指数与指数幂的运算PPT
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高中数学课件——指数及指数幂的运算
an
可知：0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂没意义.
性质：(整数指数幂的运算性质对于有 理指数幂也同样适用）
前提
aras ars (a 0, r, s Q)
(a r )s a rs (a 0, r, s Q)
(ab)r arbr (a 0,b 0, r Q)
思考：
缺少 a 0这个前提后是否仍然成立呢？
公式：
a n a n
a
当n为奇数时
n
an
| a
|
aa, ,aa00时时当n为偶数时
分数指数幂
m
规定：a n n am (a 0, m, n N *,且n 1)
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示；
（2）根式与分式指数幂可以互化.
规定:
m
a n
1
m
(a
0, m, n
N *,且n
1)
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
1)
1 3
(2a 3b 4
)
(a
1 1
2b 3
)6
(3a
2 1
3b 4
)
例5、计算下列各式
1)( 3 25- 125) 4 25 2) a2 (a 0)
a 3 a2
注意：利用分数指数幂进行根式运算 时，先将根式化成有理指数幂，再根 据分数指数幂的运算性质进行运算。
计算： [(
错误解： 2 1 ( 3) 2 ( 3)1 1 3
3
)
2
]
1 2
正确解：
1
32
1
1
32
1 3
3 3
3 3
例2、求值
2
实数指数幂及其运算ppt课件
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4（ 2）4 2.
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
式子 n an 对任意a ∊ R都有意义.
公式1.
n a
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R. ②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2. n an a.
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ① ④ ).
① 4 16 2 ② ( 5 3)5 3 ③ 5 (3)5 3 ④ 5 (3)10 3 ⑤ 4 (3)4 3
【2】求下列各式的值.
⑴ 5 32;
⑵ （ 3）4 ;
⑶ （ 2 3）2 ; ⑷ 5 2 6 .
解: ⑴ 5 32 5 (2)5 2;
④积的乘方，等于各因式幂的积，即： (a b)m ambm
在运算法则②中，若去掉m>n会怎样？
m=n m<n
a3 a3
a33
a0
1
a3 a5
a35
a2
1 a2
a ？0
a0 1（a 0）
an
1 an
（a
0，n
N
）
将正整数指数幂推广到整数指数幂
练习:
80 1
（ 8）0 1
（a b）0 1
公式3. n an | a | .
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
例1.求下列各式的值
（1） 3 (8)3 ;
(2) (10)2 ;
(3) 4 (3 )4 ;
(4) (a b)2 (a b).
解： 1 3 83 = -8; 2 102 | 10 | =10; 3 4 3 4 | 3 | 3; 4 a b2 | a b | a b a b.
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
式子 n an 对任意a ∊ R都有意义.
公式1.
n a
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R. ②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2. n an a.
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ① ④ ).
① 4 16 2 ② ( 5 3)5 3 ③ 5 (3)5 3 ④ 5 (3)10 3 ⑤ 4 (3)4 3
【2】求下列各式的值.
⑴ 5 32;
⑵ （ 3）4 ;
⑶ （ 2 3）2 ; ⑷ 5 2 6 .
解: ⑴ 5 32 5 (2)5 2;
④积的乘方，等于各因式幂的积，即： (a b)m ambm
在运算法则②中，若去掉m>n会怎样？
m=n m<n
a3 a3
a33
a0
1
a3 a5
a35
a2
1 a2
a ？0
a0 1（a 0）
an
1 an
（a
0，n
N
）
将正整数指数幂推广到整数指数幂
练习:
80 1
（ 8）0 1
（a b）0 1
公式3. n an | a | .
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
例1.求下列各式的值
（1） 3 (8)3 ;
(2) (10)2 ;
(3) 4 (3 )4 ;
(4) (a b)2 (a b).
解： 1 3 83 = -8; 2 102 | 10 | =10; 3 4 3 4 | 3 | 3; 4 a b2 | a b | a b a b.
指数幂及运算课件
3
1．分数指数幂的意义
正分数指 规定：a＝_n__a_m__(a>0，m，
数幂
n∈N*，且n>1).
分数指 负分数指 数幂 数幂
规定：a－mn ＝a1mn ＝_n__1_a__m__
(a>0，m，n∈N*，且 n>1).
性质
0的正分数指数幂等于_0_,0 的负分数指数幂_无__意__义___.
4
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_a_r＋__s ； (2)(ar)s＝_a_rs_； (3)(ab)r＝_a_rb_r_. 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_确__定__ _的__实__数__．有理数指数幂的运算性质对于无理数 指数幂同样适用．
5
根式与分数指数幂互化 用分数指数幂的形式表示下列各式．(其 中 a>0)
(1)3 a·4 a；
(2)a3·3 a2； (3) a3· a；
3 (4)(
a)2· ab3.
6
将根式化为分数指数幂形式―→根据分数指数 幂的运算性质化简―→结论
7
[解题过程] (1)3 a·4 a＝a13·a14＝a13＋14＝a172.
(2)a3·3 a2＝a3·a23＝a3＋23＝a131. (3) a3· a＝(a3·a12)12＝a74.
3 (4)(
a)2· ab3＝a132·(ab3)12＝a23·a12b32
＝a23＋12b32＝a76b32.
8
[题后感悟] (1)此类问题应熟练应用 amn ＝ n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．当所求根式 含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向 外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化 简． (2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
1．分数指数幂的意义
正分数指 规定：a＝_n__a_m__(a>0，m，
数幂
n∈N*，且n>1).
分数指 负分数指 数幂 数幂
规定：a－mn ＝a1mn ＝_n__1_a__m__
(a>0，m，n∈N*，且 n>1).
性质
0的正分数指数幂等于_0_,0 的负分数指数幂_无__意__义___.
4
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_a_r＋__s ； (2)(ar)s＝_a_rs_； (3)(ab)r＝_a_rb_r_. 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_确__定__ _的__实__数__．有理数指数幂的运算性质对于无理数 指数幂同样适用．
5
根式与分数指数幂互化 用分数指数幂的形式表示下列各式．(其 中 a>0)
(1)3 a·4 a；
(2)a3·3 a2； (3) a3· a；
3 (4)(
a)2· ab3.
6
将根式化为分数指数幂形式―→根据分数指数 幂的运算性质化简―→结论
7
[解题过程] (1)3 a·4 a＝a13·a14＝a13＋14＝a172.
(2)a3·3 a2＝a3·a23＝a3＋23＝a131. (3) a3· a＝(a3·a12)12＝a74.
3 (4)(
a)2· ab3＝a132·(ab3)12＝a23·a12b32
＝a23＋12b32＝a76b32.
8
[题后感悟] (1)此类问题应熟练应用 amn ＝ n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．当所求根式 含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向 外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化 简． (2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
指数与指数幂的运算第1课时课件
课堂小结
回顾本节课都学习了哪些根式知识， 回顾本节课都学习了哪些根式知识，用 到了哪些方法，你有哪些收获? 到了哪些方法，你有哪些收获
课外作业 作业1 课本59页习题2.1 A组 作业1：课本59页习题2.1 A组：第1题 59页习题 作业2 同步导学练30-31页习题 作业2：同步导学练30-31页习题 30
=a分别有解吗 有几个解？ 分别有解吗？ x5=a分别有解吗？有几个解？ 3:一般地 一般地， 为奇数时，实数a 问题3:一般地，当n为奇数时，实数a的n次 方根存在吗？有几个？ 方根存在吗？有几个？
4:设 为实常数，则关于x =a， 问题4:设a为实常数，则关于x的方程 x4=a， =a分别有解吗 有几个解？ 分别有解吗？ x6=a分别有解吗？有几个解？ 5:一般地 一般地， 为偶数时，实数a 问题5:一般地，当n为偶数时，实数a的n次 方根存在吗？有几个？ 方根存在吗？有几个？
4:如果 如果x 问题4:如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面 的说法，这里的x分别叫什么名称？ 的说法，这里的x分别叫什么名称？ 5:推广到一般情形 推广到一般情形， 问题5:推广到一般情形，a的n次方根是一个 什么概念？试给出其定义. 什么概念？试给出其定义. 一般地，如果x 那么x 一般地，如果xn＝a，那么x叫a的n次方 其中n 根，其中n＞1且n∈N.
6:我们把式子 叫做根式， 问题6:我们把式子 a(n∈ N, n >1) 叫做根式，
n
其中n叫做根指数， 叫做被开方数.那么， 其中n叫做根指数，a叫做被开方数.那么， 次方根用根式怎么分类表示？ a的n次方根用根式怎么分类表示？ 当n是奇数时，a的n次;0，则a的n次方根为 是偶数时, 0
知识探究（ 知识探究（二）：方根性质和根式概念 的立方根，16的 次方根，32的 问题1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次 方根， 32的 次方根， 方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立 次方根， 方根分别是什么数？怎样表示？ 方根分别是什么数？怎样表示？
指数及指数幂的运算经典课件
例2、利用分数指数幂的运算法则计算下列各式：
01
解：
02
=100
=16
例3 化简(a>0,x>0,rQ):
01
思考1:我们知道 ＝1．414 21356…,
02
那么 的大小如何确定？
探究:无理数指数幂的意义
的过剩近似值
的过剩近似值
1.5
11.180 339 89
1.42
9.829 635 328
1.415
9.750 851 808
1.414 3
9.739 872 62
1.414 22
9.738 618 643
1.414 214
9.738 524 602
1.414 213 6
9.738 518 332
1.414 213 57
9.738 517 862
1.414 213 563
4.若x5=a， 则 x 叫做 a 的 次方根
5.若xn=a， 则 x 叫做 a 的n次方根
四
五
定义1:
①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 表示
②当n为偶数时,
若a=0,则0的n次方根有1个,是0
若a<0,则a的n次方根不存在
若a>0,则a的n次方根有2个,
.
,
1
,
,
*
N
(2) (3) (4)
练习: 求下列各式的值:
知识点小结：
1、两个定义
2、两个公式：
①
当n为奇数时,
当n为偶数时,
②
定义1:
.
,
1
,
,
*
N
n
n
课件17：2.1.1 指数与指数幂的运算
1
－2 －2
－ －
解：原式＝(2 ) ＋(6 2) 3＋(32＋22)2－4×8×62
3
1
1
1
1
1
＝24＋62＋5＋2×62－3×62＝21.
1
归纳升华
1．基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，一般把根式统一
化为分数指数幂的形式，再用有理指数幂的运算性质化简．
2．常规方法：(1)化负指数幂为正指数幂；(2)化根式为分数指数幂；
根式与分数指数幂的互化
3
－
[典例 2] (1)将分数指数幂 a 4(a>0)化为根式为________．
3
1
1
1
－
答案：(1) 4
解析：(1)a 4＝ 3＝4 .
a4
a3
a3
5
(2)化简：a2· a3÷
5
10
a·
10
9＝________(用分数指数幂表示)．
a
3
1
9
13
7
13 7
6
解析： (a2· a3)÷( a· a9)＝(a2·a5)÷(a2·a10)＝a 5 ÷a5＝a 5 －5＝a5.
6
答案： (2)a5
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化
3
①a3· a2. ②
－4
3
a b2 ab2(a>0，b>0)．
2
3
11
2
解：①a3· a2＝a3·a3＝a3＋3＝a 3 .
D．负数没有 n 次方根
解析：对于A，正数的偶次方根中有负数，所以A错误；对于B，
负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，所以B错误；对于
－2 －2
－ －
解：原式＝(2 ) ＋(6 2) 3＋(32＋22)2－4×8×62
3
1
1
1
1
1
＝24＋62＋5＋2×62－3×62＝21.
1
归纳升华
1．基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，一般把根式统一
化为分数指数幂的形式，再用有理指数幂的运算性质化简．
2．常规方法：(1)化负指数幂为正指数幂；(2)化根式为分数指数幂；
根式与分数指数幂的互化
3
－
[典例 2] (1)将分数指数幂 a 4(a>0)化为根式为________．
3
1
1
1
－
答案：(1) 4
解析：(1)a 4＝ 3＝4 .
a4
a3
a3
5
(2)化简：a2· a3÷
5
10
a·
10
9＝________(用分数指数幂表示)．
a
3
1
9
13
7
13 7
6
解析： (a2· a3)÷( a· a9)＝(a2·a5)÷(a2·a10)＝a 5 ÷a5＝a 5 －5＝a5.
6
答案： (2)a5
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化
3
①a3· a2. ②
－4
3
a b2 ab2(a>0，b>0)．
2
3
11
2
解：①a3· a2＝a3·a3＝a3＋3＝a 3 .
D．负数没有 n 次方根
解析：对于A，正数的偶次方根中有负数，所以A错误；对于B，
负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，所以B错误；对于
2.1.1指数与指数幂的运算(一)课件
n n n n
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
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❖ 1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
an a a a a, a0 1 (a 0) ,
00 无意义
an
1 an
(a 0)
am an amn ; (am )n amn
(an )m amn , (ab)n anbn
❖ 2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
2.1.1 指数与指数幂的运算
2015年10月14日
一、根式
42 ?
乘方运算
?2 16 开方运算
4和- 4叫做16的平方根
23 8
2叫做8的立方根
引入新课
?4 81
?5 32
要求：用语言描述式子的含义
3 称为81的四次方根
2 称为-32的五次方根
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
练一练
3 3 27
2 3 8
22 4 32 9
2 5 32
2 4 16
观察思考：你能得到什么结论？
得出结论
3 3 27 2 3 8
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
2 5 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a的n次方根
只有一个，记为 x n a ．
得出结论
22 4 32 9
2 4 16
2 4 3 9
2 4 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n为偶数时，正数的 nn次方根有两个， 它们互为相反数．正数aa的正nn次方根用符号 n a 表示；负的n 次方根用符号 n a 表示，它们可以合
ar as ars (a 0, r, s Q)
(ar )S ars (a 0, r, s Q)
(a b)r arbr (a 0,b 0, r Q)
例2、求值
2
83 ;
1
25 2 ;
1
5
;
16
3 4
2
81
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
m
a n n am (a 0, m, n N *)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
(a
0, m, n N * )
an
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因 此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂 的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
10
8
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 a8 (a4 )2 a4 a 2
12
10
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）
(1) 3 (8)3
(3) 4 (3 )4(源自) (10)2 (4) (a - b)2 (a b).
练习：判断下列说法是否正确：
（1）正数的n次方根有两个；
（2）a 的n次方根是 n a ；
（3） n a n a(a 0).
解 （1）不正确； （2）不正确；（3）正确。
二、分数指数幂
5 32 ____2___ 4 81 ___3____
210 ____3_2___ 3 312 ___8_1___
探究
n an a 一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n an a
2、当
n
是偶数时，n
an
|
a
|
a
a
(a 0) (a 0)
例1、求下列各式的值：
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
3、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2
3x y
4、若10x=2，10y=3，则10 2
。
5、a , b ，R 下列各式总能成立的是（ ）
a 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做
被开方数 填空:
(1)25的平方根等于____2_5_____5_______
(2)27的立方根等于__3__2_7_____3_______ (3)-32的五次方根等于5___32____2________ (4)16的四次方根等于__4_1_6____2______ (5)a6的三次方根等于__3_a_6__a_2________ (6)0的七次方根等于___7_0___0____
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25
a2
(2)
(a 0)
a 3 a2
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
2、化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4的结果是（ ）
并写成 n a (a 0) 的形式．负数没有偶次方
根．
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数.
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
记作 n 0 = 0.
(4) (n a ) n a
❖ 思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
1
b b2 (b 0)
m
即：n am a n (a 0, n N *, n 1)
❖ 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：