的各个方面，从而推动数学理论的发展和应用。
在代数K理论中，K代表一个固定的域，通常是一个特征为零的代数闭域。
代数K理论的研究内容多种多样，包括代数拓扑学、代数几何学、代数数论等等。
它涉及的概念和方法非常抽象和深奥，需要一定的数学基础才能理解和应用。
代数K理论的一个重要应用领域是代数拓扑学。
代数拓扑学旨在研究拓扑空间中的代数结构，如群、环、域等。
它的研究对象包括拓扑空间的同伦群、同调群以及基本群等。
代数K理论提供了一种刻画拓扑空间的代数方法，能够更深入地研究和理解拓扑对象的性质和结构。
在代数几何学中，代数K理论也起到了重要的作用。
代数几何学研究的是代数方程的几何性质，如曲线、曲面等。
代数K理论提供了一种分析代数几何对象的工具。
它的研究方法包括代数拓扑学、同伦论等，能够用代数结构分析和刻画代数几何对象的性质。
代数数论也是代数K理论的一个研究领域。
代数数论旨在研究代数数的性质和结构，如整数解的性质、数域的性质等。
代数K理论在代数数论中起到了推动研究的作用。
通过代数K理论的方法，人们能够研究和探索更深层次的代数数的性质和结构。
除了对数学理论的研究，代数K理论还有实际应用。
在计算机科学中，代数K理论被广泛应用于密码学、编码理论等领域。
它的抽象和严谨的理论体系，能够提供可靠和安全的密码系统，保护信息的安全。
总之，代数K理论是数学中一个重要的分支领域，它研究代数结构的各个方面，从而推动数学理论的发展和应用。
它在代数拓扑学、代数几何学、代数数论等领域都有重要的研究应用。
此外，代数K理论还在计算机科学中具有实际应用。
它的研究内容深奥、抽象，需要一定的数学基础才能理解和应用。
然而，代数K理论的发展和应用，为我们理解数学本质、解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
Strongart数学笔记：代数曲面上曲线相交数的计算与分析
代数曲面上曲线相交数的计算与分析(2015-03-0914:25:46)代数几何中的相交理论一直都是一个核心论题，特别是代数曲面上曲线的相交，已经发展出了相当丰富的理论体系，下面我们通过一个简单问题来分析曲面上相交数的特点。
约定：系数域k是特征为零的代数闭域，读者也可以认为它就是复数域C；所有的曲面与曲线都是非异的，同时作为概型是射影的。
先介绍一些背景知识，首先是相交数的定义。
在一般的正常位置，即所谓横截相交的情况下，代数曲面上曲线的相交数就是其交点的个数。
由此出发，我们定义曲面X上相交数为其除子群上满足下列条件的对Div X×Div X→Z，（C，D）→CD：（1）CD是对称的且对各因子都是双线性的。
（2）CD只与其除子类有关，即若D~E，则CD=CE.（3）若C，D有效且无公共分支，则CD=Σ_(P∈C∩D)（CD）_P，其中局部相交数)（CD）_P=dim O_(X,P)/（I_C，I_D）O_(X,P)这里一个比较有趣的情形就是自相交数D^2，我们可以把它理解为存在某个E~D，使得D^2=DE，这个操作已经成了代数曲面理论中的常识性技术，我们总可以找到这样的E 与D处在正常位置。
但假若非要对此细究，那么它实际上是由关于射影代数簇Bertini定理保证的，它说明了几乎所有的位置都是曲线的正常位置（参见【2】）。
作为这个等价替换的代价，曲线的自相交数中引入了曲面的因素，因此它可能是负的。
关于相交数最简单的定理应该是Bezout定理：若P^2内两条次数分别为d和e的曲线，若它们无公共分支，则它们一共有de个交点（按重数计算）。
用这里代数曲面的理论来说，就是假若不出现自相交数的情况，那么它们的相交数就是次数的乘积。
对于更为一般的情况，我们有伴随公式与亏格公式，它们是处理相交数的问题的大杀器。
设X是非异簇Y是非异超曲面，则有典型除子的伴随公式：K_X=（K_Y+X）|X由伴随公式，我们可以得到射影空间P^n的典型除子为：K_(P^n)=-（n+1）H其中H是P^n内的P^(n-1)超平面除子类。
代数综合知识点总结
代数综合知识点总结一、代数基本概念1. 数数是代数的基本概念，包括自然数、整数、有理数和实数等。
自然数是最简单的数，包括1、2、3、4、5……；整数包括正整数、负整数和0，表示为……-3、-2、-1、0、1、2、3……；有理数是整数和分数的集合，可以表示为p/q（其中p和q为整数，且q≠0）；实数包括有理数和无理数，它们在数轴上占据了所有的点。
2. 变量代数中用字母表示的数称为变量，通常用小写字母表示。
变量可表示任意数，例如：x、y、z。
3. 系数代数中数的前面的乘数叫做系数，通常为常数，例如：2x中的2为x的系数。
4. 项代数式中加减号相连的部分叫做项，例如：3x^2、-2x、5是代数式3x^2-2x+5中的项。
5. 多项式由多个项相加或相减组成的代数式是多项式，例如：2x^3-3x^2+4x-5是一个四项的多项式。
6. 方程含有未知数的等式称为方程，通常表示为p(x)=q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式，x是未知数。
7. 不等式含有未知数的不等式称为不等式，通常表示为p(x)≥q(x)或p(x)＜q(x)。
8. 函数将一个自变量的值通过特定的运算法则映射到一个因变量上的规律关系称为函数，通常表示为y=f(x)，其中y是因变量，x是自变量，f(x)是函数关系。
二、代数运算1. 代数式的加减将相同变量的项合并在一起，即系数相加减，变量部分不变。
例如：3x+5x=8x、3x-5x=-2x。
2. 代数式的乘法将代数式中的每一项依次相乘，然后合并同类项。
例如：(2x+3y)(4x-5y)=8x^2-10xy+12xy-15y^2=8x^2+2xy-15y^2。
3. 代数式的除法将被除式与除数相除，首先要简化被除式和除数，然后进行长除法或分式除法运算。
4. 代数式化简将代数式中的括号进行展开并合并同类项，把代数式表示得最简单。
5. 代数方程的解法通过变换等式进行消元、合并同类项等操作，得到方程的解。
Strongart数学笔记：代数数论入门指南
代数数论入门指南一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。
先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。
设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。
分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X).代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为：Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。
特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A.假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。
可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n其中σ_i是L的K-共轭。
若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为：Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a)这里f"(a)称为a的微分或差分（different）.通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]).代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。
Strongart数学笔记：算子KK理论简明小结
算子KK-理论简明小结最近学了一点算子KK-理论，发现这个东西技术细节还是比较麻烦的，下面我就来整理一个大致思路，对KK-理论的概貌做一个大致的刻画，希望对能够来到这里的数学天才有所帮助。
对于KK-群有各种不同版本的定义，但最后的基本性质却是相似的，因此我们先来讨论最一般意义上的KK（A，B）.让我们先看基本约定，在KK（A，B）中，一般要求A与B是带σ-单位的分次C*-代数，这一点可以保证它强同伦与同伦关系是一致的。
此外，我们假设A是可分的，这主要是使得对应Kasparov模的等价关系一致于同伦关系，还假设B是稳定的，这可以带来KK-群的稳定性，在KK-理论中紧算子代数是可以被忽略的。
在这样的约定下，我们来看KK-群的若干基本性质。
1）同伦不变性：同伦关系导出相同的KK-群2）稳定性：与紧算子代数K或有限矩阵代数M_n的张量积保持KK-群不变3）Abel群性质：它构成Abel群。
这里的加法是通过一个特殊的降阶内自同构Θ来定义为[a]+[b]=Θdiag{a,b}，而Θ：Mn（B）→B，Θ：((b_ij))=Σw_ib_ijw_j*，其中w_i*w_j=0，若i≠j；Σw_iw_i*=1.(实际上这类似Cuntz代数的结构，在KK-群的加法定义中只用到n=2的情形）4）乘积性质：即有双线性映射：KK（A，B）×KK（B，C）→KK （A，C），它满足下面性质：4.1）单位律：1_A·x=x=x·1_B，对任何x∈KK（A，B）4.2）分配律：x·（y+z）=x·y+x·z，对任何x∈KK（A，B），y、z∈KK（B，C）4.3）结合律：(x·y)·z=x·（y·z），对任何x∈KK（A，B），y∈KK（B，C），z∈KK（C，D）5）函子性质：5.1）若f：A1→A是态射，则f^*（x）·y=f^*（x·y），对任何x∈KK（A，B)，y∈KK（B，C)5.2）若g：C→C1是态射，则x·g_*（y）=g_*（x·y），对任何x∈KK（A，B)，y∈KK（B，C)5.3）若h：B1→B2是态射，则h_*（x）·y=x·h^*（y），对任何x∈KK（A，B1)，y∈KK（B2，C)6）与K-群的联系：KK(C，B）=K_0（B）在KK-群的基础上还可以定义KK^1群为KK^1（A，B）=KK（A，B_(1))其中B_（1）是带奇分次的B⊙B，这样我们还有性质：6’）KK^1(C，B）=K_1（B)7）扩张性：若A，B平凡分次，则KK^1（A，B）=Ext（A，B）^(-1)；若A还是核C*-代数，则KK^1（A，B）=Ext（A，B）.8）Bott周期：KK（A，B）=KK（SA，SB）=KK^1（SA，B）=KK^1（A，SB).9）六项正合列（见[2]19.5.7）10）P-V正合列（见[2]19.6.1）下面简述KK-群的几种不同定义，一般我们都是先从Kasparov 模来引入KK-群的。
Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南
Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。
但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。
约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。
首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。
实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringed space）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。
假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。
给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=Spec R，其环层由交换环R的素谱Spec R上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(Spec R,O_Spec R)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。
X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。
概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。
环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。
感动中国2012：推荐一位自学成才的80后数学家(Strongart)
感动中国2012：推荐一位自学成才的80后数学家（Strongart）你只要在google上搜索一下“自学数学”，就能够一篇非常感人的文章，它讲述了一位网名为Strongart的年轻数学家自学成才的故事，当年华罗庚、陈景润之类的感人事迹，又一次在我们身边出现了。
Strongart，真名不详，江苏苏州人，曾在一所比较破旧的学校上小学，得到了全国奥数竞赛二等奖，初中时他自学完高中数学，开始自学数学系的分析课程，但迫于升学压力，高中时只是断断续续学了点数分高代。
正如很多天才都不能适应机械化的考试那样，他第一次高考也没考上如意的大学，此后一年他主要还是自学数学，最后带着一点泛函分析与抽象代数的基础进入了一所二流大学。
大学时他学得是哲学专业，这是他的另一个兴趣所在，但很快就发现课堂上教授的东西太落后了，根本就不是他所希望的，因此基本上都是自己借图书馆的书学习。
四年下来他已经能够阅读一些英文原版文献，可是现实又一次对他开了个玩笑，最终他因为学分不够，就这样默默的离开了学校。
对于这一段经历，或许他在某个视频中的一段话颇能说明问题：当同学们还处在惊讶之中，还没来得及以崇拜的目光注视我的时候，我便已经离开了他们的视线。
离开学校后，他靠网购一些图书学习，逐渐也有了一些自己的成就。
他把自己的研学心得写进自己的新浪博客，目前点击已经超过两百万，同时还制作成PDF电子书供学友们下载，深受一些专业人士的好评。
在他小结的那些数学笔记中，抽象代数、微分几何、泛函分析只能算是基础部分，此外还包括调和分析、Banach空间结构、多复变函数论、纤维丛几何、环与模的Morita理论、代数K理论等高端内容。
一般的数学系研究生只要能够掌握其中的一部分，就已经算是比较优秀的了。
从2010年起，他开始录制数学视频讲座，目前第一期交换代数视频1-30已经完成，现在又开始教授泛函分析新课，其不看讲稿的脱口秀风格颇具大家风范。
他的视频不仅思路清晰内容丰富，还非常具有自己的个性特征，在讲述投射模时联系了代数K理论，在讲述内射模时联系了一般环论中的半单环，讲述张量积的时候则是对比了微分流形上的张量场，几乎每一讲都有这样的亮点出现。
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代数K理论的代数基础小结
最近我在读一点代数K理论，尽管这是个比较年轻的分支，但是却在代数数论、代数几何、代数拓扑、算子代数等理论中都有着广泛的应用，可以说是代数学中的“泛函分析”。
代数K理论自然是建立抽象代数的基础之上，特别需要交换与非交换环的内容，下面我就结合环上K0、K1群，对所需的代数基础作一点简单的小结。
所谓环R的K0群，就是R上的f.g.（有限生成）投射模在同构下的等价类的半群完备化，也就是相应等价类的Grothendieck群。
这里考虑f.g.条件，是因为在无限生成的条件下，会出现类似Hilbert Hotel的情况，使得K=2K→K=0.这样一来，环上的f.g.投射模就比一般的投射模更受关注，最常见的问题就是问它们什么时候是自由的。
一个答案是需要环是PID，因为PID上f.g.模有类似Abel 群的结构定理；另一个答案则是局部环（未必交换），这可以通过推广Nakayama lemma来证明。
顺便说一下，即使不要求f.g.条件，在局部环上的投射模也都是自由的，只是证明起来要麻烦一些啊！
对于K0.K1群而言，比较重要的一类环就是Dedekind domain （DD），它是交换的遗传环，有着各种等价的描述：
1）从环的结构上看，DD就是一维的Noether的整闭整环。
这里的整闭条件常常用来说明某个环不是DD，比如Z[√-5]就是PID但不是DD的典型例子。
2）从局部化构造来看，DD是Noether的局部DVR.这就使得对任意素理想p，都可以做p-adic赋值。
3）从理想的角度来看：DD的分式理想构成群。
此等价于其任意（分式）理想均可逆。
4）从模的角度来看：DD的f.g.投射模是理想的直和。
注意比较一下遗传条件，其理想实际上就是投射模。
此外，DD还有一些重要的性质：
a）1+1/2的Noether性：理想由两个元素生成，并且其中一个元素可以事先给定。
b）理想的因子分解性：可以分解为素理想（=极大理想）的乘积。
因此，相应的理想运算可以转化为素理想因子指数的运算，特别其准素理想是素理想的幂。
c）DD必为半局部环或半单环，前者即为PID.特别有
DD∩UFD→PID.
d）DD的环稳定度为2：就是说其矩阵环的能够生成整个环R的行的最小数是2，这样就可以用二阶矩阵群来刻画K1群，导出所谓的Mennicke symbol.
所谓环R的K1群，是由其特殊线性群GL(R)对初等群E(R)取模得到，也就是说可以它在初等变换下不变。
这样一来，线性代数中的行与列的初等变换就成了需要关注的焦点，如果能够通过这样的初等变换得到一个形如diag[a,1,…,1]的对角阵，那么就可以得到一个通往K1(R)的满射。
然而，这里的初等变换是在一般环上建立的，如何做除法消元就成了一个重要的问题。
对于除环而言，逆的存在是天然的，因此完全可以满足消元的要求。
接着我们来看局部环，关键在于其不在极大理想内的元素必可逆，也就可以得到相应矩阵环的任一行都必有一个单位元素。
对此我要稍微详细的解释一下，有人也许会想假若其矩阵环A某一行都在极大理想m内，那么其行列式det（A）也应在m内，假若有AB=I，则有det （A）det（B）=1，这使得det（A）变成了单位！遗憾的是，这样的解释是错误的，因为非交换环不能像交换环那样随便写行列式。
比如在最简单的四元数代数中，有对角矩阵的乘法
diag[i,i]diag[j,j]=diag[k,k],但相应的行列式却是
(-1)(-1)=(-1)(!)恰当的解释应该回到矩阵的乘法上，假若A的第i 行在m内，则AB的第i行也在m内，这与AB的（i,i）元素是1矛盾！此外，还有一种可能的情况就是欧式环，它可以通过范数最小元的方法来达到整除消元的目的。
然而，不讨论行列式只能给出到K1群的满射，这自然是不能令人满意的。
因此，我们还得探索非交换环上的行列式需要另外探索，基本思想是先找出行列式的典型性质，然后看看有没有什么类似的构
造也满足此性质，可惜其中的技术略显复杂，我也就不再这里罗嗦了，有兴趣的读者可以去参阅代数K理论的相关书籍。
本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。
然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。
这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！
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