有限元法的发展现状及应用
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收稿 日期 ：０ ０—０ —２ ２１ ３ ３
均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分 ， 以便得到 个合适 的起 始均匀 网格 ； 变密度 化迭代过 程 中 在 只进行 网格 的细化操 作 ， 并充 分利用 上一次迭 代 的
一
结果 ， 在单 元所在 的 曲边 三角形 区域 内部进行 局部
网格细化 ， 保证 了全局网格尺寸分布的合理性 ， 使
６
２１ ００年 ６月 中国制造业 信息 化
第３ ９卷
第 １ 期 １
有 限 元 法 的 发 展 现 状 及 应 用
陈锡栋 ， 杨 婕 ， 晓 栋 ， 细秋 赵 范
（ 浙江 海洋学 院 机 电工程 学院 ， 江 舟山 浙
３ ６０ ） １００
摘要 ： 简述 了有 限元 法 的起 源 、 本理 论及发 展现 状 。有 限元 法 自 １４ 基 ９ ３年 首次提 出以来 ， 限元 有 理论及 其应 用得 到 了迅 速发展 。发展 至今 ， 已由二 维 问题 扩 展 到 三 维 问题 、 壳 问题 ， 板 由静 力 学 问题扩展 到动 力学 问题 、 定性 问题 ， 稳 由线性 问题 扩展 到 非线 性 问题 。 重点 总结 了有 限元 法在 生 物 医学、 光超声研 究 、 电工程 、 车产 品 开发 、 激 机 汽 物流运 输 、 筑等 多个领域 的应 用。 建
关键 词 ： 限元 ； 有 发展 现状 ； 分析 方法 中图分 类号 ： Ｂ Ｔ１ 文 献标识码 ： Ａ 文章编 号 ：６ ２—１ １ （０ ０ １ —０ ０ 一Ｏ １７ ６ ６ ２ １ ）１ ０ ６ ３ 为解决 这类 问题 ， 国学者 提 出用 Ｇ Ｅ （ ｅ ｅ— 美 Ｆ Ｍ Ｇ ｎｒ
其应用得 到 了迅 速发 展 。过 去不 能 解决 或 能解决 但 求解精度 不 高 的问题 ， 得 到 了新 的解 决 方 案 。 都
传统 的 Ｆ Ｍ 假 设 ： 析 域是 无 限 的 ； 料 是 同 质 Ｅ 分 材
密度 化 ２个 迭代 过程 。在 均匀 化迭代过 程 中 ， 采用
的， 甚至在 大 部 分 的 分 析 中认 为 材料 是 各 向同性 的 ； 边界条 件简化处 理 。但 实际 问题往往 是分析 对 域有 限、 材料各 向异性 或边 界 条 件难 以确定 等 ［ 引。
有 限元 法 （ ｉｉ ｌ ｎ ｔｏ ， Ｅ ） 是 Ｆｎｔ Ｅｅ ｔ ｅ ｍｅ Ｍｅｈ ｄ Ｆ Ｍ ，
计 算力学 中 的一 种重要 的方法 ， 它是 ２ ０世纪 ５ ０年 代末 ６ ０年代初 兴 起 的应 用 数学 、 代 力学 及 计算 现 机科 学相互 渗透 、 合利用 的边缘科 学 。有限元 法 综
基金项 目： 浙江海洋学院科研启动经费资助 ； 浙江省高校青年教师资助专项 作者简介： 陈锡栋（９ ７一）男 ， １８ ， 浙江宁波人 ， 浙江海洋学院本科生 ， 主要研究方 向为机械设计制造及其 自动化 。
・
综述・
陈 锡栋
杨
婕
赵 晓栋 等
有 限元 法 的发展 现状及 应 用
பைடு நூலகம்
７
得不 同尺 寸 的 网格 能 光 滑 衔 接 ， 而 提 高 网格 质 从 量 。整 个 方 案简 单 易行 ， 稳定 可 靠 ， 次 迭代 即可 数 快 速收 敛 ， 生成 的网格 布局合 理 ， 量高 （ 质 。
最初应 用在工 程科学技 术 中 ， 用于模 拟并且解 决工 程力 学 、 热学 、 电磁学 等物 理 问题 。对 于过 去用 解
ａｉｄＦｎｔＥｅ ｎ ｔｏ ） ｌｅ ｉｉ ｌ ｚ ｅ ｍｅｔ ｈｄ 解决分 析域 内含有大 Ｍｅ 量 孔 洞 特 征 的 问 题 【 比利 时 学 者 提 出用 ＨＳ ； Ｍ
（ｈ ｂｉ ｔ ｉｇ ｌ ｌ ｎ ｆＭｅ ｒｎ ｔｅＨｙ ｒ ｍｅｉ Ｓｎ ｕａ ｅｅ ｔｏ ｍｂａ ｅ ｄ ｓ ｒ ｍｅ
ｐａｅ解 决实 际开裂 问题 。 ｌｔ） ｊ
析方法无 法求解 的问题 和 边界 条 件及 结 构形 状 都
不 规则 的复杂 问题 ， 限元 法则是 一种有 效 的分 析 有 方法 。 有 限元法 的基本 思想 是 先将 研究 对 象 的连续
ＪＧ Ｅ Ｉ Ｆ Ｘ后 ， 限元 法渗 透 到工 程分 析 的各个 领 域 有
中 ， 大 型的三 峡 工 程 到微 米 级器 件 都 采 用 Ｆ Ｍ 从 Ｅ 进行 分 析［—３在 我 国经 济 发 展 中拥 有 广 阔 的 发 ７ ８， 展前 景 。 目前 在进 行 大型 复杂 工 程结 构 中 的物理场 分 析时 ， 为了估计 并 控制 误 差 ， 常用 基 于 后验 误差 估 计 的 自适 应有 限元法 。基于后 处理法 计算误差 ， 与 传统 算法不 同， 网格 自适 应过 程分成 均匀化 和变 将
低 了生产成 本 。 Ｆ Ｍ 在 国 内的应 用也 十分广 泛 。 自从我 国成 Ｅ 功 开 发 了 国 内 第 一 个 通 用 有 限 元 程 序 系 统
求解 区域离散 为一 组有 限个且 按 一 定方 式 相互 联
结在一起 的单元 组 合 体 。 由于单 元 能按 不 同 的联 结方式进行 组合 ， 单 元本 身 又可 以有 不 同形 状 ， 且 因此 可 以模 拟成不 同几何形 状 的求 解小 区域 ； 然后
在 Ｆ Ｍ 应用领域不断扩展 、 Ｅ 求解精度不断提 高的同时，Ｅ 也从分析 比较 向优化设计方向发 ＦＭ 展 ＿。印度 Ｍａａｔ 士用 Ａ ＹＳ对拖 拉 机 前 ６ Ｊ ｈｎｙ博 ＮＳ
桥进 行优 化设 计 ， 果 不 但 降低 了 约 ４ ％ 的前 桥 结 ０ 自重 ， 还避 免 了在 制 造 过程 中 的大量 焊 接工 艺 ， 降
对单 元 （ 区域 ） 小 进行 力 学分 析 ， 后再 整 体 分析 。 最 这种 化整为零 ， 集零 为整 的方 法就是 有 限元 的基本 思路 ［ｌ １。
１ 有 限元 法 的发展 现状
有限元 法 是 Ｒ． ｏ ｒｎ Ｃ ｕａｔ于 １４ ９ ３年 首 先 提 出 的＿ 。自从 提 出有 限 元 概 念 以来 ， 限 元 理 论 及 ２ Ｊ 有
均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分 ， 以便得到 个合适 的起 始均匀 网格 ； 变密度 化迭代过 程 中 在 只进行 网格 的细化操 作 ， 并充 分利用 上一次迭 代 的
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结果 ， 在单 元所在 的 曲边 三角形 区域 内部进行 局部
网格细化 ， 保证 了全局网格尺寸分布的合理性 ， 使
６
２１ ００年 ６月 中国制造业 信息 化
第３ ９卷
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有 限 元 法 的 发 展 现 状 及 应 用
陈锡栋 ， 杨 婕 ， 晓 栋 ， 细秋 赵 范
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摘要 ： 简述 了有 限元 法 的起 源 、 本理 论及发 展现 状 。有 限元 法 自 １４ 基 ９ ３年 首次提 出以来 ， 限元 有 理论及 其应 用得 到 了迅 速发展 。发展 至今 ， 已由二 维 问题 扩 展 到 三 维 问题 、 壳 问题 ， 板 由静 力 学 问题扩展 到动 力学 问题 、 定性 问题 ， 稳 由线性 问题 扩展 到 非线 性 问题 。 重点 总结 了有 限元 法在 生 物 医学、 光超声研 究 、 电工程 、 车产 品 开发 、 激 机 汽 物流运 输 、 筑等 多个领域 的应 用。 建
关键 词 ： 限元 ； 有 发展 现状 ； 分析 方法 中图分 类号 ： Ｂ Ｔ１ 文 献标识码 ： Ａ 文章编 号 ：６ ２—１ １ （０ ０ １ —０ ０ 一Ｏ １７ ６ ６ ２ １ ）１ ０ ６ ３ 为解决 这类 问题 ， 国学者 提 出用 Ｇ Ｅ （ ｅ ｅ— 美 Ｆ Ｍ Ｇ ｎｒ
其应用得 到 了迅 速发 展 。过 去不 能 解决 或 能解决 但 求解精度 不 高 的问题 ， 得 到 了新 的解 决 方 案 。 都
传统 的 Ｆ Ｍ 假 设 ： 析 域是 无 限 的 ； 料 是 同 质 Ｅ 分 材
密度 化 ２个 迭代 过程 。在 均匀 化迭代过 程 中 ， 采用
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有 限元 法 （ ｉｉ ｌ ｎ ｔｏ ， Ｅ ） 是 Ｆｎｔ Ｅｅ ｔ ｅ ｍｅ Ｍｅｈ ｄ Ｆ Ｍ ，
计 算力学 中 的一 种重要 的方法 ， 它是 ２ ０世纪 ５ ０年 代末 ６ ０年代初 兴 起 的应 用 数学 、 代 力学 及 计算 现 机科 学相互 渗透 、 合利用 的边缘科 学 。有限元 法 综
基金项 目： 浙江海洋学院科研启动经费资助 ； 浙江省高校青年教师资助专项 作者简介： 陈锡栋（９ ７一）男 ， １８ ， 浙江宁波人 ， 浙江海洋学院本科生 ， 主要研究方 向为机械设计制造及其 自动化 。
・
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陈 锡栋
杨
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有 限元 法 的发展 现状及 应 用
பைடு நூலகம்
７
得不 同尺 寸 的 网格 能 光 滑 衔 接 ， 而 提 高 网格 质 从 量 。整 个 方 案简 单 易行 ， 稳定 可 靠 ， 次 迭代 即可 数 快 速收 敛 ， 生成 的网格 布局合 理 ， 量高 （ 质 。
最初应 用在工 程科学技 术 中 ， 用于模 拟并且解 决工 程力 学 、 热学 、 电磁学 等物 理 问题 。对 于过 去用 解
ａｉｄＦｎｔＥｅ ｎ ｔｏ ） ｌｅ ｉｉ ｌ ｚ ｅ ｍｅｔ ｈｄ 解决分 析域 内含有大 Ｍｅ 量 孔 洞 特 征 的 问 题 【 比利 时 学 者 提 出用 ＨＳ ； Ｍ
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析方法无 法求解 的问题 和 边界 条 件及 结 构形 状 都
不 规则 的复杂 问题 ， 限元 法则是 一种有 效 的分 析 有 方法 。 有 限元法 的基本 思想 是 先将 研究 对 象 的连续
ＪＧ Ｅ Ｉ Ｆ Ｘ后 ， 限元 法渗 透 到工 程分 析 的各个 领 域 有
中 ， 大 型的三 峡 工 程 到微 米 级器 件 都 采 用 Ｆ Ｍ 从 Ｅ 进行 分 析［—３在 我 国经 济 发 展 中拥 有 广 阔 的 发 ７ ８， 展前 景 。 目前 在进 行 大型 复杂 工 程结 构 中 的物理场 分 析时 ， 为了估计 并 控制 误 差 ， 常用 基 于 后验 误差 估 计 的 自适 应有 限元法 。基于后 处理法 计算误差 ， 与 传统 算法不 同， 网格 自适 应过 程分成 均匀化 和变 将
低 了生产成 本 。 Ｆ Ｍ 在 国 内的应 用也 十分广 泛 。 自从我 国成 Ｅ 功 开 发 了 国 内 第 一 个 通 用 有 限 元 程 序 系 统
求解 区域离散 为一 组有 限个且 按 一 定方 式 相互 联
结在一起 的单元 组 合 体 。 由于单 元 能按 不 同 的联 结方式进行 组合 ， 单 元本 身 又可 以有 不 同形 状 ， 且 因此 可 以模 拟成不 同几何形 状 的求 解小 区域 ； 然后
在 Ｆ Ｍ 应用领域不断扩展 、 Ｅ 求解精度不断提 高的同时，Ｅ 也从分析 比较 向优化设计方向发 ＦＭ 展 ＿。印度 Ｍａａｔ 士用 Ａ ＹＳ对拖 拉 机 前 ６ Ｊ ｈｎｙ博 ＮＳ
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１ 有 限元 法 的发展 现状
有限元 法 是 Ｒ． ｏ ｒｎ Ｃ ｕａｔ于 １４ ９ ３年 首 先 提 出 的＿ 。自从 提 出有 限 元 概 念 以来 ， 限 元 理 论 及 ２ Ｊ 有