初中七年级数学培优平行线四大模型.docx
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平行线四大模型
平行线的判定与性质
l、平行线的判定
根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行,但是,由于直线无限延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行,这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.
判定方法 l :
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简称:同位角相等,两直线平行.
判定方法2:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简称:内错角相等,两直线平行,
判定方法3:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简称:同旁内角互补,两直线平行,
如上图:
若已知∠ 1=∠ 2,则AB∥CD(同位角相等,两直线平行);
若已知∠ 1=∠ 3,则AB∥CD(内错角相等,两直线平行);
若已知∠ 1+ ∠ 4= 180 °,则AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
另有平行公理推论也能证明两直线平行:
平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
2、平行线的性质
利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行.反过来,如果已知两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同旁
内角也有相应的数量关系,这就是平行线的性质.
性质 1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
简称:两直线平行,同位角相等
性质 2:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.
简称:两直线平行,内错角相等
性质 3:
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简称:两直线平行,同旁内角互补
本讲进阶平行线四大模型
模型一“铅笔”模型
点 P 在 EF右侧,在 AB、 CD内部“铅笔”模型结论 1:若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60 °;
结论 2:若∠P+∠AEP+∠PFC= 360 °,则AB∥CD.
模型二“猪蹄”模型(M模型)
点 P 在 EF左侧,在 AB、 CD内部“猪蹄”模型结论 1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP+∠CFP;
结论 2:若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB∥CD.
模型三“臭脚”模型
点 P 在 EF右侧,在 AB、 CD外部“臭脚”模型结论 1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP- ∠CFP或∠P=∠CFP- ∠AEP;
结论 2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP- ∠AEP,则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
点 P 在 EF左侧,在 AB、 CD外部·
“骨折”模型结论 1:若AB∥CD,则∠P=∠CFP- ∠AEP或∠P=∠AEP- ∠CFP;
结论 2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP- ∠CFP,则AB∥CD.
巩固练习平行线四大模型证明
已知 AE
( 1)已知∠P=∠AEP+∠CFP,求证AE∥CF.
( 3)已知AE∥CF,求证∠P=∠AEP-∠CFP.
已知∠ P=∠ CFP-∠ AEP,求证AE
模块一平行线四大模型应用
例 1
( 1)如图,a∥b, M、N分别在a、b上,P为两平行线间一点,那么∠l +∠2+∠3=.
(2) 如图,∥,且∠ =25°,∠ =45°,则∠
E 的度数是.
AB CDA C
(3) 如图,已知AB∥DE,∠ ABC=80°,∠ CDE=140°,则∠ BCD=.
(4)如图,射线AC∥ BD,∠ A= 70°,∠ B= 40°,则∠ P=.
练
(1) 如图所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C= 20 °,则∠EAB的度数为.
(2)如图, AB∥ CD,∠ B=30°,∠ O=∠ C.则∠ C=.
例 2
如图,已知AB∥ DE, BF、 DF分别平分∠ ABC、∠ CDE,求∠ C、∠F 的关系.练
如图,已知AB∥ DE,∠ FBC=1
∠ ABF,∠ FDC=
1
∠ FDE. n n
(1) 若=2, 直接写出∠、∠
F 的关系;
n C
(2)若 n=3,试探宄∠ C、∠ F 的关系;
(3) 直接写出∠C、∠F的关系(用含n的等式表示).
例 3
如图,已知AB∥ CD, BE平分∠ ABC, DE平分∠ ADC.求证:∠ E= 2 (∠ A+∠C) .
练
如图,己知AB∥ DE, BF、 DF分别平分∠ ABC、∠ CDE,求∠ C、∠ F 的关系.
例 4
如图,∠ 3==∠ 1+∠ 2,求证:∠A+∠B+∠C+∠D= 180 °.
练
(武昌七校2015-2016七下期中)如图,AB⊥BC, AE 平分∠ BAD交BC
于
E, AE
⊥ DE,∠ l +∠2= 90°, M、 N分别是平分线相交于点 F 则∠ F 的度数为(BA、CD的延长线上的点,
∠).
EAM和∠ EDN的
A. 120°
B. 135°
C. 145°
D. 150°模块二平行线四大模型构造
例 5
如图,直线 AB∥ CD,∠ EFA= 30°,∠ FGH= 90°,∠ HMN=30°,∠CNP=50°,则
∠ GHM=.
练
如图,直线AB∥ CD,∠ EFG=100°,∠ FGH=140°,则∠AEF+∠CHG=.