理论力学(机械工业出版社)第十二章动能定理习题解答
理论力学课后习题答案
理论力学(盛冬发)课后习题答案c h12(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第12章动能定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．圆轮纯滚动时，与地面接触点的法向约束力和滑动摩擦力均不做功。
( √ )2．理想约束的约束反力做功之和恒等于零。
( √ )3．由于质点系中的内力成对出现，所以内力的功的代数和恒等于零。
( × )4．弹簧从原长压缩10cm和拉长10cm，弹簧力做功相等。
( √ )5．质点系动能的变化与作用在质点系上的外力有关，与内力无关。
( × )6．三个质量相同的质点，从距地相同的高度上，以相同的初速度，一个向上抛出，一个水平抛出，一个向下抛出，则三质点落地时的速度相等。
( √ )7．动能定理的方程是矢量式。
( × )8．弹簧由其自然位置拉长10cm，再拉长10cm，在这两个过程中弹力做功相等。
143144( × )二、填空题1．当质点在铅垂平面内恰好转过一周时，其重力所做的功为 0 。
2．在理想约束的条件下，约束反力所做的功的代数和为零。
3．如图所示，质量为1m 的均质杆OA ，一端铰接在质量为2m 的均质圆轮的轮心，另一端放在水平面上，圆轮在地面上做纯滚动，若轮心的速度为o v ，则系统的动能=T 222014321v m v m +。
4．圆轮的一端连接弹簧，其刚度系数为k ，另一端连接一重量为P 的重物，如图所示。
初始时弹簧为自然长，当重物下降为h 时，系统的总功=W 221kh Ph -。
图 图5．如图所示的曲柄连杆机构，滑块A 与滑道BC 之间的摩擦力是系统的内力，设已知摩擦力为F 且等于常数，则曲柄转一周摩擦力的功为Fr 4-。
1456．平行四边形机构如图所示，r B O A O ==21，B O A O 21//，曲柄A O 1以角速度ω转动。
哈工大理论力学第七版十二章动能定理解读
质心平移坐标系运动的动能之和。
§12-3
1.质点的动能定理
动能定理
dv 将 m F 两端点乘 vdt dr , dt 1 2 mv dv d( mv ), F dr δW 得 mv dv F dr 2 1 2 因此 d( mv ) δW －－质点动能定理的微分形式 2
2 得 W12 r r1 k (r l0 )dr
A2
A2
1
A1
即 W k ( 2 2 ) 12 1 2
2
1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
δW F dr Ft ds Ft Rd
第十二章
动
能
定
理
§12-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W F cos s F s
二、变力在曲线运动中的功 元功
δW F cos ds
δW F dr
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
记
W Fx dx Fy dy Fz dz
drC M C d W12 FR
C1
2
1
说明:1.对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2.C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
W1 F R
W2 0
W1 W1 W2 F R
60 3.78 F 6.45kN π 0.1112
d πn P有用 Fv F · 2 30
§12-5 势力场.势能.机械能守恒定律
理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
理论力学(12.8)--动能定理-思考题答案
第十二章 动能定理答 案12-1可能。
如：传送带上加速运动物体，水平方向上仅受到静摩擦力，静摩擦力做正功。
12-2三者由A处抛出时，其动能与势能是相同的，落到水平面H - H 时，势能相同，动能必相等，因而其速度值是相等的，重力作功是相等的。
然而，三者由抛出到落地的时间间隔各不相同，因而重力的冲量并不相等。
12-3小球运动过程中没有力作功，小球动能不变，速度大小不变，其方向应与细绳垂直，但对z轴的动量矩并不守恒。
因为绳拉力对圆柱中心轴z有力矩，使小球对z轴的动量矩 减小。
小球的速度总是与细绳垂直。
12-4由于两人重量相同，因此整个系统对轮心的动量矩守恒；又由于系统初始静止，因此系统在任何时刻对轮心的动量矩都为零。
由此可知，两人在任何时刻的速度大小和方向都相同。
如果他们初始在同一高度，则同时到达上端。
任何时刻两人的动能都相等。
由于甲比乙更努力上爬，甲作的功多。
甲和乙的作用力都在细绳上，由于甲更努力上爬，因此甲手中的细绳将向下运动，同时甲向上运动。
设乙仅仅是拉住细绳，与绳一起运动，其上升高度为h，又上爬h，甲肌肉作功为2F T h ，乙作功为零。
如果乙也向上爬，相对细绳上爬高度为b，由于甲更努力上爬，有h>b，甲将细绳拉下h - b，又上爬h，甲肌肉作功为F T(2h - b)；乙作功为F T b。
针对某一个人而言，包括重力、绳拉力和内力做功。
12-5质心的特殊意义体现在：质心运动定理，平面运动刚体动能的计算，平面运动刚体的运动微分方程等。
12-6（1）动量相同，均为零；动量矩相同；动能不同。
（2）动量相同，均为零；动量矩不同；动能相同。
12-7（1）重力的冲量相同；（2）应用动量矩定理，转动惯量越大，角加速度及质心的加速度越小，相同的时间，质心的路程越小，重力的功越小；（3）由于动能相同，转动惯量越大，质心的速度越小，动量越小；（4）到达底部时，重力做功相同，动能相同。
（5）随着转动惯量的增加，对各自质心的动量矩增加。
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
理论力学--第十二章 动能定理
由
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
1
2
若
Mz
常量
则 W12
M z ( 2 1 )
4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为
W Wi
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
A2
弹性力的功为
W12
A1
A2
F dr
k (r l0 )er dr
A1
因
1 r 1 er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆 柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 v，
杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。
B C
v
A
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
I为AB杆的瞬心
P
B
C
v PA
S
W=0
N
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1 φ 1 dr1 dr2
F2
F1( dr1cos1 dr2cos2 )
0
约束力做功之和等于零。
φ2
(3)光滑铰链支座
(4)固定端约束
}
约束力不作功
F
dr
F’
(5)光滑铰链(中间铰链)
理论力学 第六版部分习题答案 第12章
T=
m 2 2 2 ω l sin θ 6
12-5 自动弹射器如图 13-5a 放置，弹簧在未受力时的长度为 200 mm，恰好等于筒长。 欲使弹簧改变 10 mm，需力 2 N。如弹簧被压缩到 100 mm，然后让质量为 30 g 的小球自弹 射器中射出。求小球离开弹射器筒口时的速度。
Fk 30°
12-9 2 个质量均为 m2 的物体用绳连接，此绳跨过滑轮 O，如图 13-10 所示。在左方 物体上放有 1 带孔的薄圆板，而在右方物体上放有 2 个相同的圆板，圆板的质量均为 m1。 此质点系由静止开始运动，当右方物体和圆板落下距离 x1 时，重物通过 1 固定圆环板，而 其上质量为 2m1 的薄板则被搁住。摩擦和滑轮质量不计。如该重物继续下降了距离 x2 时速 度为零，求 x2 与 x1 的比。 解 第 1 阶段：系统由静止运动 x1 距离。由动能定理
12-6 平面机构由 2 匀质杆 AB，BO 组成，2 杆的质量均为 m，长度均为 l，在铅垂平 面内运动。在杆 AB 上作用 1 不变的力偶矩 M，从图 13-7a 所示位置由静止开始运动。不计 摩擦，求当杆端 A 即将碰到铰支座 O 时杆端 A 的速度。
P
P
θ
B vB
ω AB
vB vC vA
(c)
即
1 (2m1 g + m2 g ) x1 − (m1 g + m2 g ) x1 = (3m1 + 2m2 )v 2 2 1 （1） m1 gx1 = (3m1 + 2m2 )v 2 2 m2 gx2 − (m1 g + m2 g ) x2 = 0 − 1 (m1 + 2m2 )v 2 2
（2）
图 13-10
理论力学-动能定理 案例
求:O1 , O2处的约束力.
解:
T
1 2
J
2
O1 1
1 2
JO2 JO3
22
1 2
mAvA2
其中
2
1
2
A
2r
1r
2
,
J O1
1 2
m1r 2 ,
JO2
1 2
m2R2 , JO3
1 2
m3r 2
δW Md mAdh
M
其中 dh 1 rd
2
dT
dt
δW
aA
T2
1 2
mvC2
1 2
J C 2
1 2
mAvA2
其中： vC R
vA (R r)
aC R aA (R r)
T2
1 2
m(C2
R2) mA(R r)2
2
力的功 W mAgs
mAgs
1 2
m(C2
R2) mA(R r)2
2
T1
函数式
两端对时间求导得
mAgvA m(C2 R2 ) mA (R r)2
1 J d 2
2 dt
1 2
m
J R2
ds dt
2
P重力
mg
ds dt
, P弹性力
ks
ds dt
dT dt P重力 P弹性力
m
J R2
ds dt
d2s dt 2
mg
ds dt
ks ds dt
m
J R2
d2s dt 2
mg
ks
令
为弹簧静伸长，即mg=k
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习 题12–1 一刚度系数为k 的弹簧，放在倾角为θ的斜面上。
弹簧的上端固定，下端与质量为m 的物块A 相连，图12-23所示为其平衡位置。
如使重物A 从平衡位置向下沿斜面移动了距离s ，不计摩擦力，试求作用于重物A 上所有力的功的总和。
图12-23))((2sin 2st 2st s k s mg W +-+⨯=δδθ 2st 2sin s ks k mgs --=δθ22s k -=12–2 如图12-24所示，在半径为r 的卷筒上，作用一力偶矩M=a ϕ+b ϕ2，其中ϕ为转角，a 和b 为常数。
卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B 。
设重物B 的质量为m ，它与水平面之间的滑动摩擦因数为μ。
不计绳索质量。
当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。
图12-24322π40π364π8d )+ (d b a b a M W M +===⎰⎰ϕϕϕϕ mgr r mg W F π4π4μμ-=⨯-=)3π16π6π(34π4π364π8232mgr b a mgr b a W μμ-+=-+=∑12–3 均质杆OA 长l ，质量为m ，绕着球形铰链O 的铅垂轴以匀角速度ω转动，如图12-25所示。
如杆与铅垂轴的夹角为θ，试求杆的动能。
图12-25x x l mx x l m v m E d )sin 2()sin )(d (21)(d 21d 2222k θωθω===θωθω2220222k sin 61d )sin 2(ml x x l m E l ⎰==12–4 质量为m 1的滑块A 沿水平面以速度v 移动，质量为m 2的物块B 沿滑块A 以相对速度u 滑下，如图12-26所示。
试求系统的动能。
图12-26])30sin ()30cos [(212122221k ︒++︒+=u v u m v m E)30cos 2(212122221︒+++=uv v u m v m)3(212122221uv v u m v m +++=12–5 如图12-27所示，滑块A 质量为m 1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB ，杆AB 长为l ，质量为m 2。
当AB 杆与铅垂线的夹角为ϕ时，滑块A 的速度为A v ，杆AB 的角速度为ω。
试求在该瞬时系统的动能。
图12-27AB A E E E k k k +=22222221)121(21])sin 2()cos 2[(2121ωϕωϕωl m l l v m v m A A ++++= )121cos 41(212122222221ωϕωωl lv l v m v m A A A ++++=)cos 31(2121222221ϕωωA A A lv l v m v m +++=12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规尺都是均质细杆，其质量分别为m 1和2m 1，且OC=AC=BC=l ，如图12-28所示。
滑块A 和B 的质量都等于m 2。
如作用在曲柄上的力偶矩为M ，不计摩擦，试求曲柄的角加速度。
图12-28ωl v C = ωω=AB ϕωωϕcos 2cos 2l l v AB A =⨯= ϕωsin 2l v B = B A AB OC E E E E E k k k k k +++=)(21])2)(2(121[21)2(21)31(2122222121221B A C v v m l m v m l m ++++=ωω 2222212212214213161ωωωωl m l m l m l m ⨯+++=2221243ωl m m +=ϕM W =∑动能定理ϕωM l m m =+2221243 221)43(l m m M+=α12–7 曲柄导杆机构在水平面内，曲柄OA 上作用有一力偶矩为M 的常力偶，如图12-29所示。
若初始瞬时系统处于静止，且∠AOB =2π，试问当曲柄转过一圈后，获得多大的角速度？设曲柄质量为m 1，长为r 且为均质细杆；导杆质量为m 2；导杆与滑道间的摩擦力可认为等于常值F ，不计滑块A 的质量。
图12-2901k =E2221222212k )3(61)(2161ωωωr m m r m r m E +=+=Fr M W 4π2-=∑动能定理)2(π2)3(612221Fr M r m m -=+ω 212213)2(π32)3()2(π12m m Fr M r r m m Fr M +-=+-=ω12–8 半径为R 质量为m 1的均质圆盘A 放在水平面上，如图12-30所示。
绳子的一端系在圆盘中心A ，另一端绕过均质滑轮C 后挂有重物B 。
已知滑轮C 的半径为r ，质量为m 2；重物B 质量为m 3。
绳子不可伸长，不计质量。
圆盘作纯滚动，不计滚动摩擦。
系统从静止开始运动，试求重物B 下落的距离为h 时，圆盘中心的速度和加速度。
图12-3001k =E23222212k 21))(21(2143v m r v r m v m E ++=2321)23(41v m m m ++=gh m W 3=∑动能定理gh m v m m m 32321)23(41=++ 3213234m m m ghm v ++=3213232m m m gm a ++=12–9 图12-31所示链条传运机，链条与水平线的夹角为θ，在链轮B 上作用一力偶矩为M 的力偶，传运机从静止开始运动。
已知被提升重物A 的质量为m 1，链轮B 、C 的半径均为r ，质量均为m 2，且可看成均质圆柱。
试求传运机链条的速度，以其位移s 表示。
不计链条的质量。
图12-3101k =E2))(21(2121222212k ⨯+=r vr m v m E221)(21v m m +=rs gr m M gr m M W )sin (sin 11θθϕϕ-=-=∑ 动能定理rs gr m M v m m )sin ()(211221θ-=+)()sin (2211m m r s gr m M v +-=θ )(sin 211m m r gr m M a +-=θ12–10 如图12-32所示，质量为m 1的直杆AB 可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为m 2、倾角为θ的光滑的楔块C 上，楔块又放在光滑的水平面上。
由于杆的压力，楔块向水平向右方向运动，因而杆下降，试求两物体的加速度。
图12-32θtan C AB v v =01k =E22212k 2121CAB v m v m E += 2222121tan 21CC v m v m +=θ 2221)tan (21C v m m +=θθtan 1gs m W =∑动能定理θθtan )tan (2112221gs m v m m C =+2211tan tan m m g m a C +=θθ22121tan tan tan m m g m a a C AB+==θθθ12–11 如图12-33所示，均质细杆长为l ，质量为m 1，上端B 靠在光滑的墙下，下端A 用铰链与圆柱的中心相连。
圆柱质量为m 2，半径为R ，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动。
如杆与水平线的夹角θ=45°，不计滚动摩擦，试求A 点在初瞬时的加速度。
图12-33分析任意位置 01k =Eθωsin l v A AB = θωsin 22AAB C v lv ==22121222k )sin )(121(21)sin 2(2143θθl v l m v m v m E A A A ++=θ22122sin 643A A v m v m += 2212)9sin 2(121Av m m +=θ )sin 45(sin 21θ-︒=∑glm W动能定理)sin 45(sin 2)9sin 2(12112212θθ-︒=+gl m v m m A 对时间求导，注意 ABωθ-=θθθθθθcos 2)sin cos 2(612)9sin 2(1211321212 gl m v m a v m m A A A -=-++ θθθθθθcos sin 2)sin sin cos 2(61)9sin 2(611321212l v gl m l v v m a v m m A A A A A ⨯=⨯++ θθθθcot 2)sin cos (31)9sin 2(611421212g m l v m a m m A A =++ 初瞬时(︒=45θ)， v A =0故2)94(61121g m a m m A =+ 211943m m gm a A +=12–12 如图12-34所示，绳索的一端E 固定，绕过动滑轮D 与定滑轮C 后，另一端与重物B 连接。
已知重物A 和B 的质量均为m 1；滑轮C 和D 的质量均为m 2，且均为均质圆盘，重物B 与水平面间的动摩擦因数为μ。
如重物A 开始时向下的速度为v 0，试求重物A 下落多大距离时，其速度将增加一倍？图12-3420120222022011k )2(21)2)(21(214321v m r v r m v m v m E +++= 20214710v m m +=1k 2k 4E E =gh m m h g m gh m gh m W ])21([221121+-=⨯-+=∑μμ动能定理gh m m E ])21([3211k +-=μ gh m m v m m ])21([4)710(3212021+-=+μ ])21([4)710(3212120m m g m m v h +-+=μ12–13 如图12-35所示，均质直杆AB 重100N ，长AB =200mm ，两端分别用铰链与滑块A 、B 连接，滑块A 与一刚度系数为k =2N/mm 的弹簧相连，杆与水平线的夹角为β，当β=0o时弹簧为原长。
摩擦与滑块A 、B 的质量均不计。
试求：（1）杆自β=0°处无初速地释放时，弹簧的最大伸长量。
（2）杆在β=60°处无初速地释放时，在β=30°时杆的角速度。
图12-35(1) 01k =E 02k =E)0(222max maxδδ-+=∑k GW 动能定理 0222max max =-δδk Gmm 502100max ===k G δ(2) 01k =Eω2l v C =222222k 61)121(2121ωωml ml mv E C =+=])30sin ()60sin [(2)30cos 60(cos 222︒-︒+︒-︒=∑l l kl mg W24431l kmgl +-=动能定理 222443161l k mgl ml +-=ω mkl g 464)31(6+-=ω)31(23mg kl l g +-= )100200231(2.028.93⨯+-⨯⨯= rad/s 50.1519.240==12–14 在图12-36所示的系统中，物块M 和滑轮A 、B 的质量均为m ，且滑轮可视为均质圆盘，弹簧的刚度系数为k ，不计轴承摩擦，绳与轮之间无滑动。