参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标

参数方程知识回顾：

一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即　，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点⎩

⎨

⎧

=

=

)(

)(

t

f

y

t

f

x

M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．

二、二次曲线的参数方程

1、圆的参数方程：

中心在（x0，y0），半径等于r的圆：

（为参数，的几何意义为圆心角），

θ

θ

sin

cos

r

y

y

r

x

x

+

=

+

=

θθ

特殊地，当圆心是原点时，

θ

θ

sin

cos

r

y

r

x

=

=

注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。

Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：

（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。

Eg2：将下列参数方程化为普通方程

（1） x=2+3cos（2） x=sin（3） x=t+

θθ

t

1

y=3sin y=cos y=t2+

θθ

2

1

t

总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域

2、椭圆的参数方程：

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：

（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）

θ

θ

sin

cos

b

y

a

x

=

=θθ

注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M

点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：

θ

θ

sin

cos

b

y

y

a

x

x

+

=

+

=

Eg ：求椭圆=1上的点到M （2,0）的最小值。20

362

2y x +

3、双曲线的参数方程：

中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线：

　（为参数，代表离心角），中心在

θ

θ

tan sec b y a x ==θ（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θ

θ

tan sec 00b y y a x x +=+=4、抛物线的参数方程：

顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：

（t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）

pt y pt x 222

==直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程

过定点P 0（x 0，y 0），倾角为的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定

α点P 0的有向距离，在P 0两侧t

（t 为

αα

sin cos 00t y y t x x +=+=参数，t 的几何意义为有向距离）

说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧

②｜P 0P ｜=｜t ｜

直线参数方程的变式：

，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当t 前面系

bt

y y at x x +=+=00

h 数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得

，让作为t ，则此时t

的几何意义是有向距

)

()

(222

20222

20t b a b a b y y t b a b a a x x +++

=+++

=t b a 2

2

+离。

Eg ：求直线 x=-1+3t

y=2-4t ，求其倾斜角.

极坐标知识回顾：

一、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度

单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM

的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

练习:在同一直角坐标系中，画出以下四个点

A （1，

）B （2，

）C （3，-）4

π

23π4

π思考：上述点关于极轴以及极点的对称点

说明：（1）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位,即极径；④角度单位及它的方向，即极角．

（2）在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点P(，)，但平面内任一个

ρθρθ点P 的极坐标不唯一，因为具有周期.

θ（3）如无特殊要求，则极径取正值.

直角坐标与极坐标的互化： 直角坐标（x ，y ）极坐标（，）

→ρθͼ1