20-第20讲不定积分及其计算(1)
不定积分的概念和计算方法
不定积分的概念和计算方法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
在这篇文章中，我们将讨论不定积分的定义、性质以及常见的计算方法。
一、不定积分的定义不定积分是求解函数的原函数的过程。
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
则称函数F(x)在[a, b]上的不定积分为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，称为积分常数。
不定积分的定义告诉我们，不定积分的结果是一个函数，它是原函数F(x)和一个常数C的和。
这个常数C的取值是不确定的，因此称之为积分常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，k为常数，则有∫[kf(x) + g(x)]dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
这个性质说明不定积分具有线性运算的特点。
2. 反向性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
这个性质告诉我们，不定积分具有反向运算的特点。
3. 初等函数性质：初等函数的导函数可以通过不定积分求得。
例如，导函数为常数函数的函数，在不定积分中可以得到一个线性函数。
三、不定积分的计算方法计算不定积分的方法有很多种，下面介绍一些常见的方法：1. 基本积分法：根据导函数与原函数的关系，可以求出一些基本函数的不定积分。
例如，∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n为非负整数。
2. 分部积分法：对于乘积函数的不定积分，可以通过分部积分法进行求解。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)为可导函数。
3. 代换法：对于一些复杂的函数，可以通过代换法进行不定积分的计算。
代换法的基本思想是用一个变量替换原函数中的某一部分，使得原函数的形式变得简单，然后再进行不定积分的计算。
不定积分的计算方法(I)
三、 有理函数的积分
1. 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
若干部分分式之和
例如整数的除法 : 5 1 2 33
30
之前的 引入例: 例1
求
2
x
2
3x x 1
解
(2x3 1)3 d x (8x6 12x4 6x2 1) d x
8 x6 d x 12 x4 d x 6 x2 d x d x
积分的线性性质
8 x7 12 x5 2x3 x C . 75
直接的积分公式 4
已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量 例2
x的函数, y 7 25 . 又固定成本为1000元
1.公式 : 首先看复合函数的导数 公式 :
设可微函数 y F (u), u (x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F ( (x)), 则
(F((x))) F((x))(x),
它的微分形式为
d(F((x))) F((x))(x)d x
记 F(u) f (u), 则 看出点什么东西没有?
相应的凑微分公式(方法):
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
22
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx
不定积分的计算 (1)
§2 不定积分的计算 （1）(一) 教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． (二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握换元积分法和分步积分法. (三) 教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．————————————————————————不定积分的计算一般由三种方法： 1） 凑公式法 2） 部积分法 2） 第二变量替换法一 第一类换元法 ——凑公式法,2cos 2sin10)2(sin 2sin 52sin 2sin52sin4445xdx x dxx x xxd x d ='==⇒ ⎰⎰'=dx x x xdx x )2(sin 2sin52cos 2sin1044⎰=x xd 2sin 2sin 54xu 2sin ======⎰+=+=.2sin 5554c x c u du u 引出凑公式法:Th 若⎰+=,)()(c x F dx x f )(x φ 连续可导, 则⎰+='.)]([)()]([c t F dt t t f φφφ该定理可叙述为： 若函数)(t g 能分解为 )()]([)(t t f t g φφ'= 则有⎰⎰⎰='=)()]([)()]([)(t d t f dt t t f dtt g φφφφ)(t x φ===== ⎰+=+=c t F c x F dx x f )]([)()(φ.凑公式法： 表面看⎰dx x f )(不符合基本积分公式，但作变换，令 ,)(u x =ϕ后⎰⎰=du u g x f )()(，而 ⎰duu g )( 符合基本积分公式例1 ⎰dx x x 2sin 但作变换，令 u x =2 后C x udu dx x x +-==⎰⎰cos 21sin 21sin 2例2 ⎰+22xa dx 不符合基本积分公式，稍微变换一下⎰+22xa dx ＝⎰+])/(1[22a x a dx 令a x u /=⎰⎰=+=+ax arctga udua a x a dx111])/(1[222例3 ⎰xdx sec 不符合基本积分公式，但用三角函数公式整)(sin )sin 11sin 11(21sin1)(sin coscos 22x d xxxx d dx xx-++=-=⎰⎰⎰令 u x =sin 后 化成C xx C uu du u u+-+=+-+=--+⎰|sin 1sin 1|ln 21|11|ln 21)1111(21凑公式法的关键是设法把 dx x f )( 凑成 )())((x d x g ϕϕ 的形式，使du u g )(⎰ 符合基本积分公式。
不定积分计算方法
不定积分计算方法在微积分中，不定积分是确定函数的原函数的过程。
计算不定积分的方法有很多种，本文将介绍不定积分的基本方法，包括换元法、分部积分法、三角函数的不定积分、分式的不定积分、有理函数的不定积分等。
1.换元法：换元法是计算不定积分最常用的方法之一、其基本思想是通过变量的代换将原函数转化成一个更容易积分的形式。
具体步骤如下：(1)选择一个适当的替换变量，使得在新的变量下，被积函数的形式变得更简单。
常用的替换变量有三角函数、指数函数、分式等。
(2)计算出变量的微分，即被积函数的微分形式。
如果被积函数是一个复合函数的形式，则应使用链式法则计算微分。
(3)将变量的微分代入被积函数中，得到新的被积函数。
(4)对新的被积函数进行积分计算，得到最终的结果。
(5)将变量的原函数代回原来的变量，得到最终的原函数。
2.分部积分法：分部积分法是一种通过对乘积函数进行积分的方法，可以将一个积分转化成另一个积分。
具体步骤如下：(1)选择一个适当的函数进行分解，使得被积函数可以表示为两个函数的乘积。
(2)对乘积函数应用分部积分法，得到一个新的积分表达式。
(3)在新的积分表达式中，选择一个适当的函数进行分解，并再次应用分部积分法。
(4)反复应用分部积分法，直到得到一个可以直接计算的积分表达式。
(5)对得到的积分表达式进行计算，得到最终的结果。
3.三角函数的不定积分：(1)三角函数的基本积分公式：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫tan(x)dx = -ln，cos(x)， + C(2)三角函数的积分公式：∫sin^n(x)cos^m(x)dx =(-1)^(m/2) * n! * (m/2)! / (n+m+1)! * sin^(n+1)(x) *cos^(m+1)(x) + C∫tan^n(x)sec^m(x)dx =(m-1)/(m) * ∫tan^(n-2)(x)sec^(m-2)(x)dx - ∫tan^n(x)sec^(m-2)(x)dx这些公式可以用来计算包含三角函数的不定积分，通过逐步应用公式，最终得到结果。
不定积分概念与基本运算公式
倍，且该曲线过点(1,2)，求此曲线方程。
2 不定积分基本公式
1. 0dx
C
；2.
1dx
dx
x
C
；3.
x dx
x 1 1
C
， (
1,
x
0)
；
4.
1dx x
ln
x
C
，(x
0)
；5.
e x dx
ex
C
；
6.
a x dx
ax ln a
C
，
(a
0, a
1)
；7.
cos axdx
Hale Waihona Puke 1 asinax
C
，
(a
注：利用基本积分公式时，必须严格按照公式的形式。如
sin xdx cos x C ，但 sin 2xdx cos 2x C 。
例8
分别计算
f
(ln
x)
1 x
dx
和 {
f
(ln
x)dx}
4 小结
不定积分和导数是允许相差一个常数的逆运算，不定积分的结果的形
式可能不一样，用求导的方法检验结果的正确性。
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则称 y F(x)
的图
象为 f (x) 的一条积分曲线。于是，f (x) 的不定积分在几何上表示 f (x) 的
某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一积分曲线组成的曲线族。
例 1 x2dx
例2
1 x
dx
例 3 已知某曲线上任意一点 P(x,y)处的切线斜率为该点横坐标的 2
定积分。记作 f (x)dx 。其中 为积分号； f (x) 为积分函数； f (x)dx
不定积分与定积分的计算
不定积分与定积分的计算1.不定积分1.1不定积分的概念原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数.原函数的个数: 若是在区间 上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间 上的原函数，则必有.可见，若，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。
记作⎰dx x f )(一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则⎰xa dt t f )(是的一个原函数。
1.2不定积分的计算(1)裂项积分法例1：C x x x dx x x dx x x dx x x ++-=++-=++-=++⎰⎰⎰arctan 23)121(121113222424。
例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx xx x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 22222222 例3：222222(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰(2)第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。
例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =∙=⎰⎰⎰C x +=2sin 21 例4：()()()23222arctan 111dx d x d x x Cx x x x===++++⎰⎰⎰例5：2222111111111dx d dx x xx x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭++⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰22111211d x x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰1222111112d x x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰12221112112C Cx x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅++=-++⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例6： ⎰⎰⎰+=====+=+=dt t tx d x x dx x x xx t 21arctan 21arctan 2)1(arctan⎰+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2.(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,b t ax t b ax nn -==+; 被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或;被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =;被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =; 例7：计算()220a x dx a ->⎰解：令sin ,,arcsin ,22xx a t t t a x a aππ=-≤≤=-≤≤则，且 22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而22a x dx -⎰=()222cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭由图2.1知22sin cos xa x t t a a -==所以22a x dx -⎰=2222arcsin 22a x a x a x C a a a -+⋅+=222arcsin 22a x x a x C a +-+例8:计算()220dx a x a>-⎰解“令sec ,0sec 22x a t t t x a t πππ=<<<<=当或时，存在反函数arcsinxt a =。
不定积分的定义和计算
不定积分的定义和计算不定积分是微积分的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
在数学中，函数的导数被定义为函数变化率的极限，而不定积分则是导数的逆运算。
一、不定积分的定义不定积分可以理解为函数的原函数，也被称为反导函数。
给定一个函数f(x)，如果存在另一个函数F(x)，满足F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。
不定积分表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
二、不定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是一种基于函数导数与积分之间的关系来计算不定积分的方法。
根据常见函数的导数公式可以得到对应的不定积分公式，具体如下：（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数；（2）幂函数：∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n + 1)) + C，其中n不等于-1；（3）指数函数：∫eˣdx = eˣ + C；（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C，∫sec²xdx = tanx + C；（5）对数函数：∫(1/x)dx = ln|x| + C。
2. 分部积分法分部积分法是利用乘积的求导公式来计算不定积分的方法。
公式表达为∫u'vdx = uv - ∫uv'dx，其中u和v分别表示函数u(x)和v(x)，而u'和v'表示它们的导数。
通过选择合适的u和v，可以将原函数的积分转化为其他容易计算的形式。
3. 代换法代换法是利用变量代换的方式来计算不定积分的方法。
通过选择适当的变量代换，可以将原来的积分转化为更简单的形式。
常见的代换方法包括三角代换、指数代换和倒数代换等。
4. 部分分式分解法当需要求解一个复杂的有理函数的不定积分时，可以使用部分分式分解法。
这个方法将有理函数表示为简单的分式之和，然后逐个求解每个分式的不定积分。
5. 其他方法除了上述方法外，还有一些特定函数的不定积分可以采用特殊的方法求解，例如三角函数、双曲函数、反三角函数等。
不定积分的定义和计算方法
不定积分的定义和计算方法不定积分，也称为原函数或者积分函数，是微积分中的重要概念之一。
它与定积分相对应，是求解函数的面积或者曲线长度的逆运算。
本文将介绍不定积分的定义和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握该概念。
一、不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx =F(x) + C，其中C为任意常数。
不定积分的定义说明了不定积分与原函数之间的关系。
通过求某个函数的不定积分，我们能够得到该函数的原函数。
需要注意的是，不定积分有无穷多个解，因为对于一个函数而言，其原函数可以加上任意常数C而不改变。
二、常见的计算方法在求解不定积分时，我们需要掌握一些常见的计算方法。
下面将介绍一些常见的计算方法及其示例。
1. 基本积分法则基本积分法则是利用基本函数的导数公式反推不定积分。
以下是一些常见的基本积分法则及其示例：（1）常数函数积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
（3）指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C。
（4）三角函数积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C。
2. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数不定积分的方法，它基于乘积公式（即(uv)' = u'v + uv'）。
以下是分部积分法的公式及其示例：∫u dv = uv - ∫v du示例：∫x*sin(x) dx = -x*cos(x) + ∫cos(x) dx = -x*cos(x) + sin(x) + C3. 代换法代换法，也称为换元积分法，是通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。
以下是代换法的公式及其示例：∫f(g(x)) * g'(x) dx = ∫f(u) du示例：∫x*sin(x^2) dx，令u = x^2，那么du = 2x dx，原积分变为∫sin(u) (1/2)du = (-1/2)cos(u) + C = (-1/2)cos(x^2) + C除了基本积分法则、分部积分法和代换法，还有一些特殊的计算方法，如三角函数公式、倒数公式、欧拉公式等。
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积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
习惯上, 称求已知函数 f (x) 的全部原函数的过程, 为求函数 f (x) 的不定积分.
求不定积分是求导的逆运算.
例如： (x2 ) 2x,
2xd x x2 C;
(sin x) cos x, (ln | x |) 1 ,
(7) sin xdx cos x C
(8) sec2 xdx tan x C
是一族积分曲线，称它为积分曲线族, 其特点是:
(1)积分曲线族中任意一条曲线可 由其中某一条(如y =F(x))沿y轴平行 移动|c|个单位而得到.
(如图)当c>0时, 向上移动; 当c<0时, 向下移动.
y
{|c| y=F(x)
o
x
x
(2) (F(x) C) F (x) f (x)
y
即横坐标相同点处, 每条积分曲线上 相应点的切线斜率相等, 都为ƒ(xf (x), d f (x)d x f (x)d x, f (x)d x f (x) C,
d f (x) f (x) C.
逆运算
性质 2 设 f1(x), f2(x) R(I), 则
[af1(x) bf2(x)]d x a f1(x)d x b f2(x)d x,
y=F(x)
从而相应点的切线相互平行. 注:当需要从积分曲线族中求出
ox
x
过点(x0 , y0 )的一条积分曲线时, 则只须把 (x0 , y0 )代入y = F(x) + C中解出C即可.
例 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标
的倒数, 且过点 (e3 ,5),求此曲线方程.
解 设所求曲线为 y = ƒ(x) , 则
x 所以 ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
原函数存在性定理: 定理1 若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)在区间I上的原函 数一定存在.简言之：连续函数一定有原函数. (证明略)
问题：(1) 原函数是否唯一？
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
定理 设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数, 则对任 何常数C , F(x) + C也是函数ƒ(x)的原函数. 证 因为 (F(x) C) F (x) f (x)
其中, a, b 为常数.
该性质可推广至有限个函数的和的形式.
线性性质
基本积分表
(1) kdx kx C (k为常数)
(2) xdx 1 x1 C
1
( 1),
(3)
1 x
dx
ln
|
x
|
C
(x 0)
(4) exdx ex C,
(5) a xdx 1 a x C,
ln a
(6) cos xdx sin x C,
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十讲 不定积分及其计算
第六章 函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换
元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限。
所以 F(x) + C也是函数ƒ(x)的原函数.
定理 设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数, 则 F(x) – G(x) ≡ C (常数)
证 (F(x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x) 0
由拉格朗日定理知 F(x) G(x) C(常数)
由此可见: 若 F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则表达式 F(x) + C 可表示 ƒ(x) 的所有原函数。
x
cos x d x sin x C;
1 x
d
x
ln
|
x
|
C.
每一个求导 公式, 反过 来就是一个 求原函数的 公式, 加上 积分常数C 就成为一个 求不定积分 的公式.
不定积分的几何意义
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
而 f (x)dx 是ƒ(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图形
一. 不定积分的概念
定义
f (x) 在区间 I 上的全体原函数的集合 {F(x) | F(x) f (x) , x I}
称为 f (x) 在 I 上的不定积分, 记为
f (x) d x F (x) C ( C 为任意常数)
其中, F(x) 为 f (x) 的一个原函数；
f ( x)dx F( x) C
由题意 dy 1 y 1 dx ln x C
dx x
x
由条件 y xe3 5 知有 5 ln e3 C , 得 C 2.
故所求曲线为 y = ln|x| + 2
二.不定积分的计算
利用不定积分的性质 换元法( 第一、第二 ) 分部积分法 部分分式法
1. 利用性质计算不定积分
首先介绍不定积分的基本性质.
回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数.”
那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来 的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产 生了积分学. 积分学包括两个基本部分: 不定积分和定积分. 先研究不定积分的概念、 性质和基本积分方法.
第六章 函数的积分
第三节 不定积分
一.原函数的定义
问题: 若已知某一函数F(x)的导数为ƒ(x), 求这个函数. 定义 设ƒ(x)定义在区间I上, 若存在函数F(x),使得对 x I
有 F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx.
则称F(x)是已知函数ƒ(x)在该区间I上的一个原函数.
例 因为 sin x cos x ，所以sin x是cos x 的原函数. 因为 ln x 1 ( x 0)